2019-2020学年河南省郑州一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 若x >0、y >0，则x +y >1是x 2+y 2>1的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】取特殊值得到反例，从而说明充分性不成立；利用不等式的性质加以证明，可得必要性成立．由此即可得到本题的答案． 【解答】 先看充分性可取x ＝y =23，使x +y >1成立，而x 2+y 2>1不能成立，故充分性不能成立； 若x 2+y 2>1，因为x >0、y >0，所以(x +y)2＝x 2+y 2+2xy >x 2+y 2>1 ∴ x +y >1成立，故必要性成立综上所述，x +y >1是x 2+y 2>1的必要非充分条件2. 如果复数m 2+i 1−mi 是实数，则实数m ＝（ ）A.−1B.1C.−√2D.√2 【答案】 A【考点】 复数的运算 【解析】把给出的复数分子分母同时乘以1+mi ，化为a +bi(a, b ∈R)的形式，由虚部等于0可求m 的值． 【解答】m 2+i1−mi=(m 2+i)(1+mi)(1−mi)(1+mi)=m 2−m+(1+m 3)i1+m 2=m 2−m 1+m 2+1+m 31+m 2i ．∵ m 2+i 1−mi 是实数，则1+m 3＝0， 所以m ＝−1．3. 平面直角坐标系xOy 中，已知A(1, 0)，B(0, 1)，点C 在第二象限内，∠AOC =5π6，且|OC|＝2，若OC →=λOA →+μOB →，则λ，μ的值是（ ） A.√3，1 B.1，√3C.−1，√3D.−√3，1【答案】D【考点】平面向量的坐标运算 平行向量（共线） 向量的概念与向量的模 【解析】由题意可得点C 的坐标，进而可得向量OC →的坐标，由向量相等可得{−√3=1×λ+μ×01=0×λ+μ×1 ，解之即可． 【解答】∵ 点C 在第二象限内，∠AOC =5π6，且|OC|＝2，∴ 点C 的横坐标为x C ＝2cos5π6=−√3，纵坐标y C ＝2sin5π6=1，故OC →=(−√3, 1)，而OA →=(1, 0)，OB →=(0, 1)，由OC →=λOA →+μOB →可得{−√3=1×λ+μ×01=0×λ+μ×1，解得{λ=−√3μ=1 ，4. 具有相关关系的两个量x ，y 的一组数据如表，回归方程y =0.67x +54.9，则m ＝（ ）A.65B.67C.68D.70【答案】 C【考点】求解线性回归方程 【解析】根据回归方程y =0.67x +54.9必过回归中心坐标(x ¯,y ¯)，即可求解m 的值． 【解答】样本平均数x ¯=15(10+20+30+40+50)=30， 当x ¯=30入回归方程y =0.67x +54.9，可得y ¯=75， ∴ y ¯=75=15(62+m +75+81+84)， 解得：m ＝685. 要得到函数y ＝sin (2x −π3)的图象，只需将函数y ＝−cos (2x −π)的图象（ ）A.向左平移π6个单位 B.向左平移5π12个单位C.向右平移5π12个单位 D.向右平移π3个单位【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的诱导公式，将函数y＝−cos(2x−π)化简得y＝sin(2x+π2)，再根据函数图象平移的公式加以计算，即可得到答案．【解答】将函数y＝−cos(2x−π)化简，得y＝cos2x＝sin(2x+π2)，记f(x)＝sin(2x+π2)，∵函数y＝sin(2x−π3)＝[2(x−5π12)+π2]＝f(x−5π12)，∴将函数f(x)＝sin(2x+π2)的图象向右平移5π12个单位，可得函数y＝sin(2x−π3)的图象．由此可得将函数y＝−cos(2x−π)的图象向右平移5π12个单位，可得函数y＝sin(2x−π3)的图象．6. 根据某地方的交通状况绘制了关于交通指数的频率分布直方图（如图）．若样本容量为500个，则交通指数在[5, 7)之间的个数是（）A.223B.222C.200D.220【答案】D【考点】频率分布直方图【解析】由频率分布直方图先求出交通指数在[5, 7)之间的频率，由此能求出交通指数在[5, 7)之间的个数．【解答】由频率分布直方图得交通指数在[5, 7)之间的频率为：(0.24+0.2)×1＝0.44，∴交通指数在[5, 7)之间的个数为500×0.44＝220．7. 若x>0，y>0，则√x+y√x+√y的最小值为（）A.√2B.1C.√22D.12【答案】C【考点】基本不等式及其应用【解析】平方后利用基本不等式的性质即可得出．【解答】∵x>0，y>0，∴t=√x+y√x+y>0．∴t2=x+y+2√xy ≥x+yx+y+x+y=12，∴t≥√22，当且仅当x＝y时取等号．∴√x+y√x+√y 的最小值为√22．8. 已知椭圆的中心在原点，离心率e=12，且它的一个焦点与抛物线y2=−4x的焦点重合，则此椭圆方程为()A.x24+y23=1 B.x28+y26=1 C.x22+y2=1 D.x24+y2=1【答案】A【考点】椭圆的离心率抛物线的标准方程椭圆的标准方程【解析】先求出焦点的坐标，再由离心率求得半长轴的长，从而得到短半轴长的平方，写出椭圆的标准方程．【解答】解：抛物线y2=−4x的焦点为(−1, 0)，∴c=1，由离心率e=12可得a=2，∴b2=a2−c2=3，故椭圆的标准方程为x 24+y23=1，故选A．9. 如图，AB是抛物线y2＝2px(p>0)的一条经过焦点F的弦，AB与两坐标轴不垂直，已知点M(−1, 0)，∠AMF＝∠BMF，则p的值是（）A.12B.1C.2D.4【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】由题意画出图象作AC⊥x轴、BD⊥x轴，设AB的直线方程y＝k(x−p2)(k≠0)，A(x1, y1)、B(x2, y2)，联立直线方程和抛物线方程消去y，由韦达定理求出x1+x2和x1x2式子，由∠AMF＝∠BMF得tan∠AMF＝tan∠BMF，由图象得ACMC =BDMD，用A、B的坐标表示出线段的长，把求出的式子代入化简，列出关于p的方程再化简求值．【解答】如右图作AC⊥x轴，BD⊥x轴，设AB的直线方程为：y＝k(x−p2)(k≠0)，A(x1, y1)，B(x2, y2)，联立{y=k(x−p2)y2=2px，得k2x2−(k2p+2p)x+k2p24=0，则x1+x2=k2p+2pk2，x1x2=p24，∵∠AMF＝∠BMF，∴tan∠AMF＝tan∠BMF，即ACMC =BDMD，不妨设x1>p2，x2<p2，则AC＝|y1|＝|k(x1−p2)|＝|k|(x1−p2)，BD＝|y2|＝|k(x2−p2)|＝|k|(p2−x2)，且MC＝x1+1，MD＝x2+1，代入ACMC =BDMD得，|k|(x1−p2)x1+1=|k|(p2−x2)x2+1，化简得，2x1x2+(x1+x2)(1−p2)−p＝0，则2×p 24+k2p+2pk2(1−p2)−p=0，化简得2−pk2=0，得p＝2．10. 执行如图的程序框图，则输出x的值是（）A.2018B.2019C.12D.2【答案】D【考点】程序框图【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，当y＝2019时，不满足条件退出循环，输出x的值即可得解【解答】模拟执行程序框图，可得x＝2，y＝0．满足条件y<2019，执行循环体，x＝−1，y＝1；满足条件y<2019，执行循环体，x=12，y＝2；满足条件y<2019，执行循环体，x＝2，y＝3；满足条件y<2019，执行循环体，x＝−1，y＝4；…观察规律可知，x的取值周期为3，由于2019＝673×3，可得：满足条件y<2019，执行循环体，当x＝2，y＝2019，不满足条件y<2019，退出循环，输出x的值为2．11. 若函数f(x)＝x2+e x−12(x<0)与g(x)＝x2+ln(x+a)图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是()A.(−∞,√e)B.√e ) C.√e√e) D.(−√e,√e)【答案】A【考点】已知函数的单调性求参数问题函数的对称性【解析】由题意可得e x0−12−ln(−x0+a)＝0有负根，函数ℎ(x)＝e x−12−ln(−x+a)为增函数，由此能求出a的取值范围．【解答】解：由题意可得：存在x0∈(−∞, 0)，满足x02+e x0−12=(−x0)2+ln(−x0+a)，即e x0−12−ln(−x0+a)＝0有负根，∵当x趋近于负无穷大时，e x0−12−ln(−x0+a)也趋近于负无穷大，且函数ℎ(x)＝e x−12−ln(−x+a)为增函数，∴ℎ(0)＝e0−12−ln a>0，∴ln a<ln√e，∴a<√e，∴a的取值范围是(−∞, √e).故选A.12. 已知双曲线x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，则（）A.|OB|＝e|OA|B.|OA|＝e|OB|C.|OB|＝|OA|D.|OA|与|OB|关系不确定【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF1|−|PF2|＝2a，转化为|AF1|−|AF2|＝2a，从而求得点H的横坐标．再在三角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，从而在三角形F1CF2中，利用中位线定理得出OB，从而解决问题．【解答】F1(−c, 0)、F2(c, 0)，内切圆与x轴的切点是点A∵|PF1|−|PF2|＝2a，及圆的切线长定理知，|AF1|−|AF2|＝2a，设内切圆的圆心横坐标为x，则|(x+c)−(c−x)|＝2a∴x＝a；|OA|＝a，在三延长F2B交PF1于点C，角形PCF2中，由题意得，它是一个等腰三角形，PC＝PF2，∴在三角形F1CF2中，有：OB=12CF1=12(PF1−PC)=12(PF1−PF2)=12×2a＝a．∴|OB|＝|OA|．二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）数列1,12,12,13,13,13,14,14,14,14,⋯的前100项的和等于________．【答案】19114【考点】数列的求和【解析】根据数列中项为1n的项数为n ，可得第91项为113，从第92项至第100项均为114，由此可得结论． 【解答】由题意，数列中项为1n 的项数为n ，则∵ 1+2+3+4+ (13)13×(1+13)2=91∴ 第91项为113，从第92项至第100项均为114∴ 数列的前100项的和等于13+114×9=19114在棱长都相等的三棱锥中，已知相对两棱中点的连线长为√2，则这个三棱锥的棱长等于________． 【答案】 2【考点】点、线、面间的距离计算 【解析】画出图形，通过求解三角形求解三棱锥的棱长． 【解答】由题意可知几何体如图：设AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝AC ＝BD ＝x ， 相对两棱中点的连线长为√2，EF =√2， 所以在三角形ABF 中，AF ＝BF =√32x ，所以EF 2＝AF 2−AE 2，可得：2=34x 2−14x 2，解得x ＝2．设P 是双曲线x 2a 2−y 29=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x −2y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝3，则|PF 2|的值为________． 【答案】 7【考点】双曲线的离心率 【解析】 由双曲线x 2a 2−y 29=1的一条渐近线方程为3x −2y ＝0，求出a ，由双曲线的定义求出|PF 2|． 【解答】 ∵ 双曲线x 2a 2−y 29=1的一条渐近线方程为3x −2y ＝0，∴ 可得32=3a ，∴ a ＝2． ∵ |PF 1|＝3，∴由双曲线的定义可得||PF2|−3|＝4，∴|PF2|＝7，已知函数f(x)=|sin(ωx+π4)|(ω>1)在(π,54π)上单调递减，则实数ω的取值范围是________．【答案】[54, 74]【考点】正弦函数的单调性【解析】根据x∈(π, 5π4)时求出ωx+π4的取值范围，由正弦函数的图象与性质列出不等式组求实数ω的取值范围．【解答】当x∈(π, 5π4)时，ωπ+π4<ωx+π4<5π4ω+π4，由函数f(x)=|sin(ωx+π4)|(ω>1)在(π,54π)上单调递减，则{ωπ+π4≥3π2ω⋅5π4+π4≤2π，解得54≤ω≤75；所以实数ω的取值范围是[54, 74 ]．三、解答题（本大题共7题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）已知{a n}是等差数列，a3＝7，且a2+a6＝18．若b n=a+a．（1）求数列{a n}通项公式；（2）求数列{b n}的前n项和T n．【答案】{a n}是公差为d的等差数列，a3＝7，且a2+a6＝18．可得a1+2d＝7，2a1+6d＝18，解得a1＝3，d＝2，则a n＝3+2(n−1)＝2n+1，b n=a+a =2n+1+2n+3=12(√2n+3−√2n+1)，前n项和T n=12(√5−√3+√7−√5+√9−√7+⋯+√2n+3−√2n+1)=12（(√2n+3−√3)．【考点】数列递推式数列的求和 【解析】（1）设等差数列的公差为d ，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式； （2）求得b n =a +a =2n+1+2n+3=12(√2n +3−√2n +1)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 【解答】{a n }是公差为d 的等差数列，a 3＝7，且a 2+a 6＝18． 可得a 1+2d ＝7，2a 1+6d ＝18， 解得a 1＝3，d ＝2，则a n ＝3+2(n −1)＝2n +1， b n =a +a =√2n+1+√2n+3=12(√2n +3−√2n +1)， 前n 项和T n =12(√5−√3+√7−√5+√9−√7+⋯+√2n +3−√2n +1) =12（(√2n +3−√3)．已知点A(2, 0)，B(0, −2)，F(−2, 0)，设∠AOC ＝α，α∈[0, 2π)，其中O 为坐标原点． (Ⅰ)设点C 到线段AF 所在直线的距离为√3，且∠AFC =π3，求α和线段AC 的大小； (Ⅱ)设点D 为线段OA 的中点，若|OC →|=2，且点C 在第二象限内，求M ＝(√3DC →⋅OB →+BC →⋅OA →)cos α的取值范围． 【答案】（1）过C 作AF 的垂线，垂足为E ，则CE =√3 在直角三角形FCE 中，FC =CEsin ∠CFE =2， 又OF ＝2，∠OFC =π3，所以△OFC 为正三角形 所以∠FOC =π3，从而α=π−∠FOC =2π3，或α=π+∠FOC =4π3⋯在△AFC 中，AC =√AF 2+CF 2−2AF ⋅CF cos ∠AFC =√42+22−2×2×4×12=2√3⋯（2）∵ A(2, 0)，点D 为线段OA 的中点，∴ D(1, 0) ∵ |OC →|=2且点C 在第二象限内， ∴ C(2cos α, 2sin α)，α∈(π2,π)⋯从而DC →=(2cos α−1, 2sin α)，BC →=(2cos α, 2sin α+2)， OA →=(2, 0)，OB →=( 0, −2)．则M ＝(√3DC →⋅OB →+BC →⋅OA →)cos α＝−4√3sin αcos α+4cos 2α＝−2√3sin 2α+2(1+cos 2α)＝4cos (2α+π3)+2，因为α∈(π2, π)，所以，2 α+π3∈(4π3, 7π3)，从而−12<cos (2α+π3)≤1， 所以M 的取值范围为(0, 6]． 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 余弦定理 【解析】(Ⅰ)过C 作AF 的垂线，垂足为E ，由条件求得∠FOC =π3，从而求得α，在△AFC 中，由余弦定理求得AC 的值．(Ⅱ)由条件求得DC →、OB →、OA →的坐标，化简 M ＝(√3DC →⋅OB →+BC →⋅OA →)cos α的解析式为4cos (2α+π3)+2，再根据α的范围，根据余弦函数的定义域和值域求得M 的范围．【解答】（1）过C 作AF 的垂线，垂足为E ，则CE =√3 在直角三角形FCE 中，FC =CEsin ∠CFE =2， 又OF ＝2，∠OFC =π3，所以△OFC 为正三角形 所以∠FOC =π3，从而α=π−∠FOC =2π3，或α=π+∠FOC =4π3⋯在△AFC 中，AC =2+CF 2−2AF ⋅CF cos ∠AFC =√42+22−2×2×4×12=2√3⋯（2）∵ A(2, 0)，点D 为线段OA 的中点，∴ D(1, 0) ∵ |OC →|=2且点C 在第二象限内， ∴ C(2cos α, 2sin α)，α∈(π2,π)⋯从而DC →=(2cos α−1, 2sin α)，BC →=(2cos α, 2sin α+2)， OA →=(2, 0)，OB →=( 0, −2)．则M ＝(√3DC →⋅OB →+BC →⋅OA →)cos α＝−4√3sin αcos α+4cos 2α ＝−2√3sin 2α+2(1+cos 2α)＝4cos (2α+π3)+2，因为α∈(π2, π)，所以，2 α+π3∈(4π3, 7π3)，从而−12<cos (2α+π3)≤1， 所以M 的取值范围为(0, 6]．如图，四面体ABCD ，AB ＝BC ＝4，AC =BD =4√2，AB ⊥CD ，∠BCD ＝90∘．（1）若AC 中点是M ，求证：BM ⊥面ACD ；（2）若P 是线段AB 上的动点，Q 是面BCD 上的动点，且线段PQ ＝2，PQ 的中点是N ，求动点N 的轨迹与四面体ABCD 围成的较小的几何体的体积． 【答案】证明：由题意，AB ＝BC ＝4，AC ＝4√2，很明显△ABC 是等腰直角三角形． 又∵ BC ＝4，BD ＝4√2，∠BCD ＝90∘．∴ △BCD 是等腰直角三角形． ∴ CD ⊥AB ，CD ⊥BC ， ∴ CD ⊥面ABC ．∵ BM ⊂面ABC ，∴ CD ⊥BM ．∵ △ABC 是等腰直角三角形，M 为AC 中点， ∴ BM ⊥AC ， ∴ BM ⊥面ACD ．由题意，以B 为原点，过点B 垂直于BD 方向为x 轴，BD 所在的直线为y 轴， BA 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，可设P(0, 0, z P )，Q(x Q , y Q , 0)，N(x, y, z)． ∵ N 是PQ 的中点， ∴ x =x Q2，y =y Q2，z =z P 2，即{x Q =2xy Q =2y z P =2z ．∵ PQ →=(x Q , y Q , z P )，∴ |PQ|＝|PQ →|=√x Q 2+y Q 2+z P 2=2，将{x Q =2xy Q =2y z P =2z代入上式，即√(2x)2+(2y)2+(2z)2=2．整理，得x 2+y 2+z 2＝1．∵ 由题意易知点N 在四面体ABCD 的内部，∴ 动点N 的轨迹即为以点B 为球心，1为半径的球面与四面体相交的部分球面． 根据四面体ABCD 的结构可知动点N 的轨迹为116的球面．【考点】 轨迹方程 【解析】本题第（1）题先根据题意得出CD ⊥面ABC ，然后根据BM ⊂面ABC ，得到CD ⊥BM ．再证明BM ⊥AC ，即可证明线面垂直；第（2）题通过建立空间直角坐标系将几何问题解析法，通过得出动点N 的轨迹方程为x 2+y 2+z 2＝1得到动点N 的轨迹即为以点B 为球心，1为半径的球面与四面体相交的部分球面，即可得到体积． 【解答】证明：由题意，AB ＝BC ＝4，AC ＝4√2，很明显△ABC 是等腰直角三角形． 又∵ BC ＝4，BD ＝4√2，∠BCD ＝90∘．∴ △BCD 是等腰直角三角形． ∴ CD ⊥AB ，CD ⊥BC ， ∴ CD ⊥面ABC ．∵ BM ⊂面ABC ，∴ CD ⊥BM ．∵ △ABC 是等腰直角三角形，M 为AC 中点， ∴ BM ⊥AC ， ∴ BM ⊥面ACD ．由题意，以B 为原点，过点B 垂直于BD 方向为x 轴，BD 所在的直线为y 轴， BA 所在的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则，可设P(0, 0, z P )，Q(x Q , y Q , 0)，N(x, y, z)． ∵ N 是PQ 的中点， ∴ x =x Q 2，y =y Q 2，z =z P 2，即{x Q =2x y Q =2y z P =2z ．∵ PQ →=(x Q , y Q , z P )，∴ |PQ|＝|PQ →|=√x Q 2+y Q 2+z P 2=2，将{x Q =2xy Q =2y z P =2z代入上式，即√(2x)2+(2y)2+(2z)2=2．整理，得x 2+y 2+z 2＝1．∵ 由题意易知点N 在四面体ABCD 的内部，∴ 动点N 的轨迹即为以点B 为球心，1为半径的球面与四面体相交的部分球面． 根据四面体ABCD 的结构可知动点N 的轨迹为116的球面．设M(2, 1)是椭圆x 2a2+y 2b 2=1上的点，F 1，F 2是焦点，离心率e =√22． （1）求椭圆的方程；（2）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)是椭圆上的两点，且x 1+x 2＝2r ，（r 是定数），问线段AB 的垂直平分线是否过定点？若过定点，求出此定点的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】 因为e =ca =√22，所以c 2=12a 2，则b 2=12a 2，把M(2, 1)代入得4a 2+2a 2=1，解得a 2＝6，所以椭圆的方程为x 26+y 23=1；设直线AB 的斜率为k ，中点M(2, t)，将A 、B 坐标代入得{x 126+y 123=1x 226+y 223=1，两式作差得(x 1−x 2)(x 1+x 2)6+(y 1−y 2)(y 1+y 2)3=0，所以k =y 1−y2x 1−x 2=−12⋅x 1+x2y 1+y 2，即k =−12t ，所以t =−12k，又因为AB 的垂直平分线的斜率为−1k，故垂直平分线的方程为y −t =−1k(x −2)，即y +12k=−1k(x −2)，所以y =−1kx +32k=−1k(x −3)，则该直线必过定点(3, 0) 【考点】直线与椭圆的位置关系 椭圆的应用 【解析】（1）利用M 在椭圆上及离心率可求得椭圆方程；（2）表示出直线AB 的方程及中点M 坐标，再利用A 、B 在椭圆上代入可求的k 的表达式，进而表示出垂直平分线的方程即可求得其过定点． 【解答】 因为e =ca =√22，所以c 2=12a 2，则b 2=12a 2，把M(2, 1)代入得4a 2+2a 2=1，解得a 2＝6，所以椭圆的方程为x 26+y 23=1；设直线AB 的斜率为k ，中点M(2, t)，将A 、B 坐标代入得{x 126+y 123=1x 226+y 223=1，两式作差得(x 1−x 2)(x 1+x 2)6+(y 1−y 2)(y 1+y 2)3=0，所以k =y 1−y2x 1−x 2=−12⋅x 1+x2y 1+y 2，即k =−12t ，所以t=−12k，又因为AB的垂直平分线的斜率为−1k ，故垂直平分线的方程为y−t=−1k(x−2)，即y+12k =−1k(x−2)，所以y=−1kx+32k=−1k(x−3)，则该直线必过定点(3, 0)已知函数f(x)＝a ln x+x2．（1）若a＝−4，求f(x)在x∈[1, e]时的最值；（2）若a>0，∀x1，x2∈[1, e]时，都有|f(x1)−f(x2)|≤|2020x1−2020x2|，求实数a的范围．【答案】当a＝−4时，f(x)＝−4ln x+x2，f′(x)=2x2−4x =2(x+√2)(x−√2)x，当x∈(0, √2)时，f′(x)<0；当x∈(√2, e]时，f′(x)>0．∴f(x)的单调递减区间为(0, √2)，单调递增区间为(√2, e]，f(√2)min＝2−ln4，f(e)max＝e2−4．若a>0，x∈[1, e]，f′(x)=2x2+ax >0，f(x)在区间[1, e]上是增函数，函数y=2020x是减函数，不妨设1≤x1≤x2≤e，由已知，f(x2)−f(x1)≤2020x1−2020x2，所以f(x2)+2020x2≤f(x1)+2020x1，设g(x)＝f(x)+2020x =a ln x+x2+2020x，x∈[1, e]，则g(x)在区间[1, e]是减函数，g(x)=ax +2x−2020x2≤0在[1, e]上恒成立，所以a≤2020x −2x2=ℎ(x)，ℎ′(x)=−2020x2−4x<0在[1, e]上恒成立，ℎ(x)单调递减，ℎ(e)min=2020e−2e2，所以a≤2020e−2e2，故0<a≤2020e−2e2．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】（1）令a＝−4，代入用导数法判断单调性并求出最值；（2）根据题意，构造函数g(x)，判断函数的单调性，变为恒成立问题，参数分类，求出即可．【解答】当a＝−4时，f(x)＝−4ln x+x2，f′(x)=2x2−4x =2(x+√2)(x−√2)x，当x∈(0, √2)时，f′(x)<0；当x∈(√2, e]时，f′(x)>0．∴f(x)的单调递减区间为(0, √2)，单调递增区间为(√2, e]，f(√2)min＝2−ln4，f(e)max＝e2−4．若a>0，x∈[1, e]，f′(x)=2x2+ax >0，f(x)在区间[1, e]上是增函数，函数y=2020x是减函数，不妨设1≤x1≤x2≤e，由已知，f(x2)−f(x1)≤2020x1−2020x2，所以f(x2)+2020x2≤f(x1)+2020x1，设g(x)＝f(x)+2020x =a ln x+x2+2020x，x∈[1, e]，则g(x)在区间[1, e]是减函数，g(x)=ax +2x−2020x2≤0在[1, e]上恒成立，所以a≤2020x −2x2=ℎ(x)，ℎ′(x)=−2020x2−4x<0在[1, e]上恒成立，ℎ(x)单调递减，ℎ(e)min=2020e−2e2，所以a≤2020e−2e2，故0<a≤2020e−2e2．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：{x=1+t cosθy=√3+t sinθ，t为参数，θ∈[0, π)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ＝8sin(θ+π6)．（1）在直角坐标系xOy中，求圆C的圆心的直角坐标；（2）设点P(1, √3)，若直线l与圆C交于A，B两点，求证：|PA|⋅|PB|为定值，并求出该定值．【答案】圆C的极坐标方程为：ρ＝8sin(θ+π6)．转换为直角坐标方程为：x2+y2−4x−4√3y=0，转换为标准式为：圆(x−2)2+(y−2√3)2=16，所以圆心的直角坐标为(2, 2√3)．将直线l的参数方程为：{x=1+t cosθy=√3+t sinθ，t为参数，θ∈[0, π)．代入(x−2)2+(y−2√3)2=16，所以：t2−(2√3sinθ+2cosθ)t−12=0，（点A、B对应的参数为t1和t2），则：t1t2＝−12，故：|PA||PB|＝|t1t2|＝12．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．【解答】圆C的极坐标方程为：ρ＝8sin(θ+π6)．转换为直角坐标方程为：x2+y2−4x−4√3y=0，转换为标准式为：圆(x−2)2+(y−2√3)2=16，所以圆心的直角坐标为(2, 2√3)．将直线l的参数方程为：{x=1+t cosθy=√3+t sinθ，t为参数，θ∈[0, π)．代入(x−2)2+(y−2√3)2=16，所以：t2−(2√3sinθ+2cosθ)t−12=0，（点A、B对应的参数为t1和t2），则：t1t2＝−12，故：|PA||PB|＝|t1t2|＝12．设函数f(x)＝|x+1|+|x−a|(x∈R)（1）当a＝2时，求不等式f(x)>5的解集；（2）对任意实数x，都有f(x)≥3恒成立，求实数a的取值范围．【答案】当a＝2时，f(x)＝|x+1|+|x−2|>5，当x≥2时x+1+x−2>5，可得x>3；当−1≤x<2时x+1−x+2>5，解得x∈⌀，当x<−1时−x−1+x−2>5，解得x<−2；综上：x∈(−∞, −2)∪(3, +∞)……………|x+1|+|x−a|≥|a+1|，对任意实数x，都有f(x)≥3恒成立，∴|a+1|≥3，解得a≥2或a≤−4．……………【考点】不等式恒成立的问题绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）通过a＝2，结合x的取值，去掉绝对值符号化简求解不等式即可．（2）利用绝对值的几何意义，转化不等式求解即可．【解答】当a＝2时，f(x)＝|x+1|+|x−2|>5，当x≥2时x+1+x−2>5，可得x>3；当−1≤x<2时x+1−x+2>5，解得x∈⌀，当x<−1时−x−1+x−2>5，解得x<−2；综上：x∈(−∞, −2)∪(3, +∞)……………|x+1|+|x−a|≥|a+1|，对任意实数x，都有f(x)≥3恒成立，∴|a+1|≥3，解得a≥2或a≤−4．……………。