连续介质力学作业必做题
以下各题中，取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单
位基向量为),,(321e e e 。

2-1 如果物体在运动过程中保持任意两点间的距离不变，则称这样的运动为刚体
运动，试证：物体的运动若为刚体运动，则参考构形中的物质点X 变换到当前
构形中的空间位置x 时，必满足：)()()(t a A X t Q x +-⋅=，其中)(t Q 为正常正交
仿射量。

2-2 现取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单位基向
量为),,(321e e e ，有一物体的变形为：33222011,,X x X x X k X x ==+=，试写出以下各量：
1）变形梯度张量F 和变形梯度张量之逆1-F ；
2）右，左Cauchy-Green 张量B C ,；并计算C 和B 的三个主不变量；
2-4 现取空间坐标系}{i x 为直角坐标系，其单位基向量为),,(321e e e ，有一物体的
小变形位移场为3212323213131))(())((e x x e x x x x e x x x x u -+++--=，试求：
（1）P （0，2，-1）点的小应变张量e ，小转动张量Ω 及其反偶矢量ω ；
（2）求P 点在9/)48(321e e e +-=ν方向上的线应变；
（3）求P 点在9/)48(321e e e +-=ν和9/)744(321e e e -+=μ二方向上的直角
的变化量。

2-6 取物质坐标系}{A X 和空间坐标系}{i x 为同一个直角坐标系，其单位基向量
为),,(321e e e ，有一物体的运动为：
11X x =，
2/)(2/)(32322X X e X X e x t t -++=-，
2/)(2/)(32323X X e X X e x t t --+=-，
试求物质和空间速度分量。

2-12 在习题2-2给出的简单剪切变形中，如果)(00t k k =是时间t 的函数，
试写出相应的速度梯度L ，变形率张量D 和物质旋率W 的表达式。

2-13 一介质速度场用)1/(3),1/(2),1/(332211t x v t x v t x v +=+=+=来描述，试：
1）求这一运动的欧拉加速度场；
2）求这一运动的位移关系式),(t X x x i
i =； 3）求这个运动的拉格朗日加速度分量。

2-15 某一介质流动的速度场为⎪⎩
⎪⎨⎧-⋅=⋅-==--Bt Bt e x x x x A v e x x x x A v v )()(0312********，式中A ，B 是常数，
求这一运动的速度梯度L ，并计算当t =0时，点P(1,0,3)的变形率张量D 和
物质旋率张量W 。

2-16 对于介质的定常速度场333212322121123e x x x x e x x x e x x x v ⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=,
求介质在P(1,1,1)点沿5/)43(31e e l -=方向的长度率l d ，并求该方向上的方向率dt
l d 。

2-18 在一介质的二维不可压缩定常流动中，已知其速度场的一个分量为
)/(221122x x x x Ax v ⋅+⋅-=，如果在截面01=x 处速度场的边界条件为
001
1==x v ，求速度场的另一个分量1v ，并证明该介质做无旋运动。

2-19 一介质速度场为：
⎪⎩
⎪⎨⎧=⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅⋅-⋅=0))(/(2))(/()(3221122112122211221122111v x x x x x x x x x Ax v x x x x x x x x x x x x A v
证明这个运动是不可压缩的，并写出该运动应满足的连续性方程。

2-20 一热力学连续介质，其本构方程为：
)()23(20θθαδμλμδλσ-+-+=ij ij ij kk ij D D ，式中αμλ,,为材料性能参数，θ
为温度，0θ为参考温度，试证明：
当ij σ为偏斜张量时，有)(30θθα-=kk D 。