当
0 y 1
时
F[
1
ln(1
y)]
( 1 ln(1 y))
1e
y
Y 1 eX ~ U (0,1) ．
, ，因此
FY ( y)
P{X
1
ln(1
y)}
0 , y 0 ,
FY (
y)
y, 0 y所 以1 ,
1 , y 1 ,
解答题（Ｂ类）
1.解
⑴令
pk
P{X
k}
1 ,k kk 1
选择题
1.解 F (x) 1 sgn x 在点 x 0 处不右连续； F (x) x2 不是单调不减函数
2
x2 ex
（如 F (1) 1 F (0) 0 ）； F (x) 1 则有 lim F (x) 1 ， lim F (x) 0 ，所以
1 e
1 ex
x
x
（A）（B）（C）均不正确，选（D）．
x
x1
F
(x)
1
1, x
0,
x 1, 进而 P{1 X 2} F (2) F(1) 1 0 1 .
x 1,
22
2.解 设 i 表示第一枚骰子出现的点数， j 表示第二枚骰子出现的点数，则样本空间为
3 {(i, j) i, j 1, 2,3, 4,5, 6}． 并且每个样本点 (i, j) 出现的概率均为 1 ， i, j 1, 2,3, 4,5, 6 ．
概
率
分
布
即
Y
的
分
布
律
为
P{Y k P k} X k { k1exdx ek1 e1} k k
．( 1
6.解 当 y (0, 4) 时，FY ( y) P{Y y} P{X 2 y} P{X
在 (0, 4) 内的概率分布密度为
fY
( y)
FY( y)
1 4y
．
y} y ，所以Y 2
6}
C6 500
(
1 365
)6
(1
1 )494 365
．
由于 500
1
近似
1.3699 ，采用泊松定理，有 X ~ P(1.3699) ，故
365
P{X 6} 6 e 1.36996 e1.3699 0.0023.
6!
6!
5. 解 ⑴ 因 为 连 续 型 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 处 处 连 续 ， 所 以 F(1 0) F(1 0) F(1) ，即 k 1 1 ，故 k 1．
2 2 0.9987 0.0026 ．
11.解 ⑴ P{X 20} ( 20 50) (3) 1 (3) 1 0.9987 0.0013 ； 10
⑵ P{X 70} 1 P{X 70} 1 (70 50) 1 (2) 1 0.9772 0.0228 ； 10
⑶ P( X a) ( a 50) 0.90 ，查表得 (1.28) 0.90 ，且 (x) 为单调增加函数， 10
f1(x)
f2 (x) 不是密度函数，选（C）．
另外，由密度函数的性质或直接验证可知， 2 3
f1
(
x)
1 3
f
2
(
x)
，
1 3
f1(x)
2 3
f2 (x) 以及
2 f2 (x) f1(x) 均是密度函数．
4.解 ①由 P( AB) 0 ，不能得出 AB ，所以 A, B 未必互不相容．
② P(B A) 1 P( AB) P( A) P( AB) 0 ，不能得出 AB A B ，所以 A B 未必成立．
③由于 AB A A B, AB B A B ，所以 A B A B AB ．
因为 P( A B) P(AB) P(A B AB) 0 ，不能得出 A B AB ，即不能 得 A B AB ，故不能得出 A B ．
i 10
36 36 36 36 18
3.解
设
X
的分布律为 X
~
0
a
1 b
2 c
，则由分布律的性质和题设知
a b c 1,
ab
2c,
a c b,
0 1 2
解得 a
1,b 6
1 ,c 2
1 ，所以 3
X
的分布律为 X
~
1 6
1 2
1 3
．
0,
x 0, 0, x 0,
⑵
X
的分布函数为
互独立，且
P( Ai ) P{X 150}
150
100 x2
dx
2 3
,
i 1, 2,3 ，
所 以 使 用 150 小 时 后 ， 三 个 电 子 管 都 不 需 要 更 换 的 概 率 为
P( A1A2
A3 )
P( A1)P( A2 )P( A3)
( 2 )3 3
8 27
．
8.解
令 p P{X 1}，则 p
1, 2,
．显然 pk 0 ， k 1, 2,
．由于
n
k 1
pk
n k 1
1 kk 1
n1
k 1 k
1 k 1
1
1， n 1
故
k 1
pk
1 lim n
1 n 1
1 ，所以 P{X
k}
1 2k
,k
1, 2,
⑵ X 取偶数的概率为
为 X 的分布律．
P{X 2k}
1
1
1 2
2xdx
1
．因此 Y
服从参数为
1
的几何分布，即
2
0
4
4
Y ~ G(1) ，故Y 的分布律为 P{Y k} 1 ( 3)k1 ， k 1, 2,3, ．
4
44
1 ( 3)k1
P{Y
5Y
2}
P{Y 5,Y P{Y 2}
2}
P{Y P{Y
5} 2}
k 5
44 1 ( 3)k1
10.解 ⑴ P{0.02 X 2.33} (2.33) (0.02) 0.9901 0.5080 0.4821 ；
⑵ P{X 2} (2) 1 (2) 1 0.9772 0.0228 ；
⑶ P{ X 3} P{X 3} P{X 3} (3) 1 (3) 2 2(3)
( y)
FY( y)
3(1 y)2 [1 (1 y)6 ]
,
y
．
13.证
X
的分布函数为 F (x)
1 ex ,
x 0, Y 的分布函数为
0, x 0.
FY ( y) P{Y y} P{1 eX y} ．
当 y 0 时, FY ( y) 0 ；当 y 1时, FY ( y) 1；
所以 a 50 1.28 ，解得 a 62.8 ． 10
12.解 Y 的分布函数为
FY ( y) P{Y y} P{1 3 X y} P{X (1 y)3}
1 dx 1 [ arctan(1 y)3] ， y ,
(1 y)3 (1 x2 )
2
故得 Y
的密度函数为
fY
0 2 5
故X
的分布律为 X
~
1
1
1
．
4 2 4
2.解 由 c k e 1，而 k e ， c(1 0 e ) 1 ，所以 c (1 e )1．
k 1 k !
k0 k !
0!
3.解 设命中次数为 X ，则 X ~ B(10, 0.2) ，所以
P{X 2} 1 P{X 2} 1 P{X 0} P{X 1} 1 0.810 C110 0.2 0.89
④若 A B ，则 AB , A B ，必有 AB AB ．
因为 P( AB) P(AB) 1 P( AB AB) 1 ，不能得出 AB AB ，从而未必有 A, B 互为对立事件．
综上可知以上命题均不正确，选（A）．
5. 解
由f (x)dx kexdx 1 得k e
，所以
ex , f (x)
0,
P{ X a} a exdx 1 ea ，选（B）．
x , 故 x ,
6.解
由于
F
(
x)
1
e
1 2
x
,
x 0,
3
所以 P{X 3} 1 F(3) e 2 ，利用指数分布
0, x 0,
3
的无记忆性，即性质 3.2 得 P{X 6 X 3} P{X 3} e 2 ．选（B）．
36 又 X 可能的取值为 2,3,…,12，根据古典概型计算得 X 的分布律为
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
X
1 36
2 36
3 36
4 36
5 36
6 36
5 36
4 36
3 36
2 36
1 36
．
P{X 9} 12 P{X i} 4 3 2 1 5 ．
字，且
P( A) P( A) 1 ， P(B A) P{X 0} e1, P(B A) P{Y 0} e2 ． 2
故由对立事件概率公式和全概率公式，得
P(B) 1 P(B) 1[P( A)P(B A) P( A)P(B A)]
0,
⑵
X
的分布函数为
F ( x)
x
2
,
1,
x 0, 0 x 1, 故
x 1,
P{0.3 X 0.7} F(0.7) F(0.3) 0.72 0.32 0.4 ．
⑶
X
的密度函数为
f
(x)