2020年高考诊断性测试数学参考答案一、单项选择题1. C2. B3. A4. B5. B6. D7. A8. C 二、多项选择题9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD 三、填空题13. 45-14. 300 15. 12 16. 24x y =，四、解答题17．解：（1）因为2cos cos +cos )a A b C c B =，由正弦定理得所以2sin cos cos sin cos )A A B C C B =+, …………………………1分即 2sin cos )A A B C =+， …………………………2分 又B C A π+=-，所以sin()sin()sin B C A A π+=-=所以2sin cos A A A =， …………………………3分 而0A π<<，sin 0A ≠所以cos A =所以6A π=. …………………………4分（2）因为11sin 22ABCBC S bc A a h ∆==⋅ …………………………5分将b =3BC h =，1sin 2A =代入，得3a =. …………………………6分由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，于是222)232c c =+-⨯， …………………………8分 即 29180c c -+=，解得3c =或6c =. …………………………10分18．解：设等比数列{}n b 的公比为q （0q >），则18b q=，38b q =， 于是8384q q-⨯=， …………………………2分 即2620q q +-=，解得12q =，23q =-（舍去）. …………………………4分 若选①：则142a b ==，41434202S a d ⨯=+=，解得2d =， …………………………6分所以2(1)222n n n S n n n -=+⨯=+，…………………………8分 1111(1)1n S n n n n ==-++， …………………………9分 于是12111111111+(1)()()122311k k T S S S k k k =++=-+-++-=-++L L ……10分 令1151116k ->+，解得15k >，因为k 为正整数，所以k 的最小值为16. ……12分 若选②：则142a b ==，113232(2)2a d a d ⨯+=+，解得12a d ==.下同①.若选③：则142a b ==，113(2)(3)8a d a d +-+=，解得43d =. ………………6分 于是2(1)42422333n n n S n n n -=+⨯=+， …………………8分 131311()2(2)42n S n n n n =⨯=-++， ……………………9分 于是31111111[(1)()()()]4324112k T k k k k =-+-++-+--++L 3111(1)4212k k =+--++ 9311()8412k k =-+++， ………………………………………10分 令1516k T >，得111124k k +<++，注意到k 为正整数，解得7k ≥，所以k 的最小值为7. (12)分19．解：（1）证明：延长EG 交BC 于点D ,点D 为BC 的中点，因为,D E 分别是棱,BC AB 的中点,y所以DE 是ABC ∆的中位线，所以//DE AC ， …………………………2分 又DE PAC ⊄平面，AC PAC ⊂平面，所以//DE PAC 平面.同理可证//EF PAC 平面. ………………………………………3分又DE EF E =I ，,DE DEF EF DEF ⊂⊂平面平面，所以平面//DEF PAC 平面， ……………………………………4分 因为GF DEF ⊂平面，所以//GF PAC 平面. ………………………………5分 （2）连接PE ，因为PA PB =，E 是AB 的中点，所以PE AB ⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB I 平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABC .以E 为坐标原点，以向量,EB EP u u u r u u u r所在的方向分别作为y 轴、z 轴的正方向，以与向量,EB EP u u u r u u u r垂直的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -. (6)分设1EB =，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P ，11(0,,)22F ，1(,0)62G ， 11(0,,)22FE =--u u u r，1(,0,)62FG =-u u u r ， 11(0,,)22FP =-u u u r . (7)分设平面EFG 的一个法向量为(,,)x y z =m ，则00FE FG ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u rg m m，即00y z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩， 令1z =，得1y =-，x =1,1)=-m …………………………9分又平面PFG 的一个法向量为111(,,)x y z =n ，则00FG FP ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u rg u u u rg n n，即111100x y z ⎧=⎪⎨-=⎪⎩， 令11y =，得11z =，1x =于是取=n ………………………………………………11分 设平面EFG 与平面PFG 的所成的角二面角的大小为θ，则3cos cos ,5θ=<>===g m n m n m n . 所以平面CFG 与平面EFG 的所成的锐二面角的余弦值为35. ………………12分20．解：（1）由调查数据，问卷得分不低于60分的比率为13011090110100600.61000+++++=，故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6. …………………2分（2）由题意得列联表如下：…………3分2K 的观测值21000(250270330150) 5.542400*********k ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ …………………5分 因为5.542 3.841>所以有95%的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. ………………6分 （3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人. ………………7分随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3，其中0364310(0)n n C C P C ξ++==，1264310(1)n n C C P C ξ++==,2164310(2)n n C C P C ξ++==,36310(3)n n C P C ξ++==, ………………9分 所以随机变量ξ的分布列为0312213646464633331010101001232n n n n n n n n C C C C C C C E C C C C ξ++++++++=⨯+⨯+⨯+⨯≥ ………………10分12213364646101232n n n n C C C C C C ++++⨯+⨯+⨯≥,可得，116(6)4(6)(5)(6)(5)(4)(10)(9)(8)23n n n n n n n n n ++++++++≥+++， 23(6)(1772)2(10)(9)(8)n n n n n n +++≥+++，3(6)2(10)n n +≥+，解得2n ≥. …………………………………………12分 21．解：（1）由()0f x ≤可得，1ln (0)xa x x+≥>， 令1ln ()x h x x +=，则221(1ln )ln ()x x x x h x x x ⋅-+-'==， ………………1分 当(0,1)x ∈时，()0h x '>，()h x 单调递增，当(1+)x ∈∞，时，()0h x '<，()h x 单调递减，故()h x 在1x =处取得最大值， ………………3分 要使1ln xa x+≥，只需(1)1a h ≥=， 故a 的取值范围为1a ≥， ………………4分显然，当1a =时，有1ln 1xx+≤，即不等式ln 1x x <-在(1,)+∞上成立， 令11()n x n n *+=>∈N ，则有111ln 1n n n n n ++<-=，所以231111ln ln ln 11223n n n ++++<++++L L ，即：1111ln(1)23n n++++>+L ； ………………6分（2）由()()f x g x =可得，21ln (1)e x x a x x +-=-，即21ln (1)e x xa x x+=--，令21ln ()(1)e x x t x x x +=--，则22ln ()(1)e x xt x x x-'=--， ………………8分 当(0,1)x ∈时，()0t x '>，()t x 单调递增，当(1+)x ∈∞，时，()0t x '<，()t x 单调递减，故()t x 在1x =处取得最大值(1)1t =， ………………10分 又当0x →时，()t x →-∞，当+x →∞时，()t x →-∞， ………………11分所以，当1a =时，方程()()f x g x =有一个实数解；当1a <时，方程()()f x g x =有两个不同的实数解；当1a >时，方程()()f x g x =没有实数解. ………………12分 22．解：（1）将点的坐标代入椭圆C 的方程得22224214a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2284a b ==，，所以椭圆C 的方程为22184x y +=． ……3分 （2）设11((,)P t Q x y .因为以PQ 为直径的圆恒过点O ，所以110OP OQ x t =+=u u u r u u u r g，即1y =. ……………………4分因为Q 点在椭圆上，所以2211184x y +=. （i）将1y =代入椭圆，得212324x t =+，221244t y t =+，于是22222114=(8)4()OP OQ t x y ++++2264244t t =+++,t ∈R . …………5分因为2264244t t +++2264+4204t t =+++20≥36= 当且仅当2264+4=4t t +，即=2t ±时，取等号. 所以224OP OQ +的取值范围为[36,)+∞. ……………………………………7分（ii ）存在.定圆的方程为224x y +=.假设存在满足题意的定圆，则点O 到直线PQ 的距离为定值.因为11((,)P t Q x y ，所以直线PQ 方程为11()(()0x t y y x t -----=，整理可得1111(()0y x x t y ty ----+=， ………………………………8分所以O 到直线PQ的距离d =， …………………………9分由（i）知，1y =，得212324x t =+，221244t y t =+，110x t +=，注意到10x ≠，知11t x =-.所以222111|||ty t -+=+=+， …………………10分又=2=== ……………………11分所以2d r ===，因此，直线PQ 与圆224x y +=恒相切. …………………………………………12分。