第一章 行列式习题
1. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的第一列移到最后一列，其余各列依次保持原来的次序向左移动，则得到的行列式值为 。

（1(1)n c --）
2. n 阶行列式D 的值为c ，若将D 的所有元素改变符号，得到的行列式值为 。

（(1)n c -）
3. 2
(1)
(2,1,21,2,,1,)(21)0(23)012
2
k k N k k k k k k k k --+=-++-+++=+
?。

4. 由行列式的定义计算行列式
41333123362
6
x
x x x x
x
展开式中4x 和3
x 的系数。

（3412, 12x x -）
（分析：4
x 的系数：四个元素中必须全都包含x 。

第一行只能取11a ，第三行只能取33a ，这样第二、四
行只能取22a 和44a ，则此项为(1234)
4
11223344(1)
4312N a a a a x x x x x -=⋅⋅⋅=。

3
x 的系数：(2134)
(4231)
333
1221334441223314(1)
(1)3912N N a a a a a a a a x x x -+-=--=-。

）
5. 已知1703，3159，975，10959能被13整除，不直接计算行列式
17033159097510
959
的值，证明他是13的倍数。

证明：
1234
1701703170170341000131531593153159410021309709750979754103
10
9
5
10
9
5
9
10
9
5
10959
l c c l c c l c c l +⋅+⋅=⋅
+⋅，能被13整除。

注意，以下两个行列式：
1703170370331593159159097597597510
9
5
910959
9
5
9
≠
，所以一定要加到最后一列上。

6. 设行列式3112523420111
3
3--=
--D ，求11213141243A A A A +--及2123242-++M M M 。

（0和-5）
解：112131412
1124234243010113
3
3
A A A A -+--=
=----。

212324212223243
1121012202520111
3
3
M M M A A A A ---++=+⋅-+=
=---。

7. 计算行列式的值
(1)
11
122123(2134)
(1324)
21123344113223441123324412213344323344
0000(1)
(1)
000
N N a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+-=--；
（2）
6
6
7
18238232331000800203182312154954949910005004091549231010(40)41016676676771000600607166734
198698686
6
1000
900
80
61
9
8
6
c c c c c c --=⋅
=⋅-=⨯-；
（3）
1101
233
02612
11421211216321062
32102
3
2
1
23
21------=⋅⋅=---；
（4）123123
123001
234
5600
13456(1)0(8)07
89005
7
7
8
9
000130
5
7
+++++=⋅-⋅
=⋅-=；
（5）
2
2
11111111111111110
001111000001111000000001
1
1
10
x x x y
y
x
x x x x x x x x y y x y y y y
x
y
y
y
+-+
-
++-----==
==+------。

8. 试证： 1
23
4
11212312344
111212312341
12
123
1234
2324323631063a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++=
=++++++++++++。

（课本第13页，例3）
9. 求证：行列式2222222222222222222
2
2
2
2
2
(1)(2)(4)2144692126(1)(2)(4)21446921260(1)(2)(4)2144692126(1)
(2)
(4)
21
446921
2
6++++++++++++++=
===++++++++++++++a
a a a a a a a a a
b b b b b b b b b b D
c c c c c c c c c c d
d d d d
d d d d
d 。

10. 求使得()11,x y ，()22,x y ，()33,x y 位于同一直线上的充要条件。

1
12
23
3
1101
x y x y x y = 解：设直线方程为0ax by c ++=，将以上三点代入直线方程：
11223
30
00ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩（,,a b c 为未知数）
，只需令这个齐次线性方程组有非零解，系数行列式11223
3
1101
x y x y x y =。

11. 求λ为何值时，方程组1231231
230
030
λλ++=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩x x x x x x x x x 有非零解。

（1λ=）
解：系数行列式11
1
103
1
1
λλ
=-，则有1λ=。

12. 设12,,,n a a a 为互不相等的常数，求解线性方程组2111213121
122232211
231
1
1
n n n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ---⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪
⎪++++=⎩
解：系数行列式2111
1
2
1
22221
1
101
n n n n n
n
a a a a a a D a a a ---=
≠
，方程组有唯一解， （121,0,,0n x x x === ）
2111
1
2
1
222121111
n n n n
n
n
a a a a a a D D a a a ---=
=
，211
1
2
1
22221
1
11101
1
n n n n
n
a a a a D a a ---=
=
，同理230n D D D ==== ，由克莱姆
法则，方程组的解为：111D x D
=
=，220D x D
=
=，…，0n n D x D
=
=。

补充： 计算下列行列式：1. 2
2
1123122323152
3
1
9x D
x
-=
-3(1)(1)(2)(2)=--+-+x x x x
解：设()=D f x ，则(1)(2)0±=±=f f ，则(1)(1)(2)(2)=-+-+D c x x x x ，而
1
1231123123
12230100(0)2154(14)12231523150
4
2
3
1
90
4
f =
=
==⋅-=-， 同时(0)(1)1(2)2412=⋅-⋅⋅-⋅==-f c c ，因此3=-c ，即3(1)(1)(2)(2)=--+-+D x x x x 。

2. 2
1
1212
12222
12111n n n n
n
n
a a a a a a a a a a D a a a a a ++=
+
（21
1n
i
i a
=+
∑）
22
1212
1122
111212
2
12222
1221
1111000
101000100
100100
1
10
1
1=+++-+==-=+-+=+
∑
n n n
n n n n n
n
n
n
n
i
i a a a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a a a a a a a a a a。