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一、微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x, y, y, , y(n) ) 0 或 y(n) f (x, y, y, , y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
第二节
第七章
一、可降阶高阶微分方程 二、线性微分方程解的结构
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一、 可降阶的高阶微分方程
1、y(n) f ( x) 型的微分方程 2、y'' f ( x, y') 型的微分方程 3、y'' f ( y, y' ) 型的微分方程
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一、可降阶高阶微分方程
1、 y(n) f (x) 型的微分方程
令 z y(n1) ,
因此
z f (x) dx C1
即
同理可得 y(n2)
dx C2
dx C1x C2
依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 .
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例1.
解: y e2x cos x d x C1
1 2
e2x
sin
x
C1
y
1 e2x 4
cos x
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微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.
通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同. 其图形称为积分曲线族.
特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.
定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.
n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y(x0 ) y0 , y(x0 ) y0 , , y(n1) (x0 ) y0(n1)
u 1 u
x
积分得 ln u 1 ln x ln C , 即 x (u 1) C
u
u
代回原变量得通解 x ( y x ) C y (C 为任意常数)
说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在
求解过程中丢失了.
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3、一阶线性微分方程
一阶线性微分方程标准形式: dy P(x) y Q(x) dx
dy p ey dx
积分得 e y x C2 , 再由 y x0 0, 得C2 1
故所求特解为 1 e y x
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例4.
二阶可导, 且
上任一点 P(x, y) 作该曲线的
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 积记为 区间[ 0, x ] 上以 为曲边的曲边梯形面积
例2. 求解 (1 x2 )y 2xy
y x0 1, y x0 3
解:
代入方程得
(1 x2 ) p 2x p 分离变量
积分得 ln p ln (1 x2 ) ln C1 , 利用 y x 0 3 , 得 C1 3,于是有 y 3(1 x2 )
两端再积分得 y x3 3 x C2 利用 y x 0 1 , 得 C2 1, 因此所求特解为
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
故通解为
y C e P(x)dx
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2. 解非齐次方程 dy P(x) y Q(x) dx
用常数变易法: 作变换 y(x) u(x) e P(x)d x , 则
两端积分得 ln p ln y ln C1 , 即 p C1y,
(一阶线性齐次方程)
故所求通解为
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例4.
解初值问题
y e2y y x0
0 0,
y x0 1
解: 令 y p ( y), 则 y p d p , 代入方程得 dy
积分得
1 2
p2
1 2
e
2
y
C1
利用初始条件, 得C1 0, 根据 p y0 y x0 1 0, 得
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例1. 解微分方程 y y tan y .
解:
令u
y,
则y
u
x
x u,
x
代入原方程得
x
u x u u tan u
分离变量 cos u d u dx
sin u
x
两边积分
cos u sin u
d
u
dx x
得
ln sin u ln x ln C , 即 sin u C x
C1x C2
y
1 e2x 8
sin
x
C1 x 2
C2 x
C3
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2、 y f (x, y) 型的微分方程
设 y p (x) ,
原方程化为一阶方程
设其通解为 p (x,C1)
则得
y (x,C1)
再一次积分, 得原方程的通解
y (x,C1) dx C2
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求出此方程通解后, 换回原变量即得伯努利方程的通解.
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例4. 求方程
的通解.
解: 令 z y1, 则方程变形为
dz z a ln x dx x
其通解为
z
e
1 x
dx
(a
ln
x)
e
1 x
dx
dx
C
x C a ( ln x)2
2 将 z y1代入, 得原方程通解:
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切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:
dy 2x
①
dx
y x1 2
②
由①得
(C为任意常数)
由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y x2 1.
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引例2. 列车在平直路上以
的速度行驶, 制动时
获得加速度
求制动后列车的运动规律.
ue P(x)d x P(x)u e P(x)d x P(x) u e P(x)d x Q(x)
即
两端积分得对应齐u 次 方Q程(x通) e解 P(x)ydx dCxeC P(x)dx
故原方程的通解
y
e
P(x)d
x
Q(
x)
e
P(
x)
d
x
dx
C
即
y Ce P(x)d x e P(x)d x Q(x) e P(x)d xdx
满足的方程 .
( 99 考研 )
解:
在点 P(x, y) 处的切线倾角为 , 于是
y x2 1 1
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例3. 求下述微分方程的通解:
解: 令 u x y 1, 则
故有
1 u sin2 u
即
解得
tan u x C
所求通解: tan(x y 1) x C ( C 为任意常数 )
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练习:
解法 1 分离变量
ey ex C
即
(ex C)ey 1 0
引例1 通解:
dy dx
2x
y x1 2
引例2
y x2 C
d2y dx2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
特解: y x2 1
s 0.2t 2 20t
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例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的解, 并求满足初始条件
解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .
已知
s t0 0 ,
由前一式两次积分, 可得 s 0.2 t 2 C1 t C2
利用后两式可得
因此所求运动规律为 s 0.2 t 2 20 t
说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才
能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
解: 根据牛顿第二定律列方程 m dv mg kv dt
初始条件为 v t0 0
对方程分离变量, 然后积分 :
得
(此处 mg kv 0)
利用初始条件, 得 代入上式后化简,
C 1 k
得特解
ln ( v
mg ) m g (1
e
k m
t
)
t
足够大时
v
mg k
k
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2、齐次方程
形如
的方程叫做齐次方程 .
解法: 令 u y , x
代入原方程得 u x d u (u)
dx
分离变量:
du dx
(u) u x
两边积分, 得
du
(u) u
dx x
积分后再用 代替 u, 便得原方程的通解.
x
t0
A, dx
dt
t00
的特解 .
解:
k 2 (C1 sin kt C2 cos kt ) 这说明 x C1 cos kt C2 sin kt 是方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.
利用初始条件易得:
故所求特解为
x Acos k t
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例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为