2019年广东省中考数学信息卷四一．选择题（30分）1．3的相反数是（）A．﹣3B．3C．D．﹣2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到22000公里，将22000用科学记数法表示应为（）A．2.2×104B．22×103C．2.2×103D．0.22×1053.下列运算正确的是（）A．2a3+a＝3a4B．（2x3y）2＝4x6y2C．a（a﹣b+1）＝a2﹣ab D．2ab﹣3a（b﹣a）＝﹣ab﹣3a24.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5.某车间20名工人每天加工零件数如表所示：这些工人每天加工零件数的众数、中位数分别是（）A．5，5B．5，6C．6，6D．6，56.如图，在△ABC中，D，E分别在边AC与AB上，DE∥BC，BD、CE相交于点O，＝，AE＝1，则EB的长为（）A．1B．2C．3D．47.一次函数y＝（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m的取值范围是（）A．m＜2B．1＜m＜2C．m＜1D．m＞28.如图，⊙O的直径AB＝2，弦AC＝1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°9.如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在BC上，BE＝1，△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF，则FE的长等于（）A．3B．2C．3D．210.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．二．填空题（24分）11.因式分解：16a3﹣4a＝．12.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是．13.若点P（4，﹣5）和点Q（a，b）关于原点对称，则a的值为．14.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在边BC上，把△DEC沿DE翻折后，点C落在C′处．若△ABC′恰为等腰三角形，则CE的长为．15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC过圆心O，且AC⊥BD，P为BC延长线上一点，PD⊥BD，若AC＝10，AD＝8，则BP的长为．16.反比例函数y＝，y＝在同一直角坐标系中的图象如图所示，则△AMN的面积为．（用含有k1、k2代数式表示）三．解答题（18分）17.计算：（﹣1）2019+（﹣）﹣2﹣|2﹣|+4sin60°；18.先化简，再求值：，其中．19.已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，E为BC边中点．（1）尺规作图：以AC为直径，作⊙O，交AB于点D（保留作图痕迹，不需写作法）．（2）若AC＝5，DE＝，求BD的长．四．解答题（21分）20.为了解本校学生平均每天的课外学习时间情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，设学习时间为t（小时）：A：t＜1，B：1≤t ＜1.5，C：1.5≤t＜2，D：t≥2，根据调查结果绘制了如图所示的两副不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了名学生，请将条形统计图补充完整；（2）求表示B等级的扇形圆心角α的度数；（3）在此次问卷调查中，甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时，乙班有3人平均每天课外学习时间超过2小时，若从这5人中任选2人去参加座谈，请用列表或画树状图的方法求选出的2人中至少有1人来自甲班的概率．21.如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成53°的夹角．树杆AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE＝6米，塔高DE＝9米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条直线上，点F、A、D也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）22.某学校准备购买A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A、B两种型号篮球的情况：（1）求A、B两种型号的篮球的销售单价；（2）若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，且A种型号的篮球数量小于B种型号的篮球，问A种型号的篮球采购多少个？五．解答题（27分）23.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一点A（m﹣b，n）（m≠b），且n＝m2﹣mb+c．（1）若a＝b，c＝0，求抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标（2）若抛物线y═ax2+bx+c与x轴只有一个交点，求b与c的数量关系（3）在（2）的条件下，若抛物线y═ax2+bx+c经过点（﹣1，0），则当m为何值时，n 有最小值？24.如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，＝，AO的延长线交⊙O于点F、交DB的延长线于点P，连接PC且恰好PC∥AB，连接DF交AB于点G，延长DF交CP于点E，连接BF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CE＝PE；（3）当BF＝2时，求tan∠APD的值．25.已知，如图①，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠A＝90°，DC＝6，AB＝12，BC＝10．Rt△EFG（∠EGF＝90°）的边EF与BC完全重合，FG与BA在同一直线上．现将Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移（如图②），EF、EG分别交AC于点H、Q，同时点M以cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，连接FM，当点E运动到点D时，Rt△EFG和点M都停止运动．设点M运动的时间为t（s）（1）当点Q是AC的中点时，求t的值；（2）判断四边形CHFM的形状，并说明理由；（3）如图③，连接HM，设四边形ABMH的面积为s，求s与t的函数关系式及s的最小值．2019年广东省中考数学信息卷四一．选择题（30分）1．3的相反数是（）A．﹣3B．3C．D．﹣【分析】依据相反数的定义回答即可．【解答】解：3的相反数是﹣3．故选：A．【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程将达到22000公里，将22000用科学记数法表示应为（）A．2.2×104B．22×103C．2.2×103D．0.22×105【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：22000＝2.2×104．故选：A．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.下列运算正确的是（）A．2a3+a＝3a4B．（2x3y）2＝4x6y2C．a（a﹣b+1）＝a2﹣ab D．2ab﹣3a（b﹣a）＝﹣ab﹣3a2【分析】分别依据合并同类项法则、单项式的乘方、单项式乘多项式法则逐一计算即可得出答案．【解答】解：A．2a3与a不是同类项，不能合并，此选项错误；B．（2x3y）2＝4x6y2，此选项正确；C．a（a﹣b+1）＝a2﹣ab+a，此选项错误；D．2ab﹣3a（b﹣a）＝2ab﹣3ab+3a2＝﹣ab+3a2，此选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查单项式乘多项式，解题的关键是掌握合并同类项法则、单项式的乘方、单项式乘多项式法则．4.下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断出答案．【解答】解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确；B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误；D、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴．5.某车间20名工人每天加工零件数如表所示：这些工人每天加工零件数的众数、中位数分别是（）A．5，5B．5，6C．6，6D．6，5【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．【解答】解：由表知数据5出现次数最多，所以众数为5；因为共有20个数据，所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为＝6，故选：B．【点评】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．6.如图，在△ABC中，D，E分别在边AC与AB上，DE∥BC，BD、CE相交于点O，＝，AE＝1，则EB的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】先由DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理得到＝＝；同样得到＝＝，然后计算出AB，从而得到BE的长．【解答】解：∵DE∥BC，∴＝＝；∵DE∥BC，∴＝＝，∴AB＝3AE＝3，∴BE＝3﹣1＝2．故选：B．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了平行线分线段成比例定理．7.一次函数y＝（m﹣2）x+（m﹣1）的图象如图所示，则m的取值范围是（）A．m＜2B．1＜m＜2C．m＜1D．m＞2【分析】根据一次函数的图象经过第二、三、四象限判断出函数k及b的符号，得到关于m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：∵一次函数y＝（m﹣2）x+（m﹣1）的图象在第二、三、四象限，∴，解得1＜m＜2．故选：B．【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y＝kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b＝0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交．8.如图，⊙O的直径AB＝2，弦AC＝1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】由⊙O的直径是AB，得到∠ACB＝90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B的值，继而求得∠A和∠D的值．【解答】解：∵⊙O的直径是AB，∴∠ACB＝90°，又∵AB＝2，弦AC＝1，∴sin∠CBA＝，∴∠CBA＝30°，∴∠A＝∠D＝60°，故选：C．【点评】本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意特殊三角函数的取值．9.如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在BC上，BE＝1，△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF，则FE的长等于（）A．3B．2C．3D．2【分析】由题意可得EC＝2，CF＝4，根据勾股定理可求EF的长．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形∴AB＝BC＝CD＝3∵△ABE绕点A逆时针旋转后得到△ADF∴DF＝BE＝1∴CF＝CD+DF＝3+1＝4CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2在Rt△EFC中，EF＝＝2故选：D．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．10.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（）A．B．C．D．【解答】解：①x≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，∴y＝×1×＝，②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为，y＝（2﹣x）×＝x2﹣x+，③当x＝2时，两个三角形没有重叠的部分，即重叠面积为0，故选：B．二．填空题（24分）11.因式分解：16a3﹣4a＝．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝4a（4a2﹣1）＝4a（2a+1）（2a﹣1），故答案为：4a（2a+1）（2a﹣1）【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是．【分析】由方程根的情况，根据根的判别式可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a﹣1＝0有实数根，∴△≥0，即（﹣2）2﹣4（a﹣1）≥0，解得a≤2，故答案为：a≤2．【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．13.若点P（4，﹣5）和点Q（a，b）关于原点对称，则a的值为．【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．【解答】解：∵点P（4，﹣5）和点Q（a，b）关于原点对称，∴点Q的坐标为（﹣4，5），即a＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．14.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E在边BC上，把△DEC沿DE翻折后，点C落在C′处．若△ABC′恰为等腰三角形，则CE的长为．【分析】分两种情形分别求解即可解决问题．【解答】解：如图1中，当C′A＝C′B时，作C′H⊥AD于H交BC于F．易知HC′＝FC′＝1，在Rt△DHC′中，DH＝＝，由△DHC′∽△C′FE，可得：＝，∴＝，∴EF＝，∵四边形DHFC是矩形，∴CF＝DH＝，∴CE＝﹣＝．如图2中，当AB＝AC′时，点C′在AD上，此时四边形CEC′D是正方形，CE＝2．综上所述，满足条件的CE的值为2或．【点评】本题考查矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题属于中考常考题型．15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC过圆心O，且AC⊥BD，P为BC延长线上一点，PD⊥BD，若AC＝10，AD＝8，则BP的长为．【分析】根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，根据勾股定理得到CD＝＝6，推出点C是PB的中点，根据直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∵AC＝10，AD＝8，∴CD＝＝6，∵AC⊥BD，∴AC平分BD，∵PD⊥BD，∴AC∥PD，∴点C是PB的中点，∴PB＝2CD＝12，故答案为：12．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，平行线的判定和性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．16.反比例函数y＝，y＝在同一直角坐标系中的图象如图所示，则△AMN的面积为．（用含有k1、k2代数式表示）【分析】依据A（a，），即可得到M（a，），N（a，），进而得出AN＝a ﹣a，AM＝﹣，再根据△AMN的面积＝AN×AM进行计算即可．【解答】解：设A（a，），则M（a，），N（a，），∴AN＝a﹣a，AM＝﹣，∴△AMN的面积＝AN×AM＝×（a﹣a）×（﹣）＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题时注意：在反比例函数y ＝图象上任一点的横坐标与纵坐标的乘积等于k．三．解答题（18分）17.计算：（﹣1）2019+（﹣）﹣2﹣|2﹣|+4sin60°；【分析】本题涉及乘方、负指数幂、二次根式化简、绝对值和特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝-1+4﹣（2﹣2）+4×，＝-1+4﹣2+2+2，＝5．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18.先化简，再求值：，其中．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=•=•=，当a=﹣1时，原式=．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.已知，如图，△ABC中，∠C＝90°，E为BC边中点．（1）尺规作图：以AC为直径，作⊙O，交AB于点D（保留作图痕迹，不需写作法）．（2）若AC＝5，DE＝，求BD的长．【分析】（1）根据要求作图即可得；（2）证Rt△BDC∽Rt△BCA得＝，代入计算可得．【解答】解：（1）如图1，（2）∵E为BC边中点，∴BC＝2DE＝，∵AC＝5，∴AB＝，∵∠DBC＝∠CBA，∴Rt△BDC∽Rt△BCA，∴＝，即＝，∴BD＝．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点．四．解答题（21分）20.为了解本校学生平均每天的课外学习时间情况，学校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，设学习时间为t（小时）：A：t＜1，B：1≤t ＜1.5，C：1.5≤t＜2，D：t≥2，根据调查结果绘制了如图所示的两副不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽取了名学生，请将条形统计图补充完整；（2）求表示B等级的扇形圆心角α的度数；（3）在此次问卷调查中，甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时，乙班有3人平均每天课外学习时间超过2小时，若从这5人中任选2人去参加座谈，请用列表或画树状图的方法求选出的2人中至少有1人来自甲班的概率．【分析】（1）根据A类的人数和所占的百分比即可求出总数，用总数减去其它等级的人数求出C等级的人数，从而补全统计图；（2）用B的人数除以总人数再乘以360°，即可得到圆心角α的度数；（4）先设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，B3根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可．【解答】解：（1）本次抽样调查共抽取的学生数是：60÷30%＝200；C等级的人数有：200﹣60﹣30﹣70＝40（人），补图如下：故答案为：200；（2）∵B等级所占的比为：×100%＝15%，∴a＝15%×360°＝54°；（3）设甲班的2名同学分别用A1，A2表示，乙班3名同学分别用B1，B2，B3表示，随机选出两人参加座谈的树状图如下：∵共有20种等可能结果，而选出2人中至少有1人来自甲班的有14种，∴所求概率为：＝．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21.如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成53°的夹角．树杆AB旁有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE＝6米，塔高DE＝9米．在某一时刻的太阳照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条直线上，点F、A、D也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）【解答】解：∵AB⊥EF，DE⊥EF，∴∠ABC＝90°，AB∥DE，∴△F AB∽△FDE，∴＝，∵FB＝4米，BE＝6米，DE＝9米，∴＝，得AB＝3.6米，∵∠ABC＝90°，∠BAC＝53°，cos∠BAC＝，∴AC＝＝＝6米，∴AB+AC＝3.6+6＝9.6米，即这棵大树没有折断前的高度是9.6米．22.某学校准备购买A、B两种型号篮球，询问了甲、乙两间学校了解这两款篮球的价格，下表是甲、乙两间学校购买A、B两种型号篮球的情况：（1）求A、B两种型号的篮球的销售单价；（2）若该学校准备用不多于1000元的金额购买这两种型号的篮球共20个，且A种型号的篮球数量小于B种型号的篮球，问A种型号的篮球采购多少个？【分析】（1）设A种型号的篮球的销售单价为x元/个，B种型号的篮球的销售单价为y 元/个，根据总价＝单价×数量结合甲、乙两校购买篮球所花费用及购买数量，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买m个A种型号的篮球，则购买（20﹣m）个B种型号的篮球，根据A种型号的篮球数量小于B种型号的篮球及购买总费用不多于1000元，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可求出结论．【解答】解：（1）设A种型号的篮球的销售单价为x元/个，B种型号的篮球的销售单价为y元/个，根据题意得：，解得：．答：A种型号的篮球的销售单价为26元/个，B种型号的篮球的销售单价为68元/个．（2）设购买m个A种型号的篮球，则购买（20﹣m）个B种型号的篮球，根据题意得：，解得：≤m＜10．又∵m为整数，∴m＝9．答：A种型号的篮球采购9个．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．五．解答题（27分）23.已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上的一点A（m﹣b，n）（m≠b），且n＝m2﹣mb+c．（1）若a＝b，c＝0，求抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点坐标（2）若抛物线y═ax2+bx+c与x轴只有一个交点，求b与c的数量关系（3）在（2）的条件下，若抛物线y═ax2+bx+c经过点（﹣1，0），则当m为何值时，n 有最小值？【分析】（1）a＝b，c＝0代入表达式得到ax2+ax＝0，即可求点；（2）A（m﹣b，m2﹣mb+c）代入表达式得a＝1，△＝b2﹣4c＝0求关系式；（3）将点（﹣1，0）代入解析式，c＝1，b＝2得到n＝m2﹣mb+c＝（m﹣1）2即可求解；【解答】解：（1）∵a＝b，c＝0，∴y＝ax2+ax，ax2+ax＝0，∴x＝0或x＝﹣1，∴抛物线与x轴交点坐标（0，0），（﹣1，0）；（2）∵n＝m2﹣mb+c，∴A（m﹣b，m2﹣mb+c），将点A代入抛物线y＝ax2+bx+c，∴a（m﹣b）2+b（m﹣b）+c＝m2﹣mb+c，整理，得（m﹣b）2（a﹣1）＝0，∵m≠b，∴a＝1，∴y＝x2+bx+c，△＝b2﹣4c＝0；∴b2＝4c；（3）∵y＝x2+bx+c，将点（﹣1，0）代入解析式，∴b＝1+c，∴（1+c）2＝4c，∴c＝1，b＝2，∴n＝m2﹣mb+c＝（m﹣1）2，当m＝1时，n有最小值0；【点评】本题考查二次函数的性质；掌握函数点与解析式之间的关系，函数图象与x轴交点的存在条件，二次函数最值的求法是解题的关键．24.如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的一条弦，＝，AO的延长线交⊙O于点F、交DB的延长线于点P，连接PC且恰好PC∥AB，连接DF交AB于点G，延长DF交CP于点E，连接BF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：CE＝PE；（3）当BF＝2时，求tan∠APD的值．【分析】（1）根据垂径定理证明CD⊥AB，由PC∥AB，可得PC⊥CD，可得结论；（2）证明△FEP∽△PED，得，则PE2＝EF•ED，同理得：△ECF∽△EDC，则EC2＝EF•ED，可得CE＝PE；（3）根据平行线分线段成比例定理得：，，则，可得GH＝BG，证明△DHG≌△FBG（ASA），得DH＝BF＝2，作辅助线，根据等腰三角形三线合一得：，分别由勾股定理计算各线段的长，最后由三角函数定义可得结论．【解答】（1）证明：∵CD是⊙O的直径，∴CD⊥AB，又∵PC∥AB，∴PC⊥CD，∴PC为⊙O的切线；……（3分）（2）∵PC∥AB，∴∠EPF＝∠PAB，∠FDB＝∠PAB，∴∠EPF＝∠FDB，∵∠PEF＝∠DEP，∴△FEP∽△PED，∴，∴PE2＝EF•ED，连接CF，同理得：△ECF∽△EDC，∴，即EC2＝EF•ED，∴CE2＝PE2，∴CE＝PE；……（7分）（3）∵PC∥AB，∴，，∴，由（2）知：CE＝PE，∴GH＝BG，∴∠HGD＝∠BGF，∠DHG＝∠FBG＝90°，∴△DHG≌△FBG（ASA），∴DH＝BF＝2，又AO＝OF，AH＝HB，∴OH＝BF＝1，∴OD＝3，CD＝6，连接OB，过点O作OM⊥DB，则OB＝OD＝3，∴，∴，，∴，又PC∥AB，∴，∴，∴，∴MP＝5，在Rt△POM中，tan∠APD＝＝＝……（10分）【点评】本题考查了切线的判断和性质，三角形全等的判定和性质，相似三角形的判断和性质，平行线分线段成比例定理，三角函数等，第三问有难度，作出辅助线构建直角三角形，根据平行线分线段成比例定理和勾股定理求各边的长是解题的关键．25.已知，如图①，直角梯形ABCD，AB∥CD，∠A＝90°，DC＝6，AB＝12，BC＝10．Rt△EFG（∠EGF＝90°）的边EF与BC完全重合，FG与BA在同一直线上．现将Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移（如图②），EF、EG分别交AC于点H、Q，同时点M以cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，连接FM，当点E运动到点D时，Rt△EFG和点M都停止运动．设点M运动的时间为t（s）（1）当点Q是AC的中点时，求t的值；（2）判断四边形CHFM的形状，并说明理由；（3）如图③，连接HM，设四边形ABMH的面积为s，求s与t的函数关系式及s的最小值．【分析】（1）根据点Q是AC的中点时，得出EC＝3，即可得出t的值即可；（2）根据平行四边形的判定与性质首先得出四边形CEFB是平行四边形，进而得出四边形CHFM是平行四边形；（3）根据MN∥CR，得出＝，进而求出MN的长，再利用三角形面积相等求出HW的长，进而利用三角形面积求出即可．【解答】解：（1）∵点Q是AC的中点时，得出E，G分别在DC，AG中点，即EC＝3，∴t＝1；（2）平行四边形理由：∵Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移，点M以cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，∴当运动t秒时，BF＝3t，CE＝t，＝＝，∴＝，∴MF∥AC，∵EC＝BF（平移的性质），AB∥CD，∴四边形CEFB是平行四边形，∴EF∥BC，∴HF∥CM，CH∥MF，∴四边形CHFM是平行四边形；（3）作CR⊥AB，NM⊥AB，FZ⊥BM，HW⊥BC，∴MN∥CR，∴＝，∵DC＝6，AB＝12，BC＝10，将Rt△EFG以3cm/s的速度水平向左作匀速平移（如图②），EF、EG分别交AC于点H、Q，同时点M以cm/s的速度从点B出发沿BC向点C作匀速运动，∴＝，∴MN＝2t，∵MN×FB＝FZ×MB，∴FZ＝t，∴HW＝t，∴S＝S△ABC ﹣S△HMC，＝48﹣×t×（10﹣t），＝3t2﹣12t+48＝3（t﹣2）2+36，∴S最小值＝36．【点评】此题主要考查了三角形的面积求法以及相似三角形的判定与性质等知识，根据三角形面积公式求出S△ABC 与S△HMC是解决问题的关键．。