=
2πrlE
=
Σ
i
qi
s
ε0
∑ （1）当 r < R1 时， qi = 0 ，∴E = 0 ；
i
∑ （2）当 r > R2 时， qi = 0 ，∴E = 0 ；
i
∑ （3）当 R1 < r < R2 时，
i
qi
=
λl
，∴ E
=
λ 2πε 0r
1
∫ ∫ 6．（1）过场点作同心球面，由高斯定理：
E ⋅ dS =
dq
σ rdr
du =
=
4πε 0 (x2 + r 2 )1/ 2 2ε 0 (x2 + r 2 )1/ 2
∴距盘心 x 处的电势为
∫ ∫ σ R
u = du =
rdr
σ =
(
x2 + R2 − x)
2ε 0 0 (x 2 + r 2 )1/ 2 2ε 0
（2）
E
=
−
du dxຫໍສະໝຸດ =σ 2ε 0⎛ ⎜⎜⎝1 −
∫ Ep =
0.2 λdl 0.05 4πε 0l 2
= λ ⎜⎛ 1 − 1 ⎟⎞ = 6.75×102V ⋅ m−1 ，方向向右 4πε 0 ⎝ 0.05 0.2 ⎠
6．在距长直导线为 x 处任取 dx ，其所带电量 dq = λdx ，又长直导线在 dx 处的场强为
E = λ ， dq 受电场力 df = dqE = λ2 dx ，方向向右。由于 ab 上任意 dq 受力方向
感应强度 dB = µ0dI = µ0 Idx ，方向垂直纸面向里，因各细长条在 p 点的 dB 方向相同， 2πx 2πax
∫ 所以 Bp =
d+a µ0 I dx = µ0 I ln d + a ，方向垂直纸面向里。 d 2πa x 2πa d
�� � � � 6． B0 = Bab + Bbc + Bcd + Bda
L ⎟⎞ ⎠
，则 q0 从
P
→
Q
，
电场力的功
A
=
q0 (u p
− uQ )
=
q0q 4πε 0 L
ln
3(r 3r
+ +
L) L
电势能变化为 ∆W = − q0q ln 3(r + L) 4πε 0 L 3r + L
6 ．（ 1 ） 任 取 半 径 r 、 宽 dr 的 圆 环 ， 其 所 带 电 量 dq = σ 2πrdr ， dq 在 x 处 的 电 势 为
=
+0=
S 4πε 0 R 4πε 0r
8πε 0 R
（2）接地时，金属球电势为零
q
σ ′ds
q
q′
∫ U 0 = 4πε 0r +
=
+
=0
S 4πε 0 R 8πε 0 R 4πε 0 R
q′ = − q 2
练习二十九
1．2，1.6
2．600V
3．[2]
4．[3]
5．（1）∵ E = λ ， w = 1 εE 2
x
⎞ ⎟
x2 + R2 ⎟⎠
2
练习二十八
1． 3F ， 4F 89
2． σ 0 2
− ε0 E0 ，
σ0 2ε 0
− E0
3．[2] 4．[1] 5．（1）静电平衡时，电荷分布如图，按电势迭加原理，球和球壳的电势分别为
u球
=
1 4πε 0
⎛ ⎜⎜ ⎝
q r
−
q R1
+
Q+ R2
q
⎞ ⎟⎟ ⎠
u球壳
s
ρdV
v
/ε0
∫ 即： 4πr 2E =
r 0
ρ 0 e − kr r2
4πr 2dr
/
ε0
解得：
E
=
ρ0 ε 0kr 2
(1 − e−kr
)
（2）同理可求得球外任一点
E
=
ρ0 ε 0kr 2
(1 −
e −kR
)
练习二十七
1． q1 − q2 ， − q1q2 2πε 0 R 4πε 0 R
2． R3 ρ ⎜⎛ 1 − 1 ⎟⎞ 3ε0 ⎝ d + r r ⎠
2πεr
2
Q2 dr ∴圆柱薄壳中的电场能量 dW = wdV = w2πrdrL = ln
4πεL r
b Q2 dr Q 2 b
∫ （2）介质中的总能量W =
= ln
a 4πεL r 4πεL a
3
（3）由W = Q2 ，得圆柱电容器的电容 C = 2πεL
2C
ln b
a
∫ 6．由高斯定理：
��
� Bcd
=
µ0I 8R
� i
� Bbc =
物理练习答案
练习二十五
1．水平向左， E = mgtgθ / q
2．2a 3．[3] 4．[2]
λdl 5．在 AB 上与 O 点相距为 l 处取 dl，其所带电量 dq = λdl 。 dq 在 p 点场强 dE = 4πε 0l 2 ，
方向向右。由于 AB 上任意 dq 在 p 点产生的场强方向相同，则
（r < R）
u = Q ⎜⎛ 1 − 1 ⎟⎞ +
Q
，
4πε 0ε r ⎝ r R + d ⎠ 4πε0 (R + d )
（R<r<R+d ）
Q
u=
，
4πε 0r
（r >R+d ）
练习三十
1． 0.21µ0 I / R ；垂直纸面向里
2． 2.2 ×10−6Wb
3．[3]
4．[4]
5．在与 p 点相距为 x 处，取一宽为 dx 的细长条，其中电流 dI = I dx ，它在 p 点产生的磁 a
3．[2] 4．[1]
5．（1）在棒上距 p 点为 l 处任取 dl ，其所带电量 dq = q dl ， dq 在 p 点的电势为 du = qdl ，
L
4πε 0 Ll
∫ ∴ u p =
r+L qdl
q r+L
=
ln
r 4πε 0 Ll 4πε 0 L r
（2）同理 uQ
=
q 4πε 0 L
ln⎜⎛ 3r + ⎝ 3r
=
1 4πε 0
⎛ ⎜⎜ ⎝
q
+Q R2
⎞ ⎟⎟ ⎠
电势差
∆u
=
1 4πε
0
⎜⎜⎛ ⎝
q r
−
q R1
⎟⎟⎞ ⎠
（2）球壳接地，球与球壳间的场分布不变，所以电势差也不变，仍与上同。 （3）若用导线连接，则为等势体，所以电势差 ∆u = 0 。 6．（1）金属球是个等势体
q
σ ′ds q
q
∫ U 球
= U 0 = 4πε 0r +
2πε 0 x
2πε 0 x
∫ ∫ 相同，则 f =
df =
L+R λ2
dx =
λ2
ln L + R ，方向沿 ab 相互排斥。
R 2πε 0 x 2πε 0 R
练习二十六
1． EπR2
2．0， 5L2 ， 6L2
3．略； 4．[4]
∫ 5．过场点作长为 l 的同轴圆柱面，由高斯定理得：
� E
⋅
� dS
D
s
⋅ dS
=
Σqi
，
E
=
D ，可知场分布为 ε
⎧
⎪ ⎪0
E
=
⎪⎪ Q ⎨ ⎪ 4πε 0ε r
r
2
⎪Q
⎪ ⎪⎩
4πε
0
r
2
r<R R < r < R+d
r >R+d
∞
∫ 由 u p =
Edr ，可得电势分布为
p
u = Q ⎜⎛ 1 − 1 ⎟⎞ +
Q
，
4πε 0ε r ⎝ R R + d ⎠ 4πε 0 (R + d )