变式2-1 若将本例(2)中的条件改为“曲线y=|2x-1|与直线y=b有两个公 共点”,则b的取值范围是什么? 解析 曲线y=|2x-1|与直线y=b如图所示.由图象可得,如果曲线y=|2x-1|与 直线y=b有两个公共点,则b的取值范围是(0,1).
变式2-2 若将本例(2)中的条件改为“函数y=|2x-1|在(-∞,k]上单调递 减”,则k的取值范围是什么? 解析 因为函数y=|2x-1|的单调递减区间为(-∞,0],所以k≤0,即k的取值 范围为(-∞,0].
=
1.
a
易错警示
(1)指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一为分数指数幂,以便利
用法则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先
后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算结
果中数字因式以外的部分不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有
分母又含有负指数.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) n an 与( n a )n都等于a(n∈N*). (×) (2)2a·2b=2ab. (×) (3)函数y=3·2x与y=2x+1都不是指数函数. (√) (4)若am<an(a>0且a≠1),则m<n. (×)
1.化简 4 16x8 y4 (x<0,y<0)得 ( )
(ii)正数的负分数指数幂:
m
a n =
1 m
a n =
1
n am (a>0,m,n∈N*,n>1).
(iii)0的正分数指数幂是 0 ,0的负分数指数幂无意义. (2)有理数指数幂的运算性质 (i)aras= ar+s (a>0,r,s∈Q). (ii)(ar)s= ars (a>0,r,s∈Q). (iii)(ab)r= arbr (a>0,b>0,r∈Q).
∴所求减区间为(-∞,1].
规律总结 与指数函数性质有关的问题类型与解题策略 (1)比较大小问题.常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)进行比较. (2)指数函数的综合问题.要把指数函数的概念和性质同其他函数的性 质(如单调性、奇偶性、周期性)相结合,同时要特别注意底数不确定时, 对底数的分类讨论.
1 2
a

-7<1,即
1 2
a

<8,即
1 2
a

<
1 2
3

,
因为0< 1 <1,所以a>-3,所以-3<a<0;当a≥0时,不等式f(a)<1可化为 a <1,
2
所以0≤a<1.故a的取值范围是(-3,1).故选C.
命题角度三 和指数函数有关的复合函数的性质
=1-2-x,则不等式f(x)<- 1 的解集是 ( )
2
A.(-∞,-1) B.(-∞,-1] C.(1,+∞) D.[1,+∞)
答案 A 当x>0时, f(x)=1-2-x>0, 又f(x)是R上的奇函数,
所以f(x)<- 1 的解集和f(x)> 1 (x>0)的解集关于原点对称,由1-2-x> 1 得2-x< 1
A.2x2y B.2xy
C.4x2y D.-2x2y
答案 D ∵x<0,y<0,
1
1
1
1
∴4 16x8 y4 =(16x8·y4) 4 =16 4 ·(x8) 4 ·(y)4 4 =2x2|y|=-2x2y.
2.函数f(x)=3x+1的值域为 ( ) A.(-1,+∞) B.(1,+∞) C.(0,1) D.[1,+∞) 答案 B ∵3x>0,∴3x+1>1, 即函数f(x)=3x+1的值域为(1,+∞).
(2)原式=-
5
1
a 6
2
1
b-3÷(4 a 3 ·b-3) 2
2
=-
5
1
a 6
b-3÷( a 13 b32
)
4
=-
5
1
a 2
3
· b 2
.
4
(3)原式=
1 1 1 1
a 3b2 a 2b3
15
a6b6
111
= a 3 2 6
115
·b 2 3 6
1-1
计算:

27 8


2 3
1
+0.00 2 2
-10×( 5
-2)-1+π0.
解析
原式=


27 8


2 3
+
1 500


1 2
- 10
5
2
+1
2
=


8 27

3
1
+50 02 -10( 5
+2)+1
= 4 +10 5 -10 5 -20+1=- 167 .
3.指数函数的图象与性质
a>1 图象
定义 R 域 值域 (0,+∞) 性质 过定点 (0,1)
当x>0时, y>1 ; 当x<0时, 0<y<1 在(-∞,+∞)上是 单调增函数
0<a<1
当x>0时, 0<y<1 ; 当x<0时, y>1 在(-∞,+∞)上是 单调减函数
变式2-3 若将本例(2)中的条件改为“直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0且a ≠1)的图象有两个公共点”,则a的取值范围是什么? 解析 y=|ax-1|的图象是由y=ax图象先向下平移1个单位,再将x轴下方的 图象沿x轴翻折到x轴上方得到的. 当a>1时,如图1,两图象只有一个交点,不合题意,
∵a=f(lo g1 3)=f(log23),b=f(log25),c=f(0),log25>log23>0,
2
又函数f(x)=2|x|-1在(0,+∞)上为增函数, ∴f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c,故选C.
3-2 (2016成都模拟)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)
故选A.
命题角度二 简单指数不等式的应用
典例4

设函数f(x)=
1 2
x

7,
x

0,
若f(a)<1,则实数a的取值范围是
(
)

x, x 0,
A.(-∞,-3) B.(1,+∞)
C.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
答案 C
解析
当a<0时,不等式f(a)<1可化为
2
2
2
2
=2-1,即x>1,则f(x)<- 1 的解集是(-∞,-1).
2
3-3
函数y=
1 4

x
-
1 2
x

+1在区间[-3,2]上的值域是
.
答案


3 4
, 57
解析 x∈[-3,2],
令t=
1 2

x
,则t∈ 14 ,8
理数
课标版
第五节 指数与指数函数
教材研读
1.指数幂的概念 (1)根式的概念
根式的概念
符号表示
如果① xn=a ,那么x叫做a的n次方根
na
当n为奇数时,正数的n次方根是一个② 正数 ,负
na
数的n次方根是一个③ 负数
当n为偶数时,正数的n次方根有④ 两个 ,它们互 ± 为⑤ 相反数
备注 n>1且n∈N* 零的n次方根是零
典例5
函数y=

1 2


x2

2
x
1
的单调减区间为
.
答案 (-∞,1]
解析 设u=-x2+2x+1,
∵y=
1 2
u
为减函数,
∴函数y=
1 2


x2
2
x
1
的减区间即为函数u=-x2+2x+1的增区间.
又u=-x2+2x+1的增区间为(-∞,1],
负数没有偶次方根
(2)两个重要公式
⑥ a , n为奇数,
n an

= |

a
|
⑦ a (a ⑧ a (a

0), 0),
n为偶数;
( n a )n=⑨ a (注意a必须使 n a 有意义).
2.有理数指数幂
(1)分数指数幂的表示
(i)正数的正分数指数幂:
m
a n =⑩ n am (a>0,m,n∈N*,n>1).
(2)
5
a 13 ·b-2·(-3a 12
2
1
b-1)÷(4a 3 ·b-3) 2 ;
6
(3)
2
(a 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b1

)
1 2

1
a2
1
b3
.
6 a b5
1
1
解析
(1)原式=1+ 14 ×

4 9

2
-

1 100

2