导学案：微积分基本定理
学习目标
1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分.
2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法.
教学重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分.
教学难点：了解微积分基本定理的含义.
一、自主学习：
1.定积分的定义：，
2.定积分记号： _____________________________________________
思想与步骤_________________________________________
几何意义. __________________________________________
'(x2+i)rfx= r(公)吹=
3.用微积分基本定理求定积分j
(
二、新知探究
新知1:微积分基本定理：
背景：我们讲过用定积分定义计算定积分，但如果要计算么，其计算过程比较复杂，所以不是Jo Jl X
求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较一般的方法。

探究问题1：变速直线运动中位置函数S(t)与速度函数v(t)之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为s(t),速度为v(t) ( v(r)>^),
则物体在时间间隔［T^T2］内经过的路程记为S ,则
一方面：用速度函数v(t)在时间间隔(7；,7；］求积分，可把路程S = S=V 另一方面：通过位置函数S (t)在［7；,%］的图像看这段路程S还可以表示为S(7；) — S(&)
探究问题2：
位置函数S (t)与某一时刻速度函数v (t)之间的关系式为
S'Q) = v(z)
上述两个方面中所得的路程S可表达为
)
\\(t)dt = S = S^)-S(T
2
上面的过程给了我们启示
上式给我们的启示：我们找到了用/3)的原函数(即满足F\x) = /(x))的数值差F(b) — F0)来计算/(%)在［a.b］上的定积分的方法。

定理如果函数F(x)是上的连续函数/3)的任意一个原函数，则
该式称之为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式。

它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一•种有效方法。

f(x) = J 2x
()<X<1 \<x<2 求 £ f{x)dx =
新知2：用定积分几何意义求下列各式定积分:
新知3:用定积分求平面图形的面积
1、 计算函数y = x+l 在区间［0,1］的积分
2、 计算函数y = x 2+l 在区间［0,1］的积分
3、 求y = %4-1与y = J+］在区间［0,1］围成的图形的面积
在 通过此题的计算你发现了什么？ 规律总结：
例1. 计算下列定积分: ，［x 2dx = ，2-dx = 3 1 (2x — )dx 1 例2. 5TT 口 结合前面所学求下列积分: 1) (ex) = c cdx = 43 一/ = c 、, . * 3) (sin -Y ) = cos x —- / cos xdx = 4) (cos -v) = — sin -Y — I siii-vcZv = r b 1 7 —♦ I — dx = a x b -/ e x dx = ♦ } & • b dx = a 7) (A *)' =n x Ina — 计算下列3个定积分： c7T 「2兀 sin xdx, sin xdx, Jo J TT 由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的面积解释所发现的结论。

例2. ,2勿 sinxdx
o
※当堂检测 1. r5
J 。

(2x-4)dfx = Bo 4 Co 3 Do 2 2. 若(2x + —)dx = 3 + In 2 , X A. 6 则a 的值为 3. f 疽-40 = 21 A.— 3 B. 22 T 4. 5. 6、 Bo 4 Co 3 Do C- 23 T D.芝 3 已知自由落体运动的速率v=gt, A & 3 B. 则落体运动从t=0到t=to 所走的路程为 D.就 6 曲线y = x 2与直线y = x + 2所围成的图形（阴影部分） 提晨j 篇：如阴影部分的面积是 的面积等于 A. 2^/3 C.控 3
B. 9-2^3 八35 D.——。