高三 数学（理科）命题校：65中 2013年12月本试卷共 10 页， 150 分，考试用长 120 分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

选出符合题目要求的一项填在机读卡上。

1. 已知集合{}30R <<∈=x x A ，{}4R 2≥∈=x x B ，则=B A ( ) （A ）{}32<<x x （B ）{}32<≤x x （C ）{}322<≤-≤x x x 或 （D ） R 2. 在复平面内，复数i(i 1)-对应的点在( )（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3. 等差数列}{n a 中，42a =，则7S 等于( ) （A ）28（B ）14（C ）3.5（D ）74. 已知α，β为不重合的两个平面，直线α⊂m ，那么“β⊥m ”是“βα⊥”的( ) （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5. 若向量a ，b 满足1=a ，2=b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为( )（A ）2π （B ）23π （C ）34π （D ）56π 6. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A ）8（B ）83 （C ）4（D ）437.与直线40x y 和圆22220x y x y 都相切的半径最小的圆的方程是( )（A ） 22(1)(1)2x y （B ）22(1)(1)4x y （C ）22(1)(1)2xy （D ）22(1)(1)4x y8. 已知函数)(x f 的定义域为R ，若存在常数0>m ，对任意x ∈R ，有|()|||f x m x <，则称)(x f 为F 函数．给出下列函数：①2)(x x f =；②x x x f cos sin )(+=；③1)(2++=x x xx f ；④)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足对一切实数21,x x 均有 21212)()(x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为 ( )（A ）①② （B ）①③ （C ）②④ （D ）③④第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 命题“000(0,),tan sin 2x x x π∃∈>”的否定是 .10. 过双曲线221916x y 的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是 .(结果写成一般式)11. 若实数,x y 满足条件10,2,1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则2x y +的最大值为_____.12. 设0.51()2a =，0.50.3b =，0.3log 0.2c =，则,,a b c 的大小关系是_____.（从小到大用“<”连接）13. 曲线3y x =与直线1x =及x 轴所围成的图形的面积为 ．14. 无穷等差数列}{n a 的各项均为整数，首项为1a 、公差为d ，n S 是其前n 项和，3、21、15是其中的三项，给出下列命题；①对任意满足条件的d ，存在1a ，使得99一定是数列}{n a 中的一项； ②对任意满足条件的d ，存在1a ，使得30一定是数列}{n a 中的一项；③存在满足条件的数列}{n a ，使得对任意的n ∈N *，n n S S 42=成立。

其中正确命题为 。

（写出所有正确命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（本小题满分13分）已知函数()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><（Ⅰ）求,ωϕ的值；C BO AP（Ⅱ）设()()()4g x f x f x π=-，求函数()g x 的单调递增区间.16．（本小题满分13分）设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且54cos =B ,2=b . （Ⅰ）当35=a 时，求角A 的度数； （Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值.17．（本小题满分13分）在三棱锥P ABC -中，PAC ∆和PBC ∆的等边三角形，2AB =，O 是AB 中点．（Ⅰ）在棱PA 上求一点M ，使得OM ∥平面PBC ； （Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ； （Ⅲ）求二面角P BC A --的余弦值．18．（本小题满分13分）已知数列}{n a 是等差数列,22 , 1063==a a ，数列}{n b 的前n 项和是n T ，且131=+n n b T .（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）求证：数列}{n b 是等比数列； （Ⅲ）记n n n b a c ⋅=，求证：n n c c <+1.19．（本小题满分14分）已知函数22()ln (0)a f x a x x a x=++≠． （Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=垂直，求实数a 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅲ）当(,0)a ∈-∞时，记函数()f x 的最小值为()g a ，求证：21()e 2g a ≤． 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>经过点3(1,),2M 其离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设直线1:(||)2l y kx m k =+≤与椭圆C 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中顶点P 在椭圆C 上，O 为坐标原点.求OP 的取值范围.东城区普通校2013-2014学年第一学期联考答案高三数学（理科）参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一.选择题二、填空题9. (0,),tan sin 2x x x π∀∈≤ 10. 43200x y 11. 412. b a c << 13.1414. ①③（答对1个给2分，有错误答案不给分）三、解答题15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由图可知πππ=-=)42(4T ,22==Tπω， -------------2分又由1)2(=πf 得，1)sin(=+ϕπ，又(0)1f =-，得sin 1ϕ=-πϕ<||2πϕ-=∴， ------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知：x x x f 2cos )22sin()(-=-=π------------6分因为()(cos 2)[cos(2)]cos 2sin 22g x x x x x π=---=1sin 42x =------------9分 所以，24222k x k ππππ-≤≤+，即(Z)2828k k x k ππππ-≤≤+∈ ----------12分 故函数()g x 的单调增区间为[,] (Z)2828k k k ππππ-+∈.----------13分16. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . ---------------2分 因为35=a ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =可得21sin =A . -------------4分 因为b a <，所以A 是锐角，所以o 30=A . ---------------6分（Ⅱ）因为ABC ∆的面积ac B ac S 103sin 21==， ------------------7分 所以当ac 最大时，ABC ∆的面积最大.因为B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 58422-+=. -----------------9分 因为222a c ac +≥，所以8245ac ac -≤， ----------------11分所以10≤ac ，（当a c == -----------------12分 所以ABC ∆面积的最大值为3. ---------------13分17.（本小题满分13分）（Ⅰ）当M 为棱PA 中点时，OM ∥平面PBC . --------------------1分证明如下：,M O 分别为,PA AB 中点，∴OM ∥PB --------------------2分又PB ⊂平面PBC ，OM ⊄平面PBCOM ∴∥平面PBC . --------------------4分（Ⅱ）连结OC ，OPAC CB ==O 为AB 中点，2AB =,OC ∴⊥AB ，1OC =. --------------------5分y同理, PO ⊥AB，1PO =. --------------------6分 又PC =2222PC OC PO ∴=+=, 90POC∴∠=.PO ∴⊥OC . --------------------7分PO ⊥OC ,PO ⊥AB ,AB OC O ⋂=,PO ∴⊥平面ABC . --------------------8分PO ⊂平面PAB∴平面PAB ⊥平面ABC . --------------------9分（Ⅲ）如图,建立空间直角坐标系O xyz -.则(1,0,0)B ，(0,1,0)C ，(0,0,1)P ，(1,1,0)BC ∴=-，(1,0,1)PB =- .由（Ⅱ）知(0,0,1)OP =是平面ABC 的一个法向量. ----------11分 设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0000BC x y x z PB ⎧⋅=-+=⎧⎪⇒⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎩n n .令1z =，则1,1x y ==，∴平面PBC 的一个法向量(1,1,1)=n . --------------------12分cos ,3||||OP OP OP ⋅∴<>===⋅n n n . 二面角PBC A --的平面角为锐角，∴所求二面角P BC A -- --------------------13分18.（本小题满分13分）解：（1）由已知⎩⎨⎧=+=+.225,10211d a d a ----------2分解得 .4,21==d a ----------3分.244)1(2-=⨯-+=∴n n a n-----------4分（2）由于n n b T 311-=， ① 令n =1，得.31111b b -= 解得431=b ， -----------5分当2≥n 时，11311---=n n b T ②① －②得n n n b b b 31311-=- ， --------------------6分141-=∴n n b b --------------------7分又0431≠=b , .411=∴-n n b b --------------------8分∴数列}{n b 是以43为首项，41为公比的等比数列 --------------------9分 （3）由（2）可得.43n n b =--------------------10分n n n n n b a c 4)24(3-=⋅=--------------------11分.436304)24(34]2)1(4[3111+++-=---+=-n n n n n nn n c c--------------------12分 1≥n ，故.01<-+n n c c .1n n c c <∴+--------------------13分19. （本小题满分14分）解：（I ）()f x 的定义域为{|0}x x >. --------------------1分()()22210a a f x x x x '=-+>. --------------------2分根据题意，有()12f '=-，所以2230a a --=， --------------------3分解得1a =-或32a =. --------------------4分 （II ）()()22222222()(2)10a a x ax a x a x a f x x x x x x +--+'=-+==>.-------------5分（1）当0a >时，因为0x >，由()0f x '>得()(2)0x a x a -+>，解得x a >； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得0x a <<.所以函数()f x 在(),a +∞上单调递增，在()0,a 上单调递减. ----------------7分 （2）当0a <时，因为0x >，由()0f x '>得 ()(2)0x a x a -+>，解得2x a >-； 由()0f x '<得()(2)0x a x a -+<，解得02x a <<-.所以函数()f x 在()0,2a -上单调递减，在()2,a -+∞上单调递增. --------9分（III ）由（Ⅱ）知，当(,0)a ∈-∞时，函数()f x 的最小值为()g a ，且22()(2)ln(2)2ln(2)32a g a f a a a a a a a a=-=-+-=--- 2)2ln(322)2ln()(--=---⋅+-='a aa a a g ， --------10分 令()0g a '=，得21e 2a =-. 当a 变化时，()g a '，()g a 的变化情况如下表：----------------12分21e 2-是()g a 在(,0)-∞上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是()g a 的最大值点.所以()22221111(e )e ln[2(e )]3(e )2222最大值g a g =-=--⨯---2222131e ln e e e 222=-+=.----------------13分 所以，当(,0)a ∈-∞时，21()e 2g a ≤成立. ----------------14分20．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知可得222214a b e a -==，所以2234a b = ① --------------1分 又点3(1,)2M 在椭圆C 上，所以221914a b+= ② ------------2分 由①②解之，得224,3a b ==.故椭圆C 的方程为22143x y +=. ------------5分 (Ⅱ) 由22,1.43y kx m x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 化简整理得：222(34)84120k x kmx m +++-=，222222644(34)(412)48(34)0k m k m k m ∆=-+-=+-> ③ -----------8分 设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、，则 012012122286,()23434km mx x x y y y k x x m k k=+=-=+=++=++. -------9分 由于点P 在椭圆C 上，所以 2200143x y +=. -------10分 从而222222216121(34)(34)k m m k k +=++， 化简得22434m k =+，经检验满足③式. -------11分又||OP ===== -------12分因为12k ≤，得23434k <+≤，有2331443k ≤<+，OP ≤≤. 即所求OP的取值范围是2. -------14分 (Ⅱ)另解：设,,A B P 点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、、， 由,A B 在椭圆上，可得2211222234123412x y x y ⎧+=⎨+=⎩①② -------6分 ①—②整理得121212123()()4()()0x x x x y y y y -++-+=③ -------7分由已知可得OP OA OB =+，所以120120x x x y y y +=⎧⎨+=⎩④⑤ -------8分由已知当1212y y k x x -=- ,即1212()y y k x x -=- ⑥ -------9分把④⑤⑥代入③整理得0034x ky =- -------10分与22003412x y +=联立消0x 整理得202943y k =+ -------11分由22003412x y +=得2200443x y =-， 所以222222000002413||4443343OP x y y y y k =+=-+=-=-+ -------12分 因为12k ≤，得23434k ≤+≤，有2331443k ≤≤+，OP ≤分 所求OP的取值范围是. -------14分。