命题人：江卫兵 审题人：孙居国一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,1,3U A B ===，则()U A B =U ð ▲ ； 2．已知α为第三象限角，则2tanα的符号为 ▲ (填“正”或“负”)；3．设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且CcA a sin cos =， 那么A ∠= ▲ ；4．在等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=，则9102a a -的值为 ▲ ； 5．若函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的图象的相邻两条对称轴的距离是π2，则ω的值为 ▲ ；6．若函数2()lg(1)f x mx mx =++的定义域为R ，则m 的取值范围是 ▲ ；7．设复数2(,)1i a bi a b R i-=+∈+，则a b += ▲ ；8．已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥09201y x y x x 则z x y =+的最大值是 ▲ ；9．函数2sin y x x =-在（0，π2）内的单调增区间为 ▲ ；10．若ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分别为c b a 、、，向量()a b c a m -+=,，),(b c a n -=，若⊥，则∠C 等于 ▲ ； 11．已知等比数列{}n a 中，363,24a a ==，则该数列的通项n a = ▲ ； 12．已知函数)(x f 是R 上的减函数，)2,3(),2,0(--B A 是其图象上的两点，那么不等式|2|)2(>-x f 的解集是 ▲ ；13．若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2008(8)f = ▲ ；14请将错误的一个改正为lg ▲ = ▲ ；南京师大附中2008—2009学年度第1学期高三年级期中考试数学答题卷班级 学号 ＿＿＿＿＿＿ 姓名 得分 一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1． ；2． ；3． ；4． ； 5． ；6． ；7． ；8． ； 9． ；10． ；11． ；12． ； 13． ；14．lg = ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分） 15．（本小题满分14分）已知20πα<<,且3sin 5α=（1）求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值； （2）求⎪⎭⎫⎝⎛-πα45tan 的值.16．（本小题满分14分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =o ∠，BD 交AC 于E ，2AB =．BAC DE（Ⅰ）求CBE ∠cos 的值； （Ⅱ）求AE ．17．（本小题满分14分）已知函数421,0()3,1c ccx x c f x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩ 满足29()8f c =； （1）求常数c 的值； （2）解不等式()2f x <．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x ()01x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2x . 记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y（元）.（1）写出y与x的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设(,)ij a i j N *∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数的第j 个数（如428a =）．⑴试用i 表示ii a （不要求证明）； ⑵若2008ij a =，求,i j 的值；⑶记三角形数表从上往下数第n 行的各数之和为n b ，令1,(1),(2)n n n c n n b n=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ．１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10…………20．（本题满分16分）已知函数()ln f x x =，)0(21)(2≠+=a bx ax x g （I ）若2-=a 时，函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（II ）在（I ）的结论下，设]2ln ,0[,)(2∈+=x be e x x x ϕ，求函数)(x ϕ的最小值； （III ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.南京师大附中2008—2009学年度第1学期 高三年级期中考试数学试卷（解答）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,1,3U A B ===，则()U C A B =U ▲ ；{4，5}2．已知α为第三象限角，则2tan α的符号为 ▲ (填“正”或“负”)；负3．设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，且CcA a sin cos =， 那么=A ▲ ；4π 4．在等差数列{}n a 中，1815360a a a ++=，则9102a a -的值为 ▲ ； 12 5．若函数)0)(sin(3)(>+=ωϕωx x f 的图象的相邻两条对称轴的距离是π2，则ω的值为 ▲ ；216．若函数2()lg(1)f x mx mx =++的定义域为R ，则m 的取值范围是 ▲ ；[0,4)7．设复数2(,)1i a bi a b R i-=+∈+，则a b += ▲ ； 18．已知变量x 、y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥09201y x y x x 则z x y =+的最大值是 ▲ ； 69．函数2sin y x x =-在（0，π2）内的单调增区间为 ▲ ；)35,3(ππ10．若ΔABC 的三个内角C B A 、、所对边的长分别为c b a 、、，向量()a b c a -+=,，),(b c a -=，若n m ⊥，则∠C 等于 ▲ ；π311．已知等比数列{a n }中，a 3=3，a 6=24，则该数列的通项a n =______3·2n －3________.12．已知函数)(x f 是R 上的减函数，)2,3(),2,0(--B A 是其图象上的两点，那么不等式|2|)2(>-x f 的解集是 ▲ ； ),2()1,(+∞--∞Y13．若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=， 则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2008(8)f = ▲ ； 1114．下列表中的对数值有且仅有一个是错误的：15 = 3a-b+c二、解答题：（本大题共6小题，共90分） 15．（本小题满分14分）已知20πα<<,且3sin 5α=（1）求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值；（2）求⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα45tan 的值.解：(1)由sin α=53又 0<α<2π ∴cos α=54,tan α=43∴ααααααααα22222sin cos 2cos sin 2sin 2cos cos 2sin sin -⋅+=++ =2333)43(2432)43(tan 2tan 2tan 2222=-⨯+=-+ααα （2）tan(71431143tan 11tan 45tan tan 145tan tan )45-=+-=+-=⋅+-=-ααπαπαπα16．（本小题满分14分）如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形，90ACB =o ∠，BD 交AC于E ，2AB =．（Ⅰ）求CBE ∠cos 的值； （Ⅱ）求AE ．解：（Ⅰ）因为9060150BCD=+=o o o ∠，CB AC CD ==，所以15CBE=o ∠．所以cos cos(4530)CBE =-=o o ∠． （Ⅱ）在ABE △中，2AB =，由正弦定理2sin(4515)sin(9015)AE =-+o o o o． 故2sin 30cos15AE =oo 124⨯== 17．（本小题满分14分）已知函数421,0()3,1c ccx x c f x x x c x +<<⎧=⎨+≤<⎩ 满足29()8f c =； （1）求常数c 的值； （2）解不等式()2f x <．B AC DE解：（1）因为01c <<，所以2c c <； 由29()8f c =，即3918c +=，12c = （2）由（1）得211122()31x x f x x x x ⎧⎛⎫+0<< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨1⎛⎫⎪+< ⎪⎪2⎝⎭⎩，，≤由()2f x <得，当102x <<时，解得102x <<，当112x <≤时，2320x x +-<解得1223x <≤， 所以()2f x <的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭．18．（本题满分16分）某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x ()01x <<，那么月平均销售量减少的百分率为2x .记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y （元）.（1）写出y 与x 的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 18、（1）改进工艺后，每件产品的销售价为()201x +，月平均销售量为()21a x -件，则月平均利润()()2120115y a x x =-⋅+-⎡⎤⎣⎦（元），∴y 与x 的函数关系式为()235144y a x x x =+-- ()01x << （2）由()2542120y a x x '=--=得112x =，23x =-（舍） 当102x <<时0y '>；112x <<时0y '<，∴函数()235144y a x x x =+-- ()01x <<在12x =取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为12012⎛⎫+ ⎪⎝⎭30=元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.19. （本小题满分16分）把自然数按上小下大、左小右大的原则排成如图的三角形数表（每行比上一行多一个数）．设(,)ij a i j N *∈是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数的第j 个数（如428a =）．１２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10…………⑴试用i 表示ii a （不要求证明）； ⑵若2008ij a =，求,i j 的值；⑶记三角形数表从上往下数第n 行的各数之和为n b ，令1,(1),(2)n n n c n n b n=⎧⎪=⎨≥⎪-⎩，若数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ．解：（1）∵三角形数表中前n 行共有(1)122n n n ++++=L 个， 即第i 行的最后一个数是(1)2i i + ∴ii a =(1)2i i + （2）由题意，先求使得i 是不等式(1)20082i i +≥的最小正整数解．由(1)20082i i +≥，得240160i i +-≥∵*i N ∈，∴11112662.5222i -+-+-+≥>==，∴63i = （另解：∵626363641953,201622⨯⨯== ∴63i =）于是，第63行的第一个数是6263119542⨯+=， 故(20081954)155j =-+=（3）前n 行的所有自然数的和为21(1)(1)(1)(2)[1]2222n n n n n n n n n S +++++=⨯+=则21(1)2n n n n n b S S -+=-=，所以，当2n ≥时，2211111n n n c b n n n n ===----+， 111111111()()()()132435111115115211121212(1)n T n n n n n n n n n =+-+-+-++--++=++--=--=-+++L当1n =时，1n T =也适合，521()2(1)n n T n N n n *+∴=-∈+ 20．（本题满分16分）已知函数()ln f x x =，)0(21)(2≠+=a bx ax x g（I ）若2-=a 时，函数)()()(x g x f x h -=在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（II ）在（I ）的结论下，设]2ln ,0[,)(2∈+=x be e x x x ϕ，求函数)(x ϕ的最小值； （III ）设函数)(x f 的图象1C 与函数)(x g 的图象2C 交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交1C 、2C 于点M 、N ，问是否存在点R ，使1C 在M 处的切线与2C 在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由.解：（I ）依题意：.ln )(2bx x x x h -+=()h x Q 在（0,+∞）上是增函数，1()20h x x b x '∴=+-≥对x ∈（0,+∞）恒成立， 12,0b x x x ∴≤+>Q ，则12x x+≥ b ∴的取值范围是(,-∞.（II ）设].2,1[,,2∈+==t bt t y e t x 则函数化为 22().24b b y t =+-∴Q 当12b-≤，即2b -≤≤y 在[1,2]上为增函数，当1t =时，min 1y b =+；,]2,1[4,22;42,24,2212min 上是减函数在函数时即当时当时即当y ，b bb ，y b t b b -≤≥--=-=-<<-<-< 当2t =时，min 42y b =+.综上所述：21,2(),42442, 4.b b bx b b b ϕ⎧+-≤≤⎪⎪=--<<-⎨⎪+≤-⎪⎩（III ）设点P 、Q 的坐标是.0),,(),,(212211x x y x y x <<且则点M 、N 的横坐标为.221x x x += C 1在点M 处的切线斜率为.2|1212121x x x k x x x +==+= C 2在点N 处的切线斜率为.2)(|212221b x x a b ax k x x x ++=+=+= 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行，则.21k k =即1212()2.2a x xb x x +=++则 22222121212211122212112()()()()()222ln ln ln,x x a x x a ab x x x bx x bx x x x y y x x x --=+-=+-++=-=-=22211211212(1)2()ln 1x x x x x x x x x x --∴==++ 设211,x u x =>则2(1)ln ,1,1u u u u -=>+ (1)令2(1)()ln ,11u r u u u u-->+，则22214(1)()(1)(1)u r u u u u u -'=-=++，1,()0u r u '>∴>Q ，所以 ()r u 在[1,)+∞上单调递增，故()(1)0r u r >=，则2(1)ln 1u u u ->+，与（1）矛盾！。