f ( k1 ) 0 f ( k2 ) 0
(6) x1，x2有且只有一个根在（k1 , k2）内
k1
k2
f (k1 ) f (k2 ) 0
k1
k2
0 或 b k1 k2 2a
k1
k2
f ( k1 ) 0 或 b k1 k2 k1 2a 2
2，
1 即－ <m≤ 1－ 2. 2
解决二次方程范围根的问题，关键是依据零点存在性 定
理用二次函数的性质对方程的根进行限制，布列不等 式
组求解．
B 练习．若 f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋(2m ＋1)的两个零 点分别在区间(－1， 0) 和区间 (1 ， 2) 内，则实数 m 的取 1 1 值范围是 4，2 ．
2 2
得： m 6或m 2.
m 6或m 2 0 (2) x1 x2 0 得 m 0 得：m 6 x x 0 m 3 0 1 2
m 6或m 2 0 (3) 得 得：m 3. x1 x2 0 m 3 0
k1
f ( k2 ) 0 或 k1 k2 b 2 2a k2 k2
(7)m x1 n p x2 q ( m , n, p, q为常数）
f (m ) 0 f ( n) 0 f ( p ) 0 f (q ) 0
• 判断二次函数的零点分布的关键:
在于作出二次函数的图象的草图， 根据草图通常从判别式、对称轴 的位置、特殊点的函数值这三个 角度列于 x 的二次方程 x2＋2mx＋2m＋ 1＝ 0. (1)若方程有两根，其中一根在区间 (－1,0)内，另一根在区间 (1,2)内，求 m 的范围； (2)若方程两根均在区间 (0,1)内，求 m 的范围．
1 m< － ， 2
5 1 即－ <m<－ . 6 2
(2)抛物线与 x 轴交点均落在区间(0,1)内，如图(2)所示 得如下不等式组
f1>0， Δ≥0， 0<－m<1.
f 0>0，
m>－1， ⇒ 2 m≥ 1＋ 2或 m≤ 1－ －1<m<0.
1 m>－ ， 2
练习资料书90页第4题
4. 若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一
解，则a的取值范围是 ( B ) A. a＜－1 C. －1＜a＜1 B. a＞1 D. 0＜a＜1
配人教A版
题型三 函数零点的应用
数学
必修1
【例3】 已知在函数f(x)＝mx2－3x＋1的图象上其零点至少 有一个在原点右侧，求实数m的范围． 思路点拨：利用函数零点的存在性定理，结合函数的单调 性进行判定或利用数形结合的方法进行判定．
=m2 4(3 m) 0 法三： m m 2 4m 12 1 x1 2 m m2 4m 12 1 x2 2
由求根公式，转化成含根式的 不等式组
m 6或m 2 m6 解不等式组，得 m 2 m 2 4m 12 m 2 4m 4
通过本节课的学习,你学会了 哪些知识? 基本知识:1. 二分法的定义; 2.用 二分法求解方程的近似解的步骤. 二分法求方程近似解的口诀: 定区间，找中点， 同号去，异号算， 周而复始怎么办? 中值计算两边看; 零点落在异号间; 精确度上来判断.
资料P89第4题.用二分法求方程 log3 x x 3的近似根时, 可以取的初始区间是： A: -1,0 B : 0,1 C:1,2 D: 2,3
f（0）<0， f（－1）· 【解析】由题意得 f（2）<0， f （ 1） · （2m－1）（2m＋1）<0， 1 1 即 解得 <m< . 4 2 （ 4 m － 1 ）（ 8 m － 7 ） <0 ，
小结：若一元二次方程ax bx c 0(a 0)
5.用二分法求方程x3 2 x 5 0在区间 2,3内的实根时 取区间中点x0 2.5, 那么下一个区间为 __
二次函数零点的分布
实根分布问题 2 ax ★一元二次方程 bx c 0(a 0)
1、当x为全体实数时的根
(1)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个不相等的实数根
(3) x1 k x2 (k为常数）
f (k ) 0
(4)k1 x1 x2 k2 (k1 , k2为常数）
0 b k2 k1 2a f ( k1 ) 0 f ( k2 ) 0
(5) x1 k1 k2 x2 (k1 , k2为常数）
第二章
基本初等函数、导数及其应用
1．解决一元二次方程根的分布问题，先构造二次 函数， 再作出符合根的分布的二次函数图象， 由图象的 直观形象可得出符合根的分布的必要条件，进而证明 (或寻求)它也是其充要条件． 2 ．利用函数 y＝ f (x ) 的零点来研究方程 f (x ) ＝0 的 根的分布情况，是数形结合的体现．此时，要构造合理 的函数， 根据函数值的情况判断其零点情况， 但若要知 道零点个数，还需结合函数的单调性．
2
的两根为x1 , x2 ( x1 x2 )则先 设f ( x ) ax bx c(a 0)
2
(1)方程两根都小于k (k为常数）
0 b k 2a f (k ) 0
(2)方程两根都大于k (k为常数）
0 b k 2a f (k ) 0
[解 ]
(1)由条件，抛物线 f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1 与 x 轴的交
点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图 (1)所示，
f－1＝2>0， 得 f 1＝4m＋2<0， f2＝6m＋5>0.
f 0＝2m＋1<0，
m∈R， ⇒ 1 m< － ， 2 m>－5. 6
转化为韦达定理的 不等式组
助于图像，解不 等式组
法二：
m2 4(m 3) 0 m 6或m -2 x1 x2 ( x1 x2 ) 1 0 m 6 ( x1 1)( x2 1) 0 ( x 1) ( x 1) 0 x x 2 0 2 1 2 1
【解析】 (1)当 m＝0 时， f(x)＝－3x＋1， 1 ，0 直线与 x 轴的交点为 3 ，即函数的零点 1 为 ，在原点右侧，符合题意． 3
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数学
必修1
图(1)
(2)当 m≠0 时，∵f(0)＝1， ∴抛物线过点(0,1)． 若 m<0，f(x)的开口向下，如图(1)所示． 二次函数的两个零点必然是一个在原点右 侧，一个在原点左侧； 若 m>0，f(x)的开口向上，如图(2)所示，要 使函数的零点在原点右侧，当且仅当 9－4m≥0 9 即可，解得 0<m≤ . 4 9 －∞， 综上所述，m 的取值范围为 4.
(2)当 b 2 4ac 0时， 方程有两个相等的实数根
(3)当 b 2 4ac 0时， 方程没有实数根
2 x 例1.m为何实数值时，关于x的方程 mx (3 m) 0
（1）有实根
（2）有两正根 （3）一正一负
解： 寻求等价条件
(1) m 4(3 m) 0 ， m 4m 12 0
变式题1m为何实数值时，关于x的方程 x mx (3 m) 0 有两个大于1的根. 2 转变为函数，借 法一：设 f ( x) x mx (3 m) 由已知得：
2
f(x)
x1
x2
0
1
x
m 2 4( m 3) 0 m6 f (1) 0 m 1 2
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数学
必修1
方法点评：本题重点考查函数零点的分布问题，解答本题 的关键是熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义．用二 次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨是解答本题 的难点．设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然 后用函数性质加以限制，要注意： (1)判别式；(2)对称轴；(3) 所给区间端点的函数值；(4)开口方向．
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