➢解题步骤
是特征方程的重根 k=2
设特解 写出f(x)，明确和m 写出特征方程，确定k
求特解 代入方程，比较系数 列出等式，求出系数
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例1
的一个特解.
解: f ( x ) 3 x 1 , 0 , m 1
对应的齐次方程的特征方程：
不是特征方程的根 . 设所求特解为
f ( x) e x Pl ( x) cos x Pn ( x) sin x
,ω为实数 , Pl ( x) Pn ( x) 分别为l、n次多项式 .
=0 f ( x ) Pl ( x ) cos x Pn ( x) sin x
➢特解形式
y
xke x
R(1) m
(
x
)
cos
x
Rm(2) ( x ) sin
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常系数非齐次线性微分方程
一、 f ( x ) e x Pm ( x ) 型 二、 f ( x ) e x [ Pl ( x ) cos x Pn ( x) sin x]型 三、高阶线性微分方程的物理应用举例
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第七讲 常系数非齐次线性微分方程
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➢思路 二阶常系数线性非齐次微分方程 :
y p y q y f (x) ( p, q 为常数)
通解: y Y y * 解的结构定理
齐次方程通解 非齐次方程特解 ➢关键 求出非齐次方程的特解 ➢方法 待定系数法
3b 4 c 0
a
1 3
,
d
4 9
3c 0
bc0
3d 4a 0
方程的特解
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例5 求方程 y 9 y 18cos 3x 30sin 3x 的通解.
解: 对应的齐次方程的特征方程：r 2 9 0,
特征根
对应齐次方程的通解
f ( x) 18 cos 3 x 30 sin 3 x 0, 3, m 0
根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解 的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 .
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常系数非齐次线性微分方程
一、 f ( x ) e x Pm ( x ) 型 二、 f ( x ) e x [ Pl ( x ) cos x Pn ( x) sin x]型 三、高阶线性微分方程的物理应用举例
例4
的一个特解 .
解: f ( x ) x cos 2 x 0, 2, m 1
对应的齐次方程的特征方程：r 2 1 0
不是特征方程的根, 设特解
代入方程得
(3a x 3b 4 c) cos 2x (3c x 3d 4 a)sin 2x x cos 2x
比较系数 , 得
3a 1
代入方程得: 比较系数, 得
b0
1 ,
b1
1 3
所求特解为
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例2 求方程 y 5 y 6 y x e2 x的通解.
解: 对应的齐次方程的特征方程：r 2 5 r 6 0 ,
特征根
对应齐次方程的通解：
f ( x) xe2 x , 2, m 1 2 是特征方程的单根
为特征方程的单根 , 设非齐次方程特解
代入方程: 6b cos 3x 6a sin 3x
比较系数, 得
因此特解为 y* x ( 5 cos 3x 3sin 3x )
所求通解为
x (5cos 3x 3sin 3x )
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例6 求下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:
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常系数非齐次线性微分方程
一、 f ( x ) e x Pm ( x ) 型 二、 f ( x ) e x [ Pl ( x ) cos x Pn ( x) sin x]型 三、高阶线性微分方程的物理应用举例
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由初始条件得
C2
2C3
1 2
CC21
1
3 4
C3
1 4
于是所求解为
y 3 ex 1 e2x 1 x
4
4
2
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常系数非齐次线性微分方程
一、 f ( x ) e x Pm ( x ) 型 二、 f ( x ) e x [ Pl ( x ) cos x Pn ( x) sin x]型 三、高阶线性微分方程的物理应用举例
设非齐次方程特解为y* x ( b0 x b1 ) e2 x
代入方程得 2 b0 x b1 2 b0 x
比较系数, 得
b0
1 2
,
b1
1
特解为 y*
x(
1 2
x
1)e2x
.
所求通解为
(
1 2
x2
x )e2x
.
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性微分方程工科类
例3
求解定解问题
y y(0)
3
y 2 y(0)
y
1 y(0)
0
解: 对应的齐次方程的特征方：
特征根
对应齐次方程通解 Y C1 C 2 e x C 3 e2 x
f ( x ) 1, 0, m 0 0 是特征方程的单根
设非齐次方程特解为
代入方程得
故
原方程通解为
y C1 C 2e x C 3e 2 x
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f ( x ) e x Pm ( x ) 为实数 , Pm (x)为 m 次多项式 .
=0 f ( x ) Pm ( x )
多项式函数
m =0 f ( x ) Ae x
指数函数
其它 f ( x ) e x Pm ( x )
指数函数与多项式函数乘积
➢特解形式
不是特征方程的根 k=0
y x kQm ( x )e x 是特征方程的单根 k=1
x
R(1) m
(
x ),
Rm(2) (
x)
为m次多项式
m max{l, n}
+iω 不是特征方程的根 k=0
+iω 是特征方程的根
k=1
➢解题步骤
设特解 写出f(x)，明确、ω和m 写出特征方程，确定k
求特解 代入方程，比较系数 列出等式，求出系数
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