九年级第一学期期中数学试卷一、选择题:(每小题3分,10小题,共30分)1.(3分)下列各组数中,相等的一组是()A.﹣2和﹣(﹣2)B.﹣|﹣2|和﹣(﹣2)C.2和|﹣2|D.﹣2和|﹣2|2.(3分)下列各式中,正确的是()A.=﹣8B.﹣=﹣8C.=±8D.=±83.(3分)因式分解x﹣4x3的最后结果是()A.x(1﹣2x)2B.x(2x﹣1)(2x+1)C.x(1﹣2x)(2x+1)D.x(1﹣4x2)4.(3分)某市需要铺设一条长660米的管道,为了尽量减少施工对城市交通造成的影响,实际施工时,每天铺设管道的长度比原计划增加10%,结果提前6天完成.求实际每天铺设管道的长度与实际施工天数.小宇同学根据题意列出方程﹣=6.则方程中未知数x所表示的量是()A.实际每天铺设管道的长度B.实际施工的天数C.原计划施工的天数D.原计划每天铺设管道的长度5.(3分)下列说法中,错误的是()A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.菱形的对角线互相垂直D.平行四边形的对角线互相平分6.(3分)若x=2时,代数式ax4+bx2+5的值是3,则当x=﹣2时,代数式ax4+bx2+7的值为()A.﹣3B.3C.5D.77.(3分)已知0<α<45°,关于角α的三角函数的命题有:①0<sinα<,②cosα<sinα,③sin2α=2sinα,④0<tanα<1,其中是真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个8.(3分)如图所示,是反比例函数y=与y=在x轴上方的图象,点C是y轴正半轴上的一点,过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点,若点P在x轴上运动,则△ABP的面积等于()A.5B.4C.10D.209.(3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=10,AE=2,则弦CD的长是()A.4B.6C.8D.1010.(3分)如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象一部分,则以下正确的有:①b>2a;②ax2+bx+c =0的两根分别为﹣3和1;③a﹣2b+c<0;④a+b+c=0;⑤8a+c>0,其中正确的有()A.①②B.②③C.②③④D.②③④⑤二、填空题:(每小题3分,10小题,共30分)11.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则tan A=.12.(3分)单项式﹣π2x2y的系数是,次数是.13.(3分)若x2+2(m﹣3)x+16是完全平方式,则m的值等于.14.(3分)计算﹣2+7=.15.(3分)在反比例函数y=(x<0)中,函数值y随着x的增大而减小,则m的取值范围是.16.(3分)一条抛物线,顶点坐标为(4,﹣2),且形状与抛物线y=x2+2相同,则它的函数表达式是.17.(3分)若(x+y)(x+2+y)=15,则x+y=.18.(3分)如图,有两个矩形的纸片面积分别为26和9,其中有一部分重叠,剩余空白部分的面积分别为m和n(m>n),则m﹣n=.19.(3分)如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若∠ABC=120°,OC=3,则弧BC的长为(结果保留π).20.(3分)如图所示,扇形OMN的圆心角为45°,正方形A1B1C1A2的边长为2,顶点A1,A2在线段OM上,顶点B1在弧MN上,顶点C1在线段ON上,在边A2C1上取点B2,以A2B2为边长继续作正方形A2B2C2A3,使得点C2在线段ON上,点A3在线段OM上,……,依次规律,继续作正方形,则A2018M=.三、解答题:(本题共7小题,总分60分.其中第21题6分,第22题8分,第23题8分,第24题9分,第25题9分,第26题10分,第27题10分.)21.(6分)计算:()﹣2+|﹣2|﹣+6cos30°+(π﹣3.14)0.22.(8分)如图,已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O,四个顶点都在坐标轴上,反比例函数y=(k ≠0)的图象与AD边交于E(﹣4,),F(m,2)两点.(1)求k,m的值;(2)写出函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围.23.(8分)如图,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交⊙O于点D,连接OB、OC、BD、CD.求证:四边形OBDC是菱形.24.(9分)已知关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若x1+x2=x1x2+2,求k的值.25.(9分)如图,Rt△APE,∠AEP=90°,以AB为直径的⊙,O交PE于C,且AC平分∠EAP.连接BC,PB:PC=1:2.(1)求证:PE是⊙O的切线;(2)已知⊙O的半径为,求AE的长.26.(10分)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8m,BC=6m,点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动,同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动,当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动.(1)填空:在秒时,△PCQ的面积为△ACB的面积的;(2)经过几秒,以P、C、Q为顶点的三角形与△ACB相似?(3)如图2,设CD为△ACB的中线,则在运动的过程中,PQ与CD有可能互相垂直吗?若有可能,求出运动的时间;若没有可能,请说明理由.27.(10分)如图,抛物线y=x2+2x﹣3的图象与x轴交于点A、B(A在B左侧),与y轴交于点C,点D 为抛物线的顶点.(1)求△ABC的面积;(2)P是对称轴左侧抛物线上一动点,以AP为斜边作等腰直角三角形,直角顶点M正好落在对称轴上,画出图形并求出P点坐标;(3)若抛物线上只有三个点到直线CD的距离为m,求m的值.参考答案与试题解析一、选择题:(每小题3分,10小题,共30分)1.(3分)下列各组数中,相等的一组是()A.﹣2和﹣(﹣2)B.﹣|﹣2|和﹣(﹣2)C.2和|﹣2|D.﹣2和|﹣2|【分析】运用相反数和绝对值的知识,先化简﹣(﹣2)、﹣|﹣2|、|﹣2|,再判断相等的一组.【解答】解:因为﹣(﹣2)=2,﹣|﹣2|=﹣2,|﹣2|=2,所以选项A、B、D中的两个数均不相等,只有选项D中的两个数相等.故选:C.【点评】本题考查了相反数和绝对值的化简,题目难度不大.2.(3分)下列各式中,正确的是()A.=﹣8B.﹣=﹣8C.=±8D.=±8【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案.【解答】解:A、=8,故此选项错误;B、﹣=﹣8,故此选项错正确;C、=8,故此选项错误;D、=8,故此选项错误;故选:B.【点评】此题主要考查了二次根式的性质化简,正确化简二次根式是解题关键.3.(3分)因式分解x﹣4x3的最后结果是()A.x(1﹣2x)2B.x(2x﹣1)(2x+1)C.x(1﹣2x)(2x+1)D.x(1﹣4x2)【分析】原式提取公因式,再利用平方差公式分解即可.【解答】解:原式=x(1﹣4x2)=x(1+2x)(1﹣2x),故选:C.【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.4.(3分)某市需要铺设一条长660米的管道,为了尽量减少施工对城市交通造成的影响,实际施工时,每天铺设管道的长度比原计划增加10%,结果提前6天完成.求实际每天铺设管道的长度与实际施工天数.小宇同学根据题意列出方程﹣=6.则方程中未知数x所表示的量是()A.实际每天铺设管道的长度B.实际施工的天数C.原计划施工的天数D.原计划每天铺设管道的长度【分析】小宇所列方程是依据相等关系:原计划所用时间﹣实际所用时间=6,可知方程中未知数x所表示的量.【解答】解:设原计划每天铺设管道x米,则实际每天铺设管道(1+10%)x,根据题意,可列方程:﹣=6,所以小宇所列方程中未知数x所表示的量是原计划每天铺设管道的长度,故选:D.【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程,解题的关键是依据所给方程还原等量关系.5.(3分)下列说法中,错误的是()A.对角线互相垂直的四边形是菱形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.菱形的对角线互相垂直D.平行四边形的对角线互相平分【分析】根据平行四边形、菱形的判定和性质一一判断即可;【解答】解:A、对角线互相垂直的四边形不一定是菱形,本选项符合题意;B、对角线互相平分的四边形是平行四边形,正确,本选项不符合题意;C、菱形的对角线互相垂直,正确,本选项不符合题意;D、平行四边形的对角线互相平分,正确,本选项不符合题意;故选:A.【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.6.(3分)若x=2时,代数式ax4+bx2+5的值是3,则当x=﹣2时,代数式ax4+bx2+7的值为()A.﹣3B.3C.5D.7【分析】将x=2代入ax4+bx2+5=3得16a+4b=﹣2,据此将其代入x=﹣2时ax4+bx2+7=16a+4b+7中计算可得.【解答】解:将x=2代入ax4+bx2+5=3,得:16a+4b+5=3,则16a+4b=﹣2,所以当x=﹣2时,ax4+bx2+7=16a+4b+7=﹣2+7=5,故选:C.【点评】本题主要考查代数式求值,解题的关键是熟练掌握代数式的求值及整体代入思想的运用.7.(3分)已知0<α<45°,关于角α的三角函数的命题有:①0<sinα<,②cosα<sinα,③sin2α=2sinα,④0<tanα<1,其中是真命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据锐角函数的正弦是增函数,余弦是减函数,正切是增函数,可得答案.【解答】解:由0<α<45°,得0<sinα<,故①正确;cosα>sinα,故②错误;sin2α=2sinαcosα<2sinα,故③错误;0<tanα<1,故④正确;故选:B.【点评】本题考查了锐角函数的增减性,熟记锐角函数的正弦是增函数,余弦是减函数,正切是增函数是解题关键.8.(3分)如图所示,是反比例函数y=与y=在x轴上方的图象,点C是y轴正半轴上的一点,过点C作AB∥x轴分别交这两个图象于A点和B点,若点P在x轴上运动,则△ABP的面积等于()A.5B.4C.10D.20【分析】设点A(a,),可得点B坐标(﹣,),即可求△ABP的面积.【解答】解:设点A(a,)∵AB∥x轴∴点B纵坐标为,且点B在反比例函数y=图象上,∴点B坐标(﹣,)∴S△ABP=(a+)×=5故选:A.【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,设点A(a,),利用字母a表示AB的长度和线段AB上的高,是本题的关键.9.(3分)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,若AB=10,AE=2,则弦CD的长是()A.4B.6C.8D.10【分析】连接OC,根据题意得出OC=5,再由垂径定理知,点E是CD的中点,CE=CD,在直角△OCE中,由勾股定理得出CE,从而得出CD的长.【解答】解:连接OC,∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD,∴CE=DE=CD,在Rt△OCE中,OC2=OE2+CE2,∵AE=2,AB=10,∴OC=5,OE=3,∴CE=4,∴CD=8,故选:C.【点评】本题考查了垂径定理,掌握垂径定理的内容是解题的关键.10.(3分)如图所示为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象一部分,则以下正确的有:①b>2a;②ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1;③a﹣2b+c<0;④a+b+c=0;⑤8a+c>0,其中正确的有()A.①②B.②③C.②③④D.②③④⑤【分析】①由抛物线的对称轴为直线x=﹣1,可得出b=2a,结论①错误;②由抛物线的对称轴及抛物线与x轴一个交点的坐标,可求出另一交点坐标,进而可得出ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1,结论②正确;③由抛物线的开口方向及抛物线与y轴交点的位置可得出a>0,c<0,结合b=2a,即可得出a﹣2b+c=﹣3a+c<0,结论③正确;④由当x=1时y=0,可得出a+b+c=0,结论④正确;⑤由当x =2时y>0结合b=2a,可得出4a+2b+c=8a+c>0,结论⑤正确.综上即可得出结论.【解答】解:①∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣1,∴b=2a,结论①错误;②∵抛物线的对称轴为直线x=﹣1,抛物线与x轴一个交点的坐标为(1,0),∴抛物线与x轴另一交点的坐标为(﹣3,0),∴ax2+bx+c=0的两根分别为﹣3和1,结论②正确;③∵抛物线开口向上,与y轴交于负半轴,∴a>0,c<0,∴a﹣2b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c<0,结论③正确;④∵当x=1时,y=0,∴a+b+c=0,结论④正确;⑤∵当x=2时,y>0,∴4a+2b+c=8a+c>0,结论⑤正确.综上所述:正确的结论有②③④⑤.故选:D.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与x轴的交点,观察函数图象,逐一分析五个结论的正误是解题的关键.二、填空题:(每小题3分,10小题,共30分)11.(3分)在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则tan A=.【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长,再根据勾股定理求出另一直角边的长,运用三角函数的定义解答.【解答】解:由sin A=知,可设a=4x,则c=5x,b=3x.∴tan A=.故答案为:.【点评】本题考查了同角三角函数的关系.求锐角的三角函数值的方法:利用锐角三角函数的定义,通过设参数的方法求三角函数值,或者利用同角(或余角)的三角函数关系式求三角函数值.12.(3分)单项式﹣π2x2y的系数是﹣π2,次数是3.【分析】直接利用单项式的定义分析得出答案.【解答】解:单项式﹣π2x2y的系数是:﹣π2,次数是:3.故答案为:﹣π2,3.【点评】此题主要考查了单项式,正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键.13.(3分)若x2+2(m﹣3)x+16是完全平方式,则m的值等于7或﹣1.【分析】根据已知完全平方式得出2(m﹣3)x=±2•x•4,求出即可.【解答】解:∵x2+2(m﹣3)x+16是完全平方式,∴2(m﹣3)x=±2•x•4,解得:m=7或﹣1,故答案为:7或﹣1.【点评】本题考查了完全平方式,能熟记完全平方式的内容是解此题的关键,注意:完全平方式有两个:a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2.14.(3分)计算﹣2+7=37.【分析】直接化简二次根式进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案.【解答】解:﹣2+7=4﹣2+7×5=37.故答案为:37.【点评】此题主要考查了二次根式的加减运算,正确化简二次根式是解题关键.15.(3分)在反比例函数y=(x<0)中,函数值y随着x的增大而减小,则m的取值范围是m>1.【分析】根据反比例函数的性质,构建不等式即可解决问题.【解答】解:∵反比例函数y=(x<0)中,函数值y随着x的增大而减小,∴m﹣1>0,∴m>1,故答案为m>1.【点评】本题考查反比例函数的性质,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会用转化的思想思考问题,属于中考常考题型.16.(3分)一条抛物线,顶点坐标为(4,﹣2),且形状与抛物线y=x2+2相同,则它的函数表达式是y =±(x﹣4)2﹣2.【分析】直接利用抛物线形状相同,则|a|的值相等,进而结合函数顶点坐标得出答案.【解答】解:由题意可得:顶点坐标为(4,﹣2),且形状与抛物线y=x2+2相同,它的函数表达式是:y=±(x﹣4)2﹣2.故答案为:y=±(x﹣4)2﹣2.【点评】此题主要考查了二次函数的性质,正确得出a的值是解题关键.17.(3分)若(x+y)(x+2+y)=15,则x+y=﹣5或3.【分析】令x+y=a,将原等式变形为a2+2a﹣15=0,解此一元二次方程可得答案.【解答】解:令x+y=a,则a(a+2)=15,∴a2+2a﹣15=0,∴(a+5)(a﹣3)=0,则a+5=0或a﹣3=0,解得:a=﹣5或a=3,即x+y=﹣5或x+y=3,故答案为:﹣5或3.【点评】本题主要考查多项式乘多项式,解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则及换元思想的运用.18.(3分)如图,有两个矩形的纸片面积分别为26和9,其中有一部分重叠,剩余空白部分的面积分别为m和n(m>n),则m﹣n=17.【分析】设阴影部分面积为x,根据空白部分面积表示出两个矩形的面积,相减即可求出所求.【解答】解:设阴影部分面积为x,根据题意得:m+x=26,n+x=9,∴m﹣n=17,故答案为:17【点评】此题考查了整式的加减,熟练掌握运算法则是解本题的关键.19.(3分)如图,AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C,连接BC,若∠ABC=120°,OC=3,则弧BC的长为2π(结果保留π).【分析】根据切线的性质得到∠OBA=90°,求出∠OBC,根据三角形内角和定理求出∠BOC=120°,根据弧长公式计算即可.【解答】解:连接OB,∵AB与⊙O相切于点B,∴∠OBA=90°,∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=30°,∵OB=OC,∴∠C=∠B=30°,∴∠BOC=120°,∴弧BC的长==2π,故答案为:2π.【点评】本题考查的是切线的性质、弧长的计算,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长的计算公式是解题的关键.20.(3分)如图所示,扇形OMN的圆心角为45°,正方形A1B1C1A2的边长为2,顶点A1,A2在线段OM上,顶点B1在弧MN上,顶点C1在线段ON上,在边A2C1上取点B2,以A2B2为边长继续作正方形A2B2C2A3,使得点C2在线段ON上,点A3在线段OM上,……,依次规律,继续作正方形,则A2018M=2﹣..【分析】探究规律,利用规律即可解决问题;【解答】解:∵∠MON=45°,∴△C1B2C2为等腰直角三角形,∴C1B2=B2C2=A2B2.∵正方形A1B1C1A2的边长为2,∴OA3=AA3=A2B2=A2C1=1.OA1=4,OM=OB1==2同理,可得出:OA n=A n﹣1A n=A n﹣2A n﹣1=,∴OA2018=A2018A2017=,∴A2018M=2﹣.故答案为2﹣.【点评】本题考查规律型问题,解题的关键是学会探究规律的方法,学会利用规律解决问题,属于中考常考题型.三、解答题:(本题共7小题,总分60分.其中第21题6分,第22题8分,第23题8分,第24题9分,第25题9分,第26题10分,第27题10分.)21.(6分)计算:()﹣2+|﹣2|﹣+6cos30°+(π﹣3.14)0.【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则,绝对值的代数意义,以及特殊角的三角函数值计算即可求出值.【解答】解:原式=9+2﹣﹣2+6×+1=12.【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.22.(8分)如图,已知菱形ABCD的对称中心是坐标原点O,四个顶点都在坐标轴上,反比例函数y=(k ≠0)的图象与AD边交于E(﹣4,),F(m,2)两点.(1)求k,m的值;(2)写出函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围.【分析】(1)利用待定系数法即可解决问题;(2)根据函数图象,写出反比例函数的图象在菱形内部的自变量的取值范围即可;【解答】解:(1)∵点E(﹣4,)在y=上,∴k=﹣2,∴反比例函数的解析式为y=﹣,∵F(m,2)在y=上,∴m=﹣1.(2)函数y=图象在菱形ABCD内x的取值范围为:﹣4<x<﹣1或1<x<4.【点评】本题考查反比例函数图象上点的特征、菱形的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.23.(8分)如图,∠BAC=60°,AD平分∠BAC交⊙O于点D,连接OB、OC、BD、CD.求证:四边形OBDC是菱形.【分析】连接OD,证明△BOD和△COD都是等边三角形,得OB=BD=DC=OC,所以四边形OBDC 是菱形.【解答】证明:连接OD,∵∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,∵AD平分∠BAC交⊙O于点D,∴∠BAD=∠CAD,∴,∴∠BOD=∠COD=60°,∵OB=OD=OC,∴△BOD和△COD都是等边三角形,∴OB=BD=DC=OC,∴四边形OBDC是菱形.【点评】此题考查圆周角定理、角平分线的定义、等边三角形的判定、菱形的判定,关键是熟知有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形以及菱形的判定解答.24.(9分)已知关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2.(1)求k的取值范围;(2)若x1+x2=x1x2+2,求k的值.【分析】(1)根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0,即可得出关于k的一元一次不等式组,解之即可得出k的取值范围;(2)根据根与系数的关系结合x1+x2=x1x2+2,即可得出关于k的分式方程,解之经检验后即可得出k值.【解答】解:(1)∵关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根,∴,解得:k≤且k≠﹣1.(2)∵关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2.∴x1+x2=,x1x2=.∵x1+x2=x1x2+2,即=+2,解得:k=﹣4,经检验,k=﹣4是原分式方程的解,∴k=﹣4.【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的定义,解题的关键是:(1)牢记“当△≥0时,方程有两个实数根”;(2)根据根与系数的关系结合x1+x2=x1x2+2,找出关于k的分式方程.25.(9分)如图,Rt△APE,∠AEP=90°,以AB为直径的⊙,O交PE于C,且AC平分∠EAP.连接BC,PB:PC=1:2.(1)求证:PE是⊙O的切线;(2)已知⊙O的半径为,求AE的长.【分析】(1)连接OC,由AC平分∠EAP,得到∠DAC=∠OAC,由等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO,等量代换得到∠DAC=∠ACO,根据平行线的性质得到∠E=∠OCP=90°,于是得到结论;(2)设PB=x,PC=2x,根据勾股定理得到PC=,PB=,求得AP=,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解答】解:(1)连接OC,∵AC平分∠EAP,∴∠DAC=∠OAC,∵OA=OC,∴∠CAO=∠ACO,∴∠DAC=∠ACO,∴AE∥OC,∴∠E=∠OCP=90°,∴PE是⊙O的切线;(2)∵PB:PC=1:2,∴设PB=x,PC=2x,∵OC2+PC2=OP2,即()2+(2x)2=(+x)2,∴x=,∴PC=,PB=,∴AP=,∵OC∥AE,∴△PCO∽△PEA,∴,∴AE=4.【点评】本题考查了切线的判定,相似三角形的判定和性质,勾股定理,熟记切线的判定是解题的关键.26.(10分)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8m,BC=6m,点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动,同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动,当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动.(1)填空:在2或4秒时,△PCQ的面积为△ACB的面积的;(2)经过几秒,以P、C、Q为顶点的三角形与△ACB相似?(3)如图2,设CD为△ACB的中线,则在运动的过程中,PQ与CD有可能互相垂直吗?若有可能,求出运动的时间;若没有可能,请说明理由.【分析】(1)分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ=S△ABC列出方程求解;(2)设运动时间为ts,△PCQ与△ACB相似,当△PCQ与△ACB相似时,可知∠CPQ=∠A或∠CPQ =∠B,则有或,分别代入可得到关于t的方程,可求得t的值;(3)设运动时间为ys,PQ与CD互相垂直,根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三角形的性质得出∠ACD=∠A,∠BCD=∠B,再证明△PCQ∽△BCA,那么,依此列出比例式,解方程即可.【解答】解:(1)设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的,由题意得:PC=2xm,CQ=(6﹣x)m,则×2x(6﹣x)=××8×6,解得:x=2或x=4.故经过2秒或4秒,△PCQ的面积为△ACB的面积的;故答案为:2或4;(2)设运动时间为ts,△PCQ与△ACB相似.当△PCQ与△ACB相似时,则有或,所以,或,解得t=,或t=.因此,经过秒或秒,△OCQ与△ACB相似;(3)有可能.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8m,BC=6m,由勾股定理得AB==10.∵CD为△ACB的中线,∴∠ACD=∠A,∠BCD=∠B,又∵PQ⊥CD,∴∠CPQ=∠B,∴△PCQ∽△BCA,∴,,解得y=.因此,经过秒,PQ⊥CD.【点评】本题考查了一元二次方程的应用,相似三角形的判定与性质,三角形的面积,勾股定理,直角三角形、等腰三角形的性质,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,在(2)中体现了分类讨论的思想.27.(10分)如图,抛物线y=x2+2x﹣3的图象与x轴交于点A、B(A在B左侧),与y轴交于点C,点D 为抛物线的顶点.(1)求△ABC的面积;(2)P是对称轴左侧抛物线上一动点,以AP为斜边作等腰直角三角形,直角顶点M正好落在对称轴上,画出图形并求出P点坐标;(3)若抛物线上只有三个点到直线CD的距离为m,求m的值.【分析】(1)先求出点A,B,C坐标,最后用三角形的面积公式即可得出结论;(2)①当点P在第三象限时,先作出图形,再构造出全等三角形,设出点M的坐标,进而表示出点P 坐标,即可得出结论,当点P在第二象限时,同①的方法即可得出结论;(3)先判断出直线CD下方的抛物线上只有一个点到直线CD的距离为m,再求出直线CD解析式,进而求出直线EG的解析式,最后判断出△CFE∽△COH,即可得出结论.【解答】解:(1)针对于抛物线y=x2+2x﹣3,令x=0,则y=﹣3,∴C(0,﹣3),令y=0,则x2+2x﹣3=0,∴x=﹣3或x=1,∴A(﹣3,0),B(1,0),∴S△ABC=AB×|y C|=6;(2)如图,①点P在第三象限时,∵抛物线y=x2+2x﹣3的对称轴为直线x=﹣1,∴AQ=2过点P作PG⊥DM于G,∴∠PGM=∠MQA=90°,∴∠MPG+∠PMG=90°,∵∠AMP=90°,∴∠PMG+∠AMQ=90°,∴∠MPG=∠AMQ,在△PGM和△MQA中,,∴△PGM≌△MQA(AAS),∴MG=AQ=2,PG=QM,设M(﹣1,m)(m<0),∴QM=﹣m,∴PG=﹣m,QG=QM+MG=2﹣m,∴P(m﹣1,m﹣2),∵点P在抛物线y=x2+2x﹣3上,∴(m﹣1)2+2(m﹣1)﹣3=m﹣2,∴m﹣1=﹣2或m﹣1=1(舍),∴P(﹣2,﹣3).②当点P在第二象限时,同①的方法得,P(﹣4,5);(3)∵抛物线y=x2+2x﹣3=(x+1)2﹣4,∴D(﹣1,﹣4),∵C(0,﹣3),∴直线CD的解析式为y=x﹣3,如图1,作直线EG∥CD交y轴于E,交x轴于G,设直线EG的解析式为y=x+b①,∵抛物线上只有三个点到直线CD的距离为m,∴在直线CD下方的抛物线上只有一个点到直线CD的距离为m,即直线EG与抛物线y=x2+2x﹣3②只有一个交点,联立①②得,x2+2x﹣3=x+b,∴x2+x﹣3﹣b=0,∴△=1+4(b+3)=0,∴b=﹣,∴直线EG的解析式为y=x﹣,∴E(0,﹣),∴OE=,∵直线CD的解析式为y=x﹣3,∴H(3,0),∴OH=3,OC=3,∴CH=3,CE=﹣3=,直线过点E作EF⊥CD于F,∴∠CFE=∠COH,∵∠ECF=∠HCO,∴△CFE∽△COH,∴,∴,∴EF=,即:m=.【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了三角形的面积公式,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,利用方程的思想解决问题是解本题的关键.。