a a
b
b
a
r

F
b
× b F
(L)
d r 称为“力沿路径 L 的线积分” L m
(1)功是过程量； (2)功是标量（有正负）；
× a
Aab d A F d r
a a
b
b
直角坐标系： A 合力的功：

xb
xa
Fx dx Fy dy Fz dz
ya za
初位形（A）: m1----A1，m2----A2 末位形（B）: m1----B1，m2----B2
(B)
说明:
AAB 对
(A)

(B)
f 2 d r21
(或
(A)

f1 d r12 )
１.一对力的功等于其中一个质点受的力沿着它相对 于另一质点移动的路径所作的功。 ２.由于一对力的功只与“相对路径”有关，所以与 参考系的选取无关。
“合力对质点作的功等于质点动能的增量”
说明:
１．一个过程量=始末两个状态量之差。 ２．动能定理只适用于惯性系。
二 . 质点系的动能定理：
对第 i个质点：合外力的功 ── 合内力的功 ──
A外i A内i
A外i A内 i EK 2i EK1i
对质点系：
简记为
A
i
外i
A内i EK 2i EK1i
yb
zb
A (Fi ) dr
a i i
b
（瞬时）功率: 若在 t t + dt 内，力 F 的元功为 dA，
则 t 时刻的功率
F dr A
b a i i
i
d A F d r P F v dt dt
由动力机械驱动时，马达的输出功率是一定的，速度 小、力大，速度大、力小。 ---------“牛马关系”
例1. 重力的功 地面附近质量为 m 的物体从 a 到 b，求重力的功。
y
dr
b
Ap mg d r (mgj ).(d xi d yj )
mg d y mg ( ya yb )
ya
b
b
a o
mg
x
a y b
a
例2. 一人从10m深的井中提水，起始 时桶和水共重10kg，由于水桶漏水， 每升高1m要漏去0.2kg的水。求将水 桶匀速地从井中提到井口，人所作的 功。
f1 f 2 , r21 r2 r1
一对力的元功
r1
m1
d r1
A1
f1
r21
f2
d r2
m2
A2
r2
x
0
y
d A对 f1 d r1 f2 d r2 f2 (d r2 d r1 ) f 2 d(r2 r1 ) f 2 d r21
1 1 1 2 2 2 f r l MV mv mv0 2 2 2
将V代入， 可得
m V (v 0 v ) M
2 1 1 1 m 2 2 2 v0 v f r m v0 v l 2 2 M


讨论：1. 量纲对 2. 特例对（当 M 0时）
m V ( v 0 v ) （＞0） M
由动能定理： A外 + A内 = Ek2 - Ek1 现在外力的功为零； 内力的功 就是一对阻力的功， 我们以砂箱为参照系来计算这一对阻力的功：
设子弹受的平均阻力为 f r （即看作常数） ,
而子弹相对砂箱的位移即为l ，
1 1 1 2 2 2 所以， f r l MV mv mv0 2 2 2
爆炸力
4.2.2 势能和势能曲线
一对保守力的功只与系统的始末相对位形 有关, 说明系统存在一种只与相对位形有关的能 量。 一对保守力的功（过程量）都可以写成两 个状态量之差,这两个状态量称为系统的势能, 表示 E p A12 Ep1 Ep 2 Ep 2 Ep1 Δ Ep
ˆ ˆ ˆ y z （梯度算符） 算符 x x y z
则
d 1 2 fx kx kx dx2
蚂蚁在作功
附1. 一质量为2kg的物体，在变力 F 6ti 的作用下作直线运动，如果物体从静止开始运动， 求前两秒此力所作的功。
4.1.2 动能定理
一. 质点的动能定理 设合力为 F ，由牛II， 2 2 A12 F d r Ft d r
1 1
2 2
2
m
1 dv m at d r m vdt 1 1 dt v2 1 1 2 2 m vd v mv 2 mv1 E K 2 E K 1 2 2 v1
N
v1
一对正压力的功恒为零！
一对滑动摩擦力之功恒小于零！
ff
vv
讨论 一个物体在地面上滑行， 受摩擦 f 作用，经过距离 s 停了下来。
在地面系看：摩擦力 f 作负功，A = -f s 物体动能减少，动能转化为热能，温度升高。 在物体参考系看：摩擦力 f 不作功，A=0.
（矛盾？） f 到底作不作功？ 若 f 不作功，热能从何而来?
GmM Ep 万 dr 2 r r GmM GmM R r
R地
r R
h
Ep 万
GmM GmM GmM dr 2 r R r r GmM (r R) 令 r Rh 若 h<<R， Rr GmMh Ep 万 mgh 2 R
GM g 2 9.8x
（直接用冲量定理？） 【解】 由题给的条件，根据动量的规律， 可先求出子弹射出时砂箱的速度。 再根据能量的规律，由计算一对力的功 的办法，求出子弹受的平均阻力。
系统：砂箱和子弹 水平外力为零， 水平动量守恒， 设子弹射出时砂箱的速度为V，如图， 设V
v0 m
则有
M l
v x
MV mv mv0
3. 搞清它们与参考系的关系。 例如： 功的计算是否依赖参考系？ 如何理解重力势能属于“物体与地球”系统？ 某一惯性系中机械能守恒，是否在 其它惯性系也守恒？
4.1 动能定理
4.1.1 功和功率
功: 力和它所作用的质元（质点）的位移的点积。 对微小过程，可当成恒力、直线运动
Aab d A F d r
4.2 保守力与非保守力 势能
一对万有引力的功： 以 M为参考系的原点, 计算起来就非常方便， 只要算一个力的功 即可。 2 r2 GMm ˆ f r 2 r M
r1
r
1
ˆdr dr r
f m
dr
ˆ r
A12对 f d r
1
2

2
1
GMm ˆdr r 2 r
这个问题从一对摩擦力之功来分析就无矛盾:
v
f f
A
s s
B
地面系： A对 f s fs
物体系： A '对 f s f s
fs f s
A对 A '对
两者相等,而且都是负值。(动能转化为热能！)
例3. 在光滑水平面上停放一个砂箱，长度为 l， 质量为M。一质量为 m的子弹以水平初速 v0 穿透砂箱，射出时速度减为 v，方向仍为水平。 试求砂箱对子弹的平均阻力。
则
f保 x
Ep
x y z Ep Ep Ep ˆ ˆ ˆ） f保 （ x y z x y z
, f保 y
Ep
, f保 z
Ep
记作
grad E p E p
例 . 由弹性势能求弹性力。 1 2 E p弹 kx 已知 2
一对力的功,可认为一个质点静止,例如，重力做功
3.
AAB对 f 2 d r21 , d r21 0 (相对位置不变)，
A
B
例、一对静摩擦力的功是多大？
或 d r21 f2 时，A对 0
一对静摩擦力的功恒为零！
无论大物体怎么运动，这一对力 的功总是零，没有相对运动。
v
例、小物体下滑大物体后退，一对正压力的 功是多大？ N 不垂直于 v1 , AN 0 N 1 v2 2 N 不垂直于 v2，AN 0 v12
1 2
1



x2 kxi d xi k xd x x1

(1)
(2)
注意
1 1 2 2 kx1 kx2 2 2
(<0)
功的数值依赖于参考系的选择。
例如，上题中，在桌面参照系 f 作负功; 在小球参照系弹性力对小球 f 并不作功！
保守力的另一定义（重要性质）：一质点相对 于另一质点沿闭合路径运动一周时，它们之间 2 的保守力做的功必然是零。 L1 若 f 是保守力，必有 f dr f dr 0 L2 m L M 1 2 1 f dr f dr f dr

1 L1
2 L 2

1 L1

2
f dr
1 L2

2
f dr 0
常见的保守力: 万有引力 弹力
f kx（或位置的单值函数）
f mg（或恒力）
ˆ ( 或有心力） f f (r )r
重力
常见的非保守力（耗散力）： 摩擦力
4. 动能定理 功能原理
• • • • • • 4.1 动能定理 4.2 保守力和非保守力 势能 4.3 功能原理和机械能守恒 4.4 三种宇宙速度 4.5 能量守恒定律 4.6 质心 质心运动定理