A.－1
B.－13
1 C.3
D.1
解析 ∵f(x)＝x2＋2ʃ 10f(x)dx，
∴ʃ 10f(x)dx＝(13x3＋2xʃ 10f(x)dx)|10 ＝13＋2ʃ 10f(x)dx， ∴ʃ 10f(x)dx＝－13.
点评 (1)计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性 质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理 求解； (2)对有关函数图象和圆的定积分问题可以利用定积分的 几何意义求解.
4
＋(－cos x－sin x)
0
π4－sin 0－cos 0＋[(－cos

2π－π4 sin
2π)－
(－cos π4－sin 4π)]＝2 2－2. 故选D.
方法二 由 sin x＝cos x(x∈(0，π2))，得 x＝4π.
根据图象的对称性，可知所求阴影部分的面积
S＝2π4 (cos x－sin x)dx
专题3 函数与导数
定积分问题
题型分析·高考展望
定积分在理科高考中，也是重点考查内容.主要考查定积 分的计算和利用定积分求不规则图形的面积，题目难度 不大，多为中低档题目，常以选择题、填空题的形式考 查，掌握定积分的计算公式，会求各种类型的曲边图形 的面积是本节重点.
常考题型精析 高考题型精练
常考题型精析
将点(5,2)代入抛物线方程得 a＝225， 故抛物线方程为 y＝225x2， 抛物线的横截面面积为 S1＝2502－225x2dx ＝22x－725x350 ＝430(m2)，
而原梯形下底为 10－tan245°×2＝6(m)， 故原梯形面积为 S2＝12(10＋6)×2＝16，
(2)直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C
所围成的图形的面积等于( )
4
8
16 2
A.3
B.2
C.3
D. 3
解析 ∵抛物线方程为x2＝4y，
∴其焦点坐标为F(0,1)，故直线l的方程为y＝1.
即 S＝4－2ʃ 20x42dx＝ 4－2·1x23 20＝4－43＝38. 答案 C
A.1 解析
π B.4
22 C. 3
D.2 2－2
方法一 由 sin x＝cos x(x∈(0，π2))，得 x＝π4.
故所求阴影部分的面积
S＝π4
0
π
(cos x－sin x)dx＋2
π
(sin x－cos x)dx
4
π
π2
＝(sin ＝sin
x＋cos π4＋cos
x)
x2， x∈[0，1]， 变式训练 1 (1)设 f(x)＝2－x， x∈1，2]， 则 ʃ 20f(x)dx 等
于( C )
3
4
5
A.4
B.5
C.6
解析 ʃ 20f(x)dx＝ʃ 10x2dx＋ʃ 21(2－x)dx
＝13x3|10＋2x－12x2|21 ＝13＋4－2－2＋12＝56.
题型一 定积分的计算 题型二 利用定积分求曲边梯形的面积
题型一 定积分的计算
例1 (1)(2014·陕西)定积分ʃ10 (2x＋ex)dx的值为( C )
A.e＋2
B.e＋1
C.e
D.e－1
解析 ʃ 10(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|10＝e.故选 C.
(2)(2014·江西)若 f(x)＝x2＋2ʃ 10f(x)dx，则 ʃ 10f(x)dx 等于( B )
变式训练2 (2015·陕西)如图，一横截面为 等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠 截面边界呈抛物线型(图中虚线表示)，则原始的最大流量与 当前最大流量的比值为________. 解析 由题意可知最大流量的比即为横截 面面积的比，建立以抛物线顶点为原点的 直角坐标系，如图所示，
设抛物线方程为y＝ax2，
0
0
＝12gt2t00 ＝12gt20.
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2.若π2(sin x－acos x)dx＝2，则实数 a 等于( A )
0
A.－1
B.1
C.－ 3
ห้องสมุดไป่ตู้
D. 3
解析
π
π2sinx－acosxdx＝－cos x－asin x2
0
0
＝－a＋1＝2，a＝－1.
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
3.由直线 x＝－3π，x＝3π，y＝0 与曲线 y＝cos x 所围成的封闭 图形的面积为( D )
1 A.2 解析
B.1
π
3 cos

-π
xdx=sin
SS21＝1460＝1.2. 3
答案 1.2
高考题型精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1.已知自由落体运动的速率v＝gt，则落体运动从t＝0到t＝t0
所走的路程为( C )
A.g3t20
B.gt20
C.g2t20
D.g6t20
解析 由题意，可知所走路程为t0vdt＝t0gtdt
D.不存在
(2)若定积分
ʃ
m －2
－x2－2xdx＝4π，则 m 等于(
)
A.－1
B.0
C.1
D.2
解析 根据定积分的几何意义知，
定积分
ʃ
m －2
－x2－2xdx 的值就是函数 y＝
－x2－2x的图象与
x 轴及直线 x＝－2，x＝m 所围成图形的面积， y＝ －x2－2x是一个半径为 1 的半圆，其面积等于π2，
0
π
＝2(sin x＋cos x)
4
0
＝2(sin π4＋cos π4－sin 0－cos 0) ＝2 2－2.
故选D. 答案 D
点评 求曲边多边形面积的步骤： (1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形. (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上 限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和. (4)计算定积分.
而
ʃ
m －2
－x2－2xdx＝4π，
即在区间[－2，m]上该函数图象应为14个圆，
于是得m＝－1，故选A.
答案 A
题型二 利用定积分求曲边梯形的面积
例2 (1)(2014·山东)直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围 成的封闭图形的面积为( D )
A.2 2
B.4 2
C.2
D.4
解析 令4x＝x3，解得x＝0或x＝±2， ∴S＝ʃ 20(4x－x3)＝ 2x2－x4420＝8－4＝4，故选 D.