《1・4・2微积分基本定理》导学案5
【课标转述】
通过实例，直观了解微积分基本定理的含义。

【学习目标】
1、通过实例，直观了解微积分基本定理的含义，会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分
2、通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
【学习过程】
一、复习：
定积分的概念：
用定义计算定积分方法步骤：
二、新课探究：
我们讲过用定积分定义计算定积分，但其计算过程比较复杂，所以不是求定积分的一般方法。

我们必须寻求计算定积分的新方法，也是比较-•般的方法。

变速直线运动中位置函数与速度函数之I、可的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻t时物体所在位置为s(t),速度为V(t)(v(r)><?),
则物体在时间间隔「丁T 1内经过的路程可用速度函数表示为小 o
另一方而，这段路程还可以通过位置函数S(t)在百込］上的增S-5(7；)-5(7；)来表达，即
|%a)d「s(G-s(7；)
而S'(r) = v(r)。

对于一般函数芦(兀),设尸3 =加'是否也有
fb
I f(x)dx = F(b) — F(ci)
J a
若上式成立，我们就找到了用f(力的原函数(即满足^，(劝二广(兀))的数值差
F(b) —F(G)来计算/(x)在［a,b］上的定积分的方法。

注：1、定理如果函数F(X)是⑺小］上的连续函数f(劝的任意一个原函数，则f(x)dx = F(b) — F(a)
2、为了方便起见,还常用尸(兀)『表示F(b)_F(a)，即
b >
f(x)dx = F(x)^=F(b)-F(a)
该式称之为微积分基本公式或牛顿一莱布尼兹公式。

它指出了求连续函数定积分的一般方法，把求定积分的问题，转化成求原函数的问题，是微分学与积分学之间联系的桥梁。

它不仅揭示了导数和定积分Z间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。

因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。

例1 •计算下列定积分：
⑵『(2—加
J1 X
解：(1)
(2)
例2.计算下列定积分：
J。

sin AZ Z X J sin AZ Z T, J()sin xdx
由计算结果你能发现什么结论？试利用曲边梯形的血积表示所发现的结论。

解：
可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0:
(1 )当对应的曲边梯形位于x轴上方时(图1 ),定积分的值取正值，且等于曲边梯
形的面积;
2、计算
尸sin x
O
兀\ /lit x
-1 ■ 图1
(2)当对应的曲边梯形位于x 轴下方时(图2),定积分的值取负值，且等于曲边梯形 的血积的相反数；
(3)当位于x 轴上方的曲边梯形而积等于位于x 轴下方的曲边梯形面积时，定积分 的值为0(图
3)，且等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.
例3.汽车以每小时32公里速度行驶，需要减速停车。

设汽车以等减速度°二1.8米/秒彳 刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？
【布置作业】
1:计算fm
Jo
3. 计算f 2^ z \・
J (cosx + l"x 儿 1 “y=sinx
[(X - 兀+。