课时跟踪训练（十） 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
一、 基础知识训练：
1．函数f (x )＝－2sin x ＋1，x ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π的值域是( ) A ．[1,3] B ．[－1,3] C ．[－3,1] D ．[－1,1]
解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦
⎤－π2，π，∴sin x ∈[－1,1]，∴－2sin x ＋1∈[－1,3]． 2．函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间是( )
A ．⎝⎛⎭⎫－π4，π4
B ．⎝⎛⎭⎫π4，3π4
C ．⎝⎛⎭⎫π，3π2
D ．⎝⎛⎭⎫3π2，2π
解析：选C 由y ＝|sin x |的图象，易得函数y ＝|sin x |的单调递增区间为⎝
⎛⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝1时，得⎝
⎛⎭⎫π，3π2为函数y ＝|sin x |的一个单调递增区间． 3．下列函数中，既为偶函数又在(0，π)上单调递增的是( )
A ．y ＝|cos x |
B ．y ＝cos|－x |
C ．y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫x －π2 D ．y ＝－sin x 2
解析：选C y ＝|cos x |在⎝⎛⎭
⎫0，π2上是减函数，排除A ； y ＝cos|－x |＝cos|x |在(0，π)上是减函数．排除B ；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＝－sin ⎝⎛⎭
⎫π2－x ＝－cos x 是偶函数，且在(0，π)上单调递增，符合题意；y ＝－sin x 2
在(0，π)上是单调递减的． 4．函数y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π2，x ∈R 在( ) A ．⎣⎡⎦
⎤－π2，π2上是增函数 B ．[0，π]上是减函数 C ．[－π，0]上是减函数 D ．[－π，π]上是减函数 解析：y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫x ＋π2＝cos x ，所以在区间[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数选B. 5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦
⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22 C ．22
D ．0 解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝－π4
时，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4有最小值－22
. 6．已知函数y ＝3cos(π－x )，则当x ＝________时，函数取得最大值．
解析：y ＝3cos(π－x )＝－3cos x ，当cos x ＝－1，即x ＝2k π＋π，k ∈Z 时，y 有最大值3.
7．y ＝sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，则y 的范围是________．
解析：由正弦函数图象，对于x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，当x ＝π2时，y max ＝1，当x ＝π6时，y min ＝12
，从而y ∈⎣⎡⎦⎤12，1.
8．函数y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦
⎤－π2，π上的单调递增区间为________． 解析：因为sin(x ＋π)＝－sin x ，所以要求y ＝sin(x ＋π)在⎣⎡⎦
⎤－π2，π上的单调递增区间，即求y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π上的单调递减区间，易知为⎣⎡⎦
⎤π2，π. 9．求下列函数的最大值和最小值．
(1)y ＝ 1－12
sin x ； (2)y ＝3＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧
1－12sin x ≥0，
－1≤sin x ≤1，
∴－1≤sin x ≤1. ∴当sin x ＝－1时，y max ＝62；当sin x ＝1时，y min ＝22. (2)∵－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1，∴当cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时，y max ＝5； 当cos ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y min ＝1. 10．比较下列各组数的大小．
(1)sin 10π17与sin 11π17； (2)cos 5π3与cos 16π9
. 解：(1)∵函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，且π2＜10π17＜11π17＜π，∴sin 10π17＞sin 11π17. (2)cos 5π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－π3＝cos π3，cos 16π9＝cos ⎝⎛⎭⎫2π－2π9＝cos 2π9
. ∵函数y ＝cos x 在[0，π]上单调递减， 且0＜2π9＜π3＜π，∴cos π3<cos 2π9，∴cos 5π3<cos 16π9
. 二、能力提高训练：
1．函数y ＝|sin x |＋sin x 的值域为( )
A ．[－1,1]
B ．[－2,2]
C ．[－2,0]
D ．[0,2]
解析：选D ∵y ＝|sin x |＋sin x ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2sin x ，sin x ≥0，
0， sin x ＜0. 又∵－1≤sin x ≤1，∴y ∈[0,2]，即函数的值域为[0,2]．
2．函数y ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的周期为π，则其单调递增区间为( ) A ．⎣⎡⎦⎤k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z) B ．⎣
⎡⎦⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z) C ．⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z) D ．⎣
⎡⎦⎤2k π－3π8，2k π＋π8(k ∈Z) 解析：选C 周期T ＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π2
，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8
，k ∈Z. 3．下列关系式中正确的是( )
A ．sin 11°＜cos 10°＜sin 168°
B ．sin 168°＜sin 11°＜cos 10°
C ．sin 11°＜sin 168°＜cos 10°
D ．sin 168°＜cos 10°＜sin 11°
解析：选C sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，cos 10°＝cos(90°－80°)＝sin 80°.因为正弦函数y ＝sin x 在区间[0,90°]上为增函数，所以sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°.
4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－x －cos ⎝⎛⎭
⎫π6＋x (x ∈R)的最小值等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．－5
解析：选C ∵⎝⎛⎭⎫π3－x ＋⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝π2，∴y ＝2sin ⎣⎡⎦
⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6＋x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭
⎫x ＋π6，∴y min ＝－1. 5．函数值sin 3π5，sin 4π5，sin 9π10
从大到小的顺序为________(用“＞”连接)． 解析：∵π2＜3π5＜4π5＜9π10＜π，又函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π2，π上单调递减，∴sin 3π5＞sin 4π5＞sin 9π10
. 6．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．
解析：∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
∴只有－π＜a ≤0时满足条件，故a ∈(－π，0]．
7．设函数f (x )＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值，并求出取最值时x 的值． 解：(1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2
(k ∈Z)， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8
(k ∈Z)，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)． (2)令t ＝2x －π4，则由π8≤x ≤3π4可得0≤t ≤5π4，∴当t ＝5π4，即x ＝3π4时，y min ＝2×⎝⎛⎭⎫－22＝－1，∴当t ＝π2，即x ＝3π8
时，y max ＝2×1＝ 2. 8．已知函数f (x )＝2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋b 的定义域是⎣⎡⎦
⎤0，π2，值域是[－5,1]，求a ，b 的值． 解：∵0≤x ≤π2
， ∴π6≤2x ＋π6≤7π6
， ∴－12
≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1. 当a >0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝－5.
当a <0时，⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1，3a ＋b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－2，
b ＝1.
因此a ＝2，b ＝－5或a ＝－2，b ＝1.。