【学习要求】
1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换． 2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应 关系．
3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 【学法指导】
1．通过类比长度、重量的不同度量制，体会一个量可以用不同的单位制来度量，从而引出弧度制．
2．弄清1弧度的角的含义是了解弧度制，并能进行弧度与角度换算的关键．
3．引入弧度制后，应与角度制进行对比，明确角度制和弧度制下弧长公式和扇形面积公式的联系与区别.
1．1弧度的角：把长度等于 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 表示，读作 ．
2．弧度制：用 作为单位来度量角的单位制叫做弧度制． 3．角的弧度数的规定：
一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 .
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是 .这里，α的正负由角α的终边的 旋转方向决定．
4．角度与弧度的互化： (1)角度转化为弧度：
360°＝ rad ；180°＝ rad ；1°＝ rad ≈0.017 45 rad. (2)弧度转化为角度：
2π rad ＝ ；π rad ＝ ；1 rad ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
180π°≈57.30°＝57°18′.
探究点一 弧度制
问题1 1弧度的角是怎样规定的？1弧度的角和圆半径的大小有关吗？你能作出一个1弧度的角吗？
答 把长度等于半径长
的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度的角是一个定
值，与所在圆的半径无关．如图所示， ∠AOB 就是1弧度的角．
问题2 如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ，那么α的弧度数与l 、r 之间有着怎样的关系？请你完成下表，找出某种规律.
规律：如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对
的弧长为l ，
那么_______________________，即_________.
问题3 除了角度制，数学还常用弧度制表示角．请叙述一下弧度制的内容． 答 一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l
r .这里，α的正负由角α的终边的旋转方向决定．
问题4 角度制与弧度制换算时，灵活运用下表中的对应关系，请补充完整.
角度化弧度
弧度化角度
AB 的长
OB 旋转的方向 ∠AOB 的弧度数 ∠AOB 的度数
0 —— π2r 顺时针方向 πr 逆时针方向 2πr
顺时针方向
πr 180 逆时针方向 r 逆时针方向 2r
顺时针方向
探究点二弧度制下的弧长公式和扇形面积公式
问题1我们已经学习过角度制下的弧长公式和扇形面积公式，请根据“一周角(即360°)的弧度数为2π”这一事实化简上述公式．(设半径为r，圆心角弧度数为α)．
答半径为r，圆心角为n°的扇形弧长公式为l＝nπr
180，扇形面积公式为S扇＝
nπr2
360.
∵
l
2πr＝
|α|
2π，∴l＝|α|r.
∵S扇
S圆
＝
S扇
πr2＝
|α|
2π，∴S扇＝
1
2|α|r
2.
∵S扇
S圆
＝
S扇
πr2＝
|α|
2π，∴S扇＝
1
2|α|r
2.
问题2角度制与弧度制下扇形的弧长及面积公式对比：
设扇形的半径为R，弧长为l，α (0<α<2π)为其圆心角，则
探究点三利用弧度制表示终边相同的角
在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2kπ＋α(k∈Z)，其中α的单位必须是弧度．
问题1利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合.
问题2 利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合.
【典型例题】
例1 (1)把112°30′化成弧度；(2)把－7π
12
化成角度．
解 先将112°30′化为112.5°，然后乘以π180 rad ，即可将112°30′化成弧度，－7π
12乘以⎝ ⎛⎭
⎪⎫180π°即可化为角度． 所以，(1)112°30′＝112.5°＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2252°＝2252×π
180＝5π8.
(2)－7π12＝－7π12×⎝ ⎛⎭
⎪⎫180π°＝－105°.
小结 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad ＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以⎝ ⎛⎭
⎪⎫180π°即可．
跟踪训练1 将下列角按要求转化：
(1)300°＝________rad ； (2)－22°30′＝________rad ； (3)
8π
5
＝________度． 例2 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面
积最大？最大面积是多少？
解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， ∴S ＝12lr ＝1
2×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.
∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2， 此时θ＝l r ＝40－2×10
10
rad ＝2 rad.
所以当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.
小结 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题．
跟踪训练2 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝1
2lR ， 得1＝1
2(4－2R )·R ，
∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝2
1＝2， 即扇形的圆心角为2 rad.
例3 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π
6
； (3)－4.
解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°. ∴－1 500°可化成－10π＋5π3，是第四象限角． (2)∵23π6＝2π＋11π6，
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，π
2<2π－4<π.
小结 在同一问题中，单位制度要统一，角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练3 将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z)的形式
是___________．
解析 ∵－1 485°＝－5×360°＋315°， ∴－1 485°可以表示为－10π＋7π4. 课后小练
1．时针经过一小时，时针转过了
( )
A ．π
6 rad
B ．－π
6 rad C ．π12
rad
D ．－
π
12
rad 解析 时针经过一小时，转过－30°，又－30°＝－π
6 rad ，故选B. 2．若α＝－3，则角α的终边在
( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析 ∵α＝－3 rad ＝－3×57°18′＝－171°54′， 而－171°54′为第三象限角，∴α＝－3为第三象限角．
3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的中心角的弧度数是
( )
A ．1
B ．4
C ．1或4
D ．2或4
解析 设扇形半径为r ，中心角弧度数为α，
则由题意得⎩⎨⎧
2r ＋αr ＝61
2αr 2＝2
，∴⎩⎪⎨⎪⎧ r ＝1α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧
r ＝2
α＝1
.
4．把－11
4π表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是
________．
解析 －114π＝－2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34π＝2×(－1)π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫
－34π.∴θ＝－34π.
课后小结
1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应． 2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝
π rad ”这一关系式．
易知：度数×π180 rad ＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭
⎪⎫180π°＝度数．
3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.。