导数中的参数范围的求法一、 与单调性有关的参数问题此时参数可以位于函数中也可以位于区间内，常见的提问方式是函数在某个区间单调递减、单调递增、单调、不单调，研究这类问题的关键是把握原函数和导函数的关系，这里需要注意的一个问题：若函数()f x 单调，则'()f x 恒为非正或非负，函数的极值点并不等同于导函数的零点，极值点的个数和导函数的根的个数也不能直接划等号。

例1.已知函数32()39f x x x x =--在区间(,21)a a -上单调递减，求a 的取值范围。

解析：先根据函数单调性作出函数的趋势图像，再安排存在参数的区间位置即可。

'2()3693(1)(3)f x x x x x =--=+-令'()0f x >，则3x >或1x <-；令'()0f x <，则13x -<<，作出趋势图像如下：函数在区间(,21)a a -上单调递减，需满足12131221a a a a a ≥-⎧⎪-≤⇒<≤⎨⎪->⎩例2．已知函数22()ln f x x a x x=++在[1,4]上是减函数，求实数a 的取值范围。

解析：转化为函数单调性与导函数的正负性的关系即可，'22()2a f x x x x=+- 在[1,4]上是减函数，即'22()02f x a x x≤⇒≤-+在[1,4]上恒成立 令22()2g x x x =-+，因为()g x 在[1,4]上递减，则min 63()(4)2g x g ==- 所以632a ≤-例3.已知函数(),()ln ,f x ax g x x a R ==∈，若函数()2()()xf x G x ag x a x=++在区间[1,)+∞上为单调函数，求a 的取值范围。

解析：题目只是说明函数是单调函数，并未说明是单增还是单减，因此需要分两种情况讨论，将单调性转化为参数恒成立问题即可。

()2()()xf x G x ag x a x=++，3'22222()2a x ax G x x x x x +-=+-=若()G x 在区间[1,)+∞上单调递增，则'()0G x ≥在[1,)+∞上恒成立，即222a x x ≥-在[1,)+∞上恒成立，令22()2h x x x=-，因为()h x 在[1,)+∞递减，则 max ()(1)0h x h ==，此时0a ≥若()G x 在区间[1,)+∞上单调递减，则'()0G x ≤在[1,)+∞上恒成立，即222a x x ≤-在[1,)+∞上恒成立，令22()2h x x x=-，因为()h x 无最小值，则不存 在这样的a 综上，0a ≥例4.已知函数32()(1)(5)f x x k x k x =+-++，其中k R ∈，若函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，求k 的取值范围。

解析：这个问题相对复杂些，但是思路还算清晰，函数在(0,3)上不是单调函数，意味着原函数在(0,3)上存在极值点，因为三次函数极值点的个数可能是两个也可能没有，原题目中排出没有的情况，因此题目存在两个极值点，但是这两个极值点有几个落在区间(0,3)内这是个问题，可能只有一个极值点在，也可能两个都在，此外极值点是导函数的根，题目即可转化为二次函数在区间内根的分布问题。

'2()32(1)5f x x k x k =+-++，函数()f x 在区间(0,3)上不是单调函数，则()f x 在(0,3)内必定存在极值点，此时()f x 不能单调递增，只能是保持一种增减增的状态，因此()f x 在(0,3)内的极值点可能是一个也可能是两个。

若极值点在(0,3)内只有一个，情况如下： （1）此时'()f x需要满足''(0)0(3)0ff⎧<⎪⎨>⎪⎩，此时无解（2）此时'()f x 只需要满足''(0)02657(3)0f a f ⎧>⎪⇒-<<-⎨<⎪⎩若极值点在(0,3)内有两个，图如下：此时'()f x 只需要满足''(0)0(3)0262071003f f a k ⎧>⎪>⎪⎪⇒-<<-⎨∆>⎪-⎪<-<⎪⎩综上所述，52a -<<- 二、与极值有关的参数范围问题常见的问法是函数有无极值点，有几个极值点的问题，极值点是函数单调性发生改变的点，因此有极值点意味着函数不单调，没有极值点则意味着函数单调，有几个极值点意味着导函数有几个零点，但是导函数有几个零点不等同于函数有几个极值点。

（导函数为零的点不一定为极值点，极值点一定为导函数为零的点） 例5.已知函数ln(1)()x f x x+=，设3()()h x xf x x ax =--在(0,2)上有极值，求a 的取值范围。

解析：3()ln(1)(10)h x x x ax x x =+-->-≠且，2'21(331)()3111x ax ax h x ax x x ---=--=++，()h x 在(0,2)上有极值，则'()h x 在(0,2)上有零点，即23310ax ax ---=在(0,2)有根21136a x x =-≤-+，故118a ≤- 例6.若函数2()(1)x f x e x ax a =+++没有极值点，求a 的取值范围。

解析：'2()[(2)21)x f x e x a x a =++++，令'()0f x =，即2(2)210x a x a ++++=函数无极值点，则2(2)4(21)004a a a ∆=+-+≤⇒≤≤例7.已知函数()ln 3f x a x ax =--，函数()f x 的图像在4x =处的切线的斜率为32，且32'1()[()]32mg x x x f x =++在区间 (1,3)上不是单调函数，求m 的取值范围。

解析：由已知得2a =-，321()(2)232mg x x x x =++-，'2()(4)2g x x m x =++-，函数在区间(1,3)上不是单调函数，则导函数在区间上存在零点，根据二次函数根的分布列不等式''(1)01933(3)0g m g ⎧<⎪⇒-<<-⎨>⎪⎩三、与双参数有关的参数问题在参数问题中参数的个数可能不止一个，另外在此类问题中变量的个数也可能不止一个，也可能会出现双变量的问题。

题目中若含有双参数,m n ，其中一个一般是给出了区间，而让求另一个未给出的参数的取值范围，除了这个之外一般还会给出未知量x 的区间，一个参数一个未知量是以任意性和存在性方式给出，其实这种题目大多是参数恒成立或存在性问题的延伸，只不过需要求两次最值，因为多了一个参数，所以在难度上会适当的降低。

解题的思路是将所求的参数m 单独分离，另一边包括另外一个参数n 和变量x ，此时可以将参数n 或变量x 中的一个当成自变量，另外一个当做常量即可，求出最值后可消去参数n 或自变量x ，再将问题转化为常规恒成立问题即可，但是如果所求的参数m 不能分离，可分离的是另一个参数n ，这样反而简单，直接利用任意性或存在性消去参数n 。

例8.已知函数()ln 3f x a x ax =--，若函数()f x 的图像在点(2,(2))f 处的切线 的倾斜角为45︒，对于任意的[1,2]t ∈，函数32'()[()]2mg x x x f x =++在区间(,3)t 上总不是单调函数，求m 的取值范围。

解析：由题意知2a =-，32()(2)22mg x x x x =++- ()g x 在区间(,3)t 上总不是单调函数，即'()g x 在(,3)t 上存在零点'2()3(4)2g x x m x =++-，根据二次函数根的分布列不等式''237()03(3)0(4)23m g t g m t t ⎧⎧>-<⎪⎪⇒⎨⎨>⎪⎩⎪+<-⎩，对于2(4)23m t t +<-，不等式在[1,2]t ∈上恒成立，则243m t t+<-因为23t t -在[1,2]t ∈上单调递减，及min2(3)5t t-=-，故9m <-综上所述，3793m -<<- 例9.设函数2()ln f x a x bx =-，当0b =时，若不等式()f x m x ≥+对所有的23[0,],[1,]2a x e ∈∈都成立，求实数m 的取值范围。

解析：当0b =时，()ln f x a x =，()ln f x m x a x m x ≥+⇒≥+对所有的23[0,],[1,]2a x e ∈∈都成立，即ln m a x x ≤-对所有的23[0,],[1,]2a x e ∈∈都成立令()ln h a a x x =-，()h a 为一次函数，当2[1,]x e ∈时，ln 0x > 故()h a 在3[0,]2a ∈上单调递增，所以min ()(0)h a h x ==- 所以m x ≤-对所有的2[1,]x e ∈都成立 所以2min ()m x e ≤-=-。