y
hb
b
az ef
c
d
y
Mz y My z
Iz
Iy
a
Mz Wz
My Wy
b
Mz Wz
My Wy
c
Mz Wz
My Wy
d
Mz Wz
My Wy
max
Mz Wz
My Wy
hb
y0
b
az ef
c
d
y
a
b
e
z0
o
z
d
f c
P
y
Mz y My z
Iz
Iy
中性轴的位置
P cos
Iz
y0
P sin
Iy
z0
0
tg y0 Iz tg
z0 I y
[例8－1]图示矩形截面木梁荷载作用线如图所示。已知
q=0.5kN/m，l=4m，=30°，容许应力[]=10MPa，试校核该
梁的强度。
q
A
B
l
解：
M max
1 8
ql 2
1kN.m
120
q
M zmax
1 8
(q cos )l 2
z y
M max cos 866 N.m
c2 c1
8P / a2 P / a2
8
[例8－5]已知P、h、b、l，求图示偏心拉杆的最大拉应力和 最大压应力。
b b
zP h
l
y
A
h
my
Bl
z P
mz y
最大拉应力发生在横截面的A点； 最大压应力发生在横截面的B点。
M zmax 17.678 kN.m M ymax 17.678 kN.m
zA 56.9 2 80.5mm
zK 200
2 2
zA
141 .4 80.5
60 .9mm
K
M zmax Wz
M ymax Iy
zK
17678 17678 6.09 146.14MPa
322 1180
（压）
80
M
y m ax
1 8
(q sin )l 2
M max sin 500 N.m
q
q
A
B
l
120
M
z m ax
1 8
(q
cos )l 2
z y
M max cos 866 N.m
80
M
y m ax
1 8
(q sin )l 2
M max
1 8
ql 2
1kN.m
M max sin 500 N.m
材料力学
第8章 组合变形
§8–1 组合变形的概念 §8–2 斜弯曲 §8–3 拉压与弯曲的组合变形 §8–4 偏心压缩 §8–5 弯扭组合变形
§8–1 组合变形的概念
杆件同时发生两种或两种以上基本变形时称为组合变形。
P P
R
M
前面各章介绍了杆件在单一基本变形（拉压、剪切、扭 转、弯曲）时应力、变形的计算。对于组合变形的应力计算， 只需分别计算每一基本变形的应力，再进行叠加即可。
6M y hb2
6 1600 9 182
6 2000 18 92
11.52MP
a
§8–3 拉压与弯曲的组合变形
P2 P1
N Mz y
A Iz
=
=
=
+
P1 P2
+
+
' N
A " Mz y
Iz
[例8－3]图示结构中，横梁BD为Ⅰ20a工字钢，已知P=15kN，
钢的容许应力[]=160MPa，试校核该梁的强度。
P
P
mz= Pe
mz= Pe
+
=
P
P
mz= Pe
mz= Pe
+
= =
+
N Mz y
A Iz
' N
A
" Mz y
Iz
z x yp
P
zp
y
z x yp P
zp y
my=Pzp
z x yp
mz=Pyp P
zp
y
my=Pzp
Pz
z my=Pzp
mz=Pyp
z
y
y
y
+ +
Pz
z my=Pzp
mz=Pyp
" M y z,
Iy
b3h I y 12
hb
b
a
z
c
+
d Mz=Pyx
y
' M z y,
Iz
Iz
bh3 12
hb
b
a
z
c
d My=Pzx
y
" M y z,
Iy
b3h I y 12
hb
b
az ef
c
d
y
Mz y My z
Iz
Iy
hb
b
a
z
c
+
d Mz=Pyx
y
hbbΒιβλιοθήκη azcd My=Pzx
A
P=15kN
SAC
P=15kN
解： B
30
C
D
2.6m 1.4m
N图 M图
○－
40kN 21kN.m
○－
XB
30
B
C
D
YB
mB 0;
SAC sin 30 2.6 P 4 0
SAC 46.15kN
X 0; XB SAC cos30 0
X B 40kN
A
P=15kN
30
B
C
D
2.6m 1.4m
[练习1]求图示悬壁梁的最大正应力，并指出作用点的位置。
A
P2=1.6kN z
P1=1kN
z
18cm
B 1m
1m y
y 9cm
解：最大拉应力在固端截面A点，最大压应力在固端截面B点， 二者大小相等。
固端截面： M Z 1.6kN.m, M y 2kN.m
max
MZ Wz
My Wy
6M z bh2
20a工字钢截面性质:
A 23.5cm2 Wz 237 cm3
N图
○－
40kN 21kN.m
BD梁的最大正应力发生在C 截面的下边缘，为压应力。
○－
M图
cmax
N A
M
WZ
40103 3550
21103 237
99.9MPa
横梁安全。
§8–4 偏心压缩
x
Pz e
P
y
e
P mz= Pe
z
y
y
y
+
+
z
z
z
y
y
y
+
+
' N
A
" My z
Iy
M z y
Iz
[例8－4]求图示立柱挖槽后的最大应力是挖槽前的几倍。
P
P
P m=Pa/4
a
解： 挖槽前最大压应力
挖槽后最大压应力
a/2 a/2
c1
N A1
P a2
c2
N A2
M W
a
P 2/
2
Pa / 4 a(a / 2)2
/
6
8P a2
200
2m 2m 解：
C
I y 1180cm4
A
Wy 146cm3
y
M
max
1 4
Pl
25kN.m
P
M
z max
1 4
(P
cos45)l
M
max
cos45
17.678kN.m
M
y
max
1 4
(P
cos45)l
M
max
cos45
17.678kN.m
200
56.9
K z
C
A y
P
I z 4554 .6cm4 Wz 322 cm3 I y 1180cm4 Wy 146cm3
P q
hg
§8–2 斜弯曲
变形后，杆件的轴线弯成一空间曲线称为斜弯曲。斜弯 曲可分解为两个平面弯曲。
z
x
Pz
Py
Py
z
x+
Py y
Py P cos
Pz P sin
z x Pz y
z
x
x
Py
y
z
z
x Pz x
y z
hb hb
Mz=Pyx y
' M z y,
Iz
Iz
bh3 12
My=Pzx y
max
M zmax Wz
M ymax Wy
866 6 8122
500 6 12 82
8.42MPa
此梁安全。
[例8－2]图示梁为等边角钢∟200×200×20，荷载作用线如图 所示，截面的几何性质已知，求危险截面上K点的应力。
P=25kN
56.9
K
I z 4554 .6cm4
A
B
z Wz 322 cm3