再设 x1 1.35721 是其根，代入时，有
x 2 3 x1 1 3 1.35721 1 1.33086 ，
依次可得
x4 1.32494, x5 1.32476, x6 1.32473 x7 1.32472, x8 1.32472
计算结果见下表
k
xk
0
1. 5
1
1. 35721
(2.15)
迭代法的突出优点是算法的逻辑结构简单,且在计 算时,中间结果若有扰动,仍不会影响计算结果。其计算 步骤为:
(1)确定方程f(x)=0的等价形式x=g(x),为确保迭代过 程的收敛,要求g(x)满足｜g′(x)｜≤q＜1
(2)选取初始值x0,按公式 x k+1=g(xk), k=0,1,2,…
迭代过程(2.8)就是在x轴取初始近似值x0,过x0作y轴 的平行线交曲线y=g(x)于p0,p0的横坐标为x0,纵坐标为 g(x0)(g(x0)=x1),也即
p0(x0,x1) 再在x轴上取x1作为新的近似值,过x1作y轴的平行线 交曲线y=g(x)于p1,p1的横坐标为x1,纵坐标为 g(x1)(g(x1)=x2),也即
xk
xk xk 1
0
1. 50000
(2.8)
从给定的初始近似根x0出发,按迭代公式(2.8)可以
得到一个数列
x0,x1,x2,…,xk,…
若这个数列｛xk｝有极限,则迭代公式(2.8)是收敛 的。此时数列的极限
x
lim
k
xk
就是原方程(2.1)的根。 虽然迭代法的基本思想很简单,但效果并不总是令
人满意的。对于上例,若按方程写成另一种等价形式
其中 (x)
3 1
x2
，则 (x)
2x (1
x
2
)
2 3
3
由于： (x) 2 1.6 0.51741 1 ， x (1.4,1.6) ，因而迭代收敛。且
33 (1 1.42 )2
第二种迭代格式比第一种迭代格式收敛得更快。 取初值 x0 1.5 ，用第二种迭代格式计算过程如下表所示。
k
方法
1：取方程等价形式
x
1
1 x2
，对应迭代格式
xk 1
1
1 xk2
，k
0,1,
。
其中 (x) 1 1 ，则 (x) 2 。由于 (x) 2 2 0.729 1 ，x (1.4,1.6) ，
x2
x3
x3 1.43
因而迭代收敛。
方法 2：取等价形式 x3 1 x2 ，故收敛格式 xk 1 3 1 xk2 ， k 0,1, 。
2
1. 33086
3
1. 32588
4
1. 32494
5
1. 32476
6
1. 32473
7
1. 32472
8
1. 32472
xk xk 1
——
对于一般形式的方程(2.1),首先我们设法将其化为 下列等价形式
x=g(x)
(2.7)
然后按(2.7)构造迭代公式
xk1 g( xk ), k 0,1, 2,
(2) (ex ) 0.6 1 0.5 x 0.6 e 0.5 0.606 e 0.6 0.5488
图 2.5
表 2―3
因此用迭代公式
由表可见
x exk k 1
为方程
x x10
x ex
例 对方程 x3 x 2 1 0 在区间[1.4，1.6]建立两种收敛的迭代格
式，并用其中一种求解，精确到 5 位有效数字。
x=x3-1
(2.9)
建立迭代公式
xk+1=x3k-1, k=0,1,2,… 仍取初始值x0=1.5, 则迭代结果为
x1=2.375 x2=12.3976
迭代法的几何意义:把方程(2.1)求根的问题改写成 (2.7)变为求数列｛xn｝的极限,实际上是把求根问题转 化为求
y x
y
g(x)
பைடு நூலகம்
图 2.4
第2章 方程求根
§1 二分法 §2 简单迭代法 §3 切线法(牛顿法) §4 弦截法
二分法适合单 根，不能求复 根和偶数重根， 且收敛速度慢， 可以为其他方 法提供一个初 值，用其他方 法精确化。
图 2.3
预备定理
介值定理 函数 f(x)在[a,b]上单调连续，且 f(a)f(b)<0，则方程 f(x)=0 在区间[a,b]上有且仅有
必须说明两点: ①若g(x)可微,可用充分条件
g(x) q 1
这里q＜1是非常重要的条件,否则不能保证迭代收敛。
②对于收敛的迭代过程,误差估计式(2.11)说明迭代 值的偏差｜xk-xk-1｜相当小,就能保证迭代误差｜x-xk｜ 足够小。因此在具体计算时常常用条件
｜xk-x k-1｜＜ε 来控制迭代过程结束。
迭代法是一种逐次逼近的方法，用某种固定格式反复校正根的近似 值，使之逐步精确，最后达到满意的效果。
例 求 x3 x 1 0 在 x0 1.5 附近的根。 解 将上式写成等价方程 x 3 x 1 ，当用根 x 代入时，有
x 3 x* 1 设 x0 1.5 是其根，代入时，有
x1 3 x 0 1 3 1.5 1 1.35721
一个实根 x*。
微分中值定理 如果函数 f (x) 在 [a, b] 连续，在
（ a,b)可微，则在（ a,b)内至少有一点 存在，使
f (b) f (a ) f ( )(b a )
a b
§2 迭代法
迭代法的基本思想是:首先将方程(2.1)改写成某种 等价形式,由等价形式构造相应的迭代公式,然后选取方 程的某个初始近似根x0,代入迭代公式反复校正根的近 似值,直到满足精度要求为止。迭代法是一种数值计算 中重要的逐次逼近方法。
进行迭代; (3)若｜x k+1-xk｜＜ε,则停止计算,x≈x k+1。
例2 求方程 x= e-x
在x=0.5附近的一个根。按五位小数计算,计算结果 的精度要 求为ε=10-3。
解 过x=0.5以步长h=0.1计算 f(x)=x-e-x
由于 f(0.5)＜0,f(0.6)＞0
故所求的根在区间(0.5,0.6)内,且在x=0.5附近
p1(x1,x2) 而这相当于过p0引平行于x轴的直线交y=x于
Q1(x1,x2)
再过Q1引平行于y轴的直线交曲线y=g(x)于 p1(x1,x2)
仿此可得到点列
p0(x0,x1),p1(x1,x2),p2(x2,x3),…
若
lim
k
pk
p
lim
k
xk
x
则迭代法收敛 ,见图2.4(a);否则迭代法发散 ,见图 2.4(b)。