主应力和主 平面 切应力全为零时的正应力称为主应力； 主应力所在的平面称为主平面； 主平面的外法线方向称为主方向。 主应力用1 , 2 , 3 表示 (1 2 3 ) 。
应力状态分析和强度理论

应力状态分类
（1） 单向应力状态 二向应力状态(平面应力状态)

三向应力状态(空间应力状态)
y (dA sin ) sin 0
2 2
dAcos
x



t
n
xy dA
yx
x cos + y sin x sin 2
x + y 2 + x y 2 cos 2 x sin 2
y
dAsin
应力状态分析和强度理论

应力状态的概念
过一点的不同方向面上的应力的集合，称为这 一点的应力状态。
应力状态分析和强度理论
应 力
哪一个面上？
指明
哪一点？
哪个方向面？
哪一点？
过一点、在不同方向面上应力的集合，称之为 这一点的应力状态。
3 一点应力状态的描述

应力状态分析和强度理论
单元体

单元体的特点
单元体的边长 dx, dy, dz 均为无穷小量；
Ft 0
dA x (dA cos ) sin
xy (dA cos ) cos
dAcos
x



t
n
+ yx (dA sin ) sin
+ y (dA sin ) cos 0
xy dA
yx

x y
2
y
dAsin
S平面
5 4
FP 2
S平面
FP l Mz 4
5
3
2 1
4 3 2
1
2
1
x
1
2
2
x
2
3
3
3


应力状态分析和强度理论
l
示例二
S
FP
a
应力状态分析和强度理论
S平面
y
1 4
S
FP
l
a
z
2 3
x
应力状态分析和强度理论
l S F
P
1
a
y
Mx 1 Wp
FSy
1
x
1
Mz Wz
4
z
4
Mx 4 Wp
D'点 画出应力圆
应力状态分析和强度理论

圆心坐标 x + y 80 + (40) OC 20 2 2
半径
2
E

x y 2 R 2 + xy
80 (40) 2 + (60) 84.85 85 2
Mz
x
2
3
3
Mx
Mx 3 Wp
x3 Mz Wz
应力状态分析和强度理论
§8-2 复杂应力状态的工程实例
1 二向应力状态的实例
薄壁圆筒已知：p,
D, δ。
求 x
端部总压力
Fp
D2
4
pD F 4 x D A 4
p
D 2
应力状态分析和强度理论

求x 求t
D 20
所以，可以忽略内表面受到的内压p 和外表面受 到的大气压强，近似作为二向应力状态处理。
x 5p
t 10p
应力状态分析和强度理论
例 8-1 已知：蒸汽锅炉， δ=10mm, D=1m, p=3MPa 。 求：三个主应力。 解： 前面已得到
pD pD x 75 MPa, t 150 MPa 4 2

二向应力状态的表示
切应力的下标

xy
切应力的方向
作用面的法线
应力状态分析和强度理论

二向应力状态的表示
切应力的下标
xy
作用面的法线

切应力的方向
正负号规定

正应力
x
拉为正
x
x
压为负
x
应力状态分析和强度理论

切应力 使单元体顺时针方向转动为 正；反之为负。
截面的方向角
x'y'
yx
y
y
z
z
zy yz
y
x
zx
xy
（2）

x
x
x
xz
xy yx
y
简单应力状态（单向应力状态） 复杂应力状态（二向、三向应力状态）
应力状态分析和强度理论
由平衡即可确定任意方向面上的 正应力和切应力。
示例一：
l/2
FP
S平面
l/2
应力状态分析和强度理论
FP
2
2 + xy
2 + 4 x y xy 2
2

1 R 2
C

R
O

x + y
2
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3、应力圆上的点与单元体面上的应力的对应关系 (1) 点面对应
应力圆上某 一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应 力和切应力;
应力状态分析和强度理论

2 xy
x y
应力状态分析和强度理论

确定面内最大切应力
主剪面对应于应力圆 上的G1和G2点。面内 最大切应力的值等于 应力圆的半径。
max
1 x y 2 ( ) + max min xy 2 2
2
应力状态分析和强度理论
x y 2 + 2
2
x + y 2
2 + xy
2
应力状态分析和强度理论
x + y x y 2 + 2 2 这是以、为变量的圆的方程。
2
应力状态分析和强度理论

圆心坐标 半径
OC 20 R 85
1 OA1 OC + R 105 MPa 3 OC R 65 MPa

E E
主平面
x
ED xy 60
由几何关系 CE OE OC 80 20 60
2 0 45
y σx z
σy
τyx τxy x
σα
n
α x τα
x dA y
x q


t
n
参加平衡的量——应力乘以其作用的面积

y
平衡方程 ——
F
n
0
Ft 0
应力状态分析和强度理论
Fn 0
dA x (dA cos) cos
+ xy (dA cos ) sin + yx (dA sin ) cos
从D点(x轴)逆时针转45º 至A1点， 0 22.5
应力状态分析和强度理论

主平面 由几何关系 CE OE OC 80 20 60
ED xy 60
2 0 45
从D点(x轴)逆时针转45º 至 A1点， 0 22.5
பைடு நூலகம்E E
应力状态分析和强度理论
基准相当 D点和x面是基准;
(2) 转向一致
半径旋转方向与方向面 法线旋转方向一致；
应力状态分析和强度理论
(2) 转向一致
半径旋转方向与方 向面法线旋转方向 一致；
(3) 转角两倍
半径转过的角度是 方向面法线旋转角 度的两倍。
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4 应力圆的应用

确定主应力、主方向
应力圆与横轴的交点 A1、 B1处，剪应力为零。它们 的横坐标即为主应力。从 半径CD转到CA1的角度即 为从x轴转到主平面的角 度的两倍。
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例题 8-2
已知一点应力状态，求图 中斜面上应力。
50MPa
y x
解：已知
x 100 MPa y 50 MPa
x 60 MPa ； 30
D
60

100MPa
30
60MPa


x + y
2
+
x y
2
cos 2 x sin 2 114( MPa)

xy
yx
由x正向逆时针转到截面的外 法线n 的正向的 角为正;反 之为负。
y
n

x
应力状态分析和强度理论
1、斜截面应力:
已知单元体受任意应力x、
y
x
y
x
x
y、xy 、yx ，
求任意 截面应力 。
y
x
y
外法 线
x
x
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• 平衡对象——用 斜截面截取的微元局部
已知：x =80MPa, y = -40MPa, xy = -60MPa,yx = 60MPa 。 求：用应力圆求主应力和主 方向。
解： 作应力圆: 由 x 80, xy 60 D点 D'点
由 y 40, yx 60 画出应力圆
应力状态分析和强度理论
E
由 x 80, xy 60 D点 由 y 40, yx 60