1. 已知离散时间系统的差分方程为：2y(n) - y(n-1) - 3y(n-2)=2x(n) - x(n-1)x(n)= 0.5nu(n) , y(-1)=1,y(-2)=3 , 试用filter 函数求系统的零输入响应、零状态响应和全响应.解：将差分方程Z 变换得：12112()[()(1)]3[()(1)(2)]2()[()(1)]Y z z Y z y z Y z z y y X z z X z x -----+--+-+-=-+- (1)依题意有：x(-1)=0,x(-2)=0,y(-1)=1,y(-2)=3 ,X(z)=1110.50.5z z z -=-- 将上式变形如下： 1211(23)()[(1)3(1)3(2)](2)()z z Y z y z y y z X z --------+-+-=- ………..(2) 1211(23)()(2)()[(1)3(1)3(2)]z z Y z z X z y z y y ------=-+-+-+-1211(23)()(2)()[103]z z Y z z X z z ------=-++ (3)易得系统函数为H(z)= 12122222323z z z z z z z -----=---- ① 零输入时零输入时，x(n)=0,差分方程右边为0，z 变换后应为121(23)()103z z Y z z-----=+ 112103()23z Y z z z ---+=-- =2210323z z z z +-- =71835152z z z z ++- 将Y(z)进行Z 反变换，得到其零输入响应为： y(n)= 7183[(1)()]()552n n u n -+ ② 零状态时零状态时，将y(-1)=0,y(-2)=0代入上面的式（2）中，得Y(z)= 112223z z z ------X(z)= 112223z z z ------1110.5z --=22223z z z --=233 5152 z z z z++-将其Z反变换，得到零状态响应为：y(n)=233 [(1)()]() 552n n u n -+③全响应与上面同理，y(-1)=1,y(-2)=3 将上面式(3)变形得：Y(z)=2212323z zz z+--=92135152z zz z++-Z反变换得全响应为Y(n)=921[]()35152z zu n z z++-程序代码：%第二章Z变换第2.12题程序clear all;close all;num=[2 -1 0]; %系统函数分子的系数den=[2 -1 -3]; %系统函数分母的系数n=0:50;nl=length(n);%求零输入响应y01=[1 3]; %y的初始状态x01=[0 0]; %x 的初始状态x1=zeros(1,nl);zi1=filtic(num,den,y01,x01); %为filter函数准备初始值y1=filter(num,den,x1,zi1); %求零输入响应subplot(311);stem(n,y1,'r.');title('零输入响应');grid on;%求零状态响应y02=[0 0];x02=[0 0];x2=0.5.^n;zi2=filtic(num,den,y02,x02);y2=filter(num,den,x2,zi2);subplot(312);stem(n,y2,'r.');title('零状态响应');grid on;%求全响应y03=[1 3];x03=[0 0];x3=0.5.^n;zi3=filtic(num,den,y03,x03);y3=filter(num,den,x1,zi3);subplot(313);stem(n,y3,'r.');title('全响应');grid on;运行结果如下：2. 已知离散系统的系统函数分别为(1) 2321()21z z H z z --=- (2) 31()1z H z z +=- (3) 2322()2241z H z z z z +=+-+ (4) 332()0.20.30.4z H z z z z =+++ 试用MATLAB 实现下列分析过程：① 求出系统的零极点位置；② 绘出系统的零极点图，根据零极点图判断系统的稳定性；③ 绘出系统单位响应的时域波形，并分析系统稳定性与系统单位响应时域特性的关系。

解：程序代码如下：%%第二章Z变换第2.13题程序clear all;close all;%题(1)a1=[2 0 0 -1]; %系统函数分母的系数b1=[0 2 -2 -1]; %系统函数分子的系数p1=roots(a1), %求极点pa1=abs(p1), %求极点到坐标原点的距离，看它是否大于1,若有一个大于1, %则系统不稳定；若所有的都小于1，则系统稳定q1=roots(b1), %求零点h1=impz(b1,a1); %求单位响应subplot(421);zplane(b1,a1);%画零极点图title('(1)的零极点图');subplot(425);stem(h1,'.'); %单位响应的时域波形grid on;title('(1)的单位响应的时域波形');%题(2)a2=[3 0 0 -1];b2=[0 0 1 1];p2=roots(a2),pa2=abs(p2),q2=roots(b2),h2=impz(b2,a2);subplot(422);zplane(b1,a1);title('(2)的零极点图');subplot(426);stem(h2,'.');grid on;title('(2)的单位响应的时域波形');%题(3)a3=[1 2 -4 1];b3=[0 1 0 2];p3=roots(a3),pa3=abs(p3),q3=roots(b1),h3=impz(b3,a3);subplot(423);zplane(b3,a3);title('(3)的零极点图');subplot(427);stem(h3,'.');grid on;title('(3)的单位响应的时域波形');%题(4)a4=[1 0 0 0];b4=[1 0.2 0.3 0.4];p4=roots(a4),pa4=abs(p4),q4=roots(b4),h4=impz(b4,a4);subplot(424);zplane(b1,a1);title('(1)的零极点图');subplot(428);stem(h4,'.');grid on;title('(1)的单位响应的时域波形');运行结果如下：3. 已知描述离散系统的差分方程为：y(n) - y(n-1) - y(n-2)=4x(n) - x(n-1) - x(n-2)试用MATLAB绘出系统的零极点分布图，并绘出系统的幅频和相频特性曲线，分析该系统的作用解：程序代码如下：clear all;close all;num=[4,-1,-1];den=[1 -1 -1];[H,w]=freqz(num,den);subplot(311);zplane(num,den);subplot(312);plot(w/pi,abs(H));grid on;title('幅频响应曲线')subplot(313);plot(w/pi,angle(H));title('相频响应曲线');grid on;运行结果如下：4. 已知因果（单边）离散序列的Z 变换分别如下所示，试用MATLAB 求出其Z 反变换(1) 221()2z z F z z z ++=+- (2) 23221()12z z F z z z z-+=++(3) 2()F z = (4) 3243221()32321z z z F z z z z z +++=++++解：程序代码如下：clear all;close all;F1=sym('(z^2+z+1)/(z^2+z-2)');f1=iztrans(F1),F2=sym('(2*z^2-z+1)/(z^3+z^2+z/2)');f2=iztrans(F2),F3=sym('(z^2)/(z^2+sqrtm(2)*z+1)');f3=iztrans(F3),F4=sym('(z^3+2*z^2+z+1)/(3*z^4+2*z^3+3*z^2+2*z+1)');f4=iztrans(F4)运行结果如下：f1 =(-2)^n/2 - kroneckerDelta(n, 0)/2 + 1δ注：kroneckerDelta(n, 0)=()nf2 =2*kroneckerDelta(n - 1, 0) - 6*kroneckerDelta(n, 0) + 3*(-1)^n*2^(1 - n)*i*(i + 1)^(n - 1) - 3*(-1)^n*2^(1 - n)*i*(1 - i)^(n - 1)f3 =2*(-1)^n*cos(n*acos(sqrtm(2)/2)) + ((-1)^n*(sqrtm(2)/2 + (sqrtm(2)^2/4 - 1)^(1/2))^(n - 1))/(2*(sqrtm(2)^2/4 - 1)^(1/2)) - ((-1)^n*(sqrtm(2)/2 - (1/4*sqrtm(2)^2 - 1)^(1/2))^(n - 1))/(2*(sqrtm(2)^2/4 - 1)^(1/2))f4 =sum(-(r3*r3^n + r3^n + 2*r3^2*r3^n + r3^3*r3^n)/(2*r3^3 + 6*r3^2 + 6*r3 + 4), r3 in RootOf(z1^4 + (2*z1^3)/3 + z1^2 + (2*z1)/3 + 1/3, z1)) + kroneckerDelta(n, 0)sum( -(r3*r3^n + r3^n + 2*r3^2*r3^n + r3^3*r3^n)/(2*r3^3 + 6*r3^2 + 6*r3 + 4), r3 in RootOf(z1^4 + (2*z1^3)/3 + z1^2 + (2*z1)/3 + 1/3, z1) ) + kroneckerDelta(n, 0)注：r3 in RootOf(z1^4 + (2*z1^3)/3 + z1^2 + (2*z1)/3 + 1/3, z1)就是说r3是关于Z1的方程z1^4 + (2*z1^3)/3 + z1^2 + (2*z1)/3 + 1/3=0的根。