常见的圆周运动模型物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力.物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方向的分力 ( 或所有外力沿半径方向的分力的矢量和). 具体运动类型如下。
一、匀速圆周运动模型及处理方法1．随盘匀速转动模型（无相对滑动，二者有共同的角速度）例 4．如图所示，质量为m 的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上。
轻绳长度为L 。
现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度做匀速圆周运动，求：（ 1）物体运动一周所用的时间T ；ω（ 2）绳子对物体的拉力。
O2。
火车转弯模型（或汽车拐弯外侧高于内侧时）汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小 F 向＝ mg tan θ，根据牛顿第二定律： Fv2 向＝ m R，htanθ＝d，例 . 在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为 L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力( 即垂直于前进方向) 等于零，则汽车转弯时的车速应等于 ()A. gRhB.gRhC.gRLD.gRdL d h h B对．3。
圆锥摆模型小球在水平面内是匀速圆周运动，重力和拉力合力提供向心力mg tan例 6. 如图所示，用细绳系着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻力，关于小球受力有以下说法，正确的是（）A. 只受重力B.只受拉力C. 受重力 . 拉力和向心力D.受重力和拉力4.双星模型练习．如图所示，长为 L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。
给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。
下列说法中正确的是θA．小球受重力、绳的拉力和向心力作用LmB．小球只受重力和绳的拉力作用C．θ越大，小球运动的速度越大D．θ越大，小球运动的周期越大练习 . 有一种叫“飞椅”的游乐项目, 示意图如图所示, 长为L 的钢绳一端系着座椅, 另一端固定在半径为r 的水平, 钢绳与转轴在同一竖直平面内, 与竖转盘边缘. 转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动. 当转盘以角速度ω匀速转动时直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力, 求转盘转动的角速度ω 与夹角θ的关系.二、匀速圆周运动中实例分析例．如图所示，是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面．若女运动员做圆锥摆运动时和竖直方向的夹角为 B, 女运动员的质量为 m,转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为 r, 求这时男运动员对女运动员的拉力大小及两人转动的角速度。
练习 . 如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球 A 和 B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（）Ａ．球 A 的角速度一定大于球 B 的角速度Ｂ．球 A 的线速度一定大于球 B 的线速度Ｃ．球 A 的运动周期一定小于球 B 的运动周期Ｄ．球 A 对筒壁的压力一定大于球 B 对筒壁的压力答案：练习．如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r 的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，μ丝帽恰好不下滑时，下述分析正确的是( )A．螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡B．螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心mgC．此时手转动塑料管的角速度ω＝μrD．若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动答案：A练习．中央电视台《今日说法》栏目最近报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故．家住公路拐弯处的张先生和李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲进李先生家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示．交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是()A．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动B．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动C．公路在设计上可能内( 东 ) 高外 ( 西) 低D．公路在设计上可能外( 西 ) 高内 ( 东) 低解析：由题图可知发生事故时，卡车在做圆周运动，从图可以看出卡车冲入民宅时做离心运动，故选项 A 正确，选项 B 错误；如果外侧高，卡车所受重力和支持力提供向心力，则卡车不会做离心运动，也不会发生事故，故选项 C 正确．答案： AC练习 . 甲、乙两名溜冰运动员 , 面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演, 如图所示 . 已知 M甲=80 kg,M 乙=40 kg, 两人相距 m, 弹簧秤的示数为 96 N, 下列判断正确的是( )A. 两人的线速相同 , 约为 40 m/sB. 两人的角速相同 , 约为 2 rad/sC. 两人的运动半径相同 , 都中 mD. 两人的运动半径不同, 甲为 m, 乙为 m答案 BD二、常见的变速圆周运动模型1、线球模型（高中阶段只要求分析特殊位置最高点、最低点）如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：2mg=mv/R→ v 临界 = Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）无支撑模型（也叫绳模型）②能过最高点的条件：v≥Rg ，当V＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件：V＜ V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）。
2、杆球模型注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力。
①当 v＝ 0 时， N＝ mg（ N为支持力）②当 0 ＜ v＜Rg 时，N随v增大而减小，且mg＞ N＞ 0，N 为支持力．有支撑模型（也叫杆模型）③当 v=Rg 时，N＝0注意：当 v＞Rg 时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N 为拉力，方向指向圆心）管壁支撑情况与杆子一样。
若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力。
例．如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（）A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则在最高点的速率为D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力gL例．如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（）A．小球能够通过最高点时的最小速度为0B．小球能够通过最高点时的最小速度为gRC．如果小球在最高点时的速度大小为2gR ，则此时小球对管道的外壁有作用力D．如果小球在最低点时的速度大小为5gR ，则小球通过最高点时与管道间无相互作用力三、圆周运动与其它运动的结合（学到机械能动能定理才能做）例 .（学了动能定理能做）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。
当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离 d 后落地。
如题 24 图所示。
已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为3d,重力加4速度为 g。
忽略手的运动半径和空气阻力。
（ 1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2。
（2）向绳能承受的最大拉力多大（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少最大水平距离为多少A例．（学了动能定理能做）如图所示，离心轨道演示仪结构示意图。
弧形hR轨道下端与半径为R 的圆轨道相接， 质量为的小球从弧形轨道上端高=4 的A 点由静止滑下， 进入圆轨道后沿mh R圆轨道运动，最后离开圆轨道。
不计一切摩擦阻力，重力加速度为 g 。
试求 :(1) 小球运动到圆轨道最高点时速度的大小；(2) 小球在圆轨道最高点时对轨道压力的大小。
例．如图所示， AC 为竖直平面内的四分之一圆弧轨道， O 为圆心， C 位于 O 点正下方，圆轨道下端C 与水平轨道相切。
一质量为 m 的小球，自 A 点由静止开始沿轨道下滑。
已知轨道半径为R ，不计各处摩擦及空气阻力，重力加速度用 g 表示，求AO（ 1）小球下滑到距水平轨道的高度为1R 时速度的方向，并2画出示意图；（ 2）小球到达 C 点时的速率；（ 3）小球经过圆弧轨道的 C 点时，对轨道的压力。
C D点二．圆周运动中的向心力来源问题1．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内 低．如图所示，在某 路段汽车向左拐弯， 司机左侧的路面比右侧的路 面低一些．汽车的运 动可看做是半径为 R 的圆周运动． 设内外路面高度差为 ，路基的水h平宽度为 d ，路面的宽度为 L . 已知重力加速度为 g. 要使车轮与路面之间的横向摩擦力 ( 即垂直于前进方向 ) 等于零， 则汽车转弯时的车速应等于 ()A ．gRhgRhC ．gRLD ．gRdLB ．dh h2．“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术， 演员骑车在倾角很大的桶面上做圆周运动而不掉下来．如图所示，已知桶壁的倾角为 θ，车和人的总质量为 m ，做 圆周运动的半径为 r ，若使演员骑车做圆周运动时不受桶壁的摩擦力， 下列说法正确的是 ()A ．人和车的速度为grtan θB ．人和车的速度为grsin θC ．桶壁对车的弹力为mgD ．桶壁对车的弹力为mgcos θsin θ3．公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为 v c 时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处 ()A ．路面外侧高内侧低B ．车速只要低于 v c ，车辆便会向内侧滑动C ．车速虽然高于 v c ，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动D ．当路面结冰时，与未结冰时相比，v c 的值变小考点三．水平面内的圆周运动1．如图所示，质量＝ kg 的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，M 用细绳通过光滑M的定滑轮与质量为m＝kg的物体相连．假定 M与轴 O的距离 r ＝m，与平台的最大静摩擦力为 2 N．为使m保持静止状态，水平转台做圆周运动的角速度ω 应在什么范围 ( 取g＝ 10 2m/s )2．如图所示，水平转台上放着A、 B、 C 三个物体，质量分别是2m、m、 m，离转轴距离分别是R、 R、2R，与转台摩擦系数相同，转台旋转时，下列说法正确的是：A．若三物均未动， C物向心加速度最大B．若三物均未动， B 物所受向心力最小C．转速增大， C物先动D．转速增大， A 物和 B 物先动，且一起动3．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块 A 和 B 放在转盘上且木块 A、B 与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的 k 倍，A放在距离转轴 L 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴 OO 转动．开1 2始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动，角速度缓慢增大，以下说法不正确的是()2 kgA．当ω＞3L时， A、B 会相对于转盘滑动B．当ω＞2L 时，绳子一定有弹力kg 2kgC．ω在2L＜ω＜3L范围内增大时， B 所受摩擦力变大2D．ω在 0＜ωA 所受摩擦力一直变大＜3L范围内增大时，考点四．竖直面内的圆周运动1．如图所示，质量为m的物块从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑到最低点时的速度为v，若物块滑到最低点时受到的摩擦力是F f，则物块与碗的动摩擦因数为()F f F f F f F fA．mg B．v2 C．v2 D ．v2mg＋ m R mg－ m R m R2．如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部 B 处安装一个压力传感器，其示数 F 表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度Nh 处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有( )A．F小于滑块重力B．F大于滑块重力N NC．F N越大表明h越大D．F N越大表明h越小3．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动．当圆筒的角速度增大的过程中，下列说法正确的是( )A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了C．物体所受弹力增大，摩擦力不变D．物体所受弹力和摩擦力都减小了4．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上 A 点的曲率圆定义为：通过 A 点和曲线上紧邻 A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做 A 点的曲率圆，其半径ρ 叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α 角的方向以速度 v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P 处的曲率半径是( )v 222α2222α0 v sin v cos αv cosA ．gB ．gC ．gD ．sinαg5．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A 、B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是 ( )A ． A 的速度比B 的大B ． A 与 B 的向心加速 度大小相等C ．悬挂 A 、 B 的缆绳与竖直方向的夹角相等D ．悬挂 A 的缆绳所受的拉力比悬挂 B 的小6．如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为 O ，最低点两个质量相同的小球 ( 可视为质点 )A 和 B ，在两个高度不同的水平面 球的轨迹平面高于 B 球的轨迹平面， A 、B 两球与 O 点的连线与竖直为 α＝ 53°和 β＝ 37°， 以最低点 C 所在的水平面为重力势能的参cos 37 °＝，则 ()A ． A 、B 两球所受支持力的大小之比为 4∶3 B ． A 、B 两球运动的周期之比为 4∶3C ． A 、B 两球的动能之比为 16∶9 D． A 、B 两球的机械能之比为 112∶51 考点五．竖直面内圆周运动的临界问题分析1．半径为 R 的光滑圆环轨道竖直放置 , 一质量为 m 的小球恰能在此圆轨道球在轨道最低点处对轨道的压力大小为（ ）A ． 3mgB ． 4mgC ． 5mgD ． 6mg2．有一长度为 L ＝ m 的轻质细杆 OA ， A 端有一质量为 m ＝ kg 的小球，如图圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速度是m/s ， g 取 10 受到 () A ． N 的拉力 B ． N 的压力 C ． 24 N 的拉力D ． 24 N 的压力为 C ，在其内壁上有内做匀速圆周运动， A线 OC 间的夹角分别考平面， sin 37°＝，内做圆周运动， 则小所示，小球以 O 点为m/s 2，则此时细杆 OA3．英国特技演员史蒂夫·特鲁加里亚曾飞车挑战世界最大环形车道．环形车道竖直放置，直径达 12 m ，若汽车在车道上以 12 m/s 恒定的速率运动，演员与汽车的总质量为1 000 kg ，重力加速度 g 取 10 m/s 2，则 ( )A ．汽车通过最低点时，演员处于超重状态 4 NB ．汽车通过最高点时对环形车道的压力为× 10C ．若要挑战成功，汽车不可能以低于 12 m/s 的恒定速率运动D ．汽车在环形车道上的角速度为 1 rad/s 4．如图甲所示， 一轻杆一端固定在 O 点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为 R 的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为 F ，小球在最NN2图象如图乙所示．下列说法正确的是 ()高点的速度大小为 v ， F － vRaA ．当地的重力加速度大小为 b B．小球的质量为 b RC ． v 2＝ c 时，杆对小球弹力方向向上D．若 v 2＝ 2 ，则杆对小球弹力大小为2ba5．如图所示，竖直环 A 半径为 r ，固定在木板 B 上，木板 B 放在水平 地面上， B 的左右两侧各有一挡板固定在地上， B 不能左右运动，在环的最低点放有一小球 C ，A 、B 、C 的质量均为m . 现给小球一水平向右的瞬时速度v ，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环 的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起( 不计小球与环的摩擦阻力 ) ，瞬时速度必须满足 ()A ．最小值 4grB ．最大值 6grC ．最小值 5D ．最大值 7grgr考点六．平抛运动与圆周运动的组合问题1．如图所示， AB 为半径 R ＝ m 的四分之一圆弧轨道， B 端距水平地面的 高度 h ＝ m ．一质量 m＝kg的小滑块从圆弧轨道 A端由静止释放，到达轨道 B 端的速度 v＝m/s.忽略空气的阻力．取g＝10 m/s2. 则下列说法正确的是 ( )F ＝16 NA．小滑块在圆弧轨道 B 端受到的支持力大小NB．小滑块由A端到B端的过程中，克服摩擦力所做的功W＝3 JC．小滑块的落地点与 B 点的水平距离x＝mD．小滑块的落地点与 B 点的水平距离x＝m2．如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球 A、B 以不同的速度进入管内． A 通过最高点 C 时，对管壁上部压力为 3mg，B 通过最高点 C 时，对管壁下部压力为，求 A、B 两球落地点间的距离．3．如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平抛运动．现测得转台半径R＝ m，离水平地面的高度受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度H＝g＝10m，物块平抛落地过程水平位移的大小m/ s2.求：x＝m．设物块所(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；(2) 物块与转台间的动摩擦因数μ.4．如图所示，从A点以v0＝ 4 m/s 的水平速度抛出一质量m＝1 kg的小物块(可视为质点)，当物块运动至 B 点时，恰好沿切线方向进入光滑圆弧轨道，经圆弧轨道后滑上与 C 点等高、静止在粗糙水平面的长木板上，圆弧轨道BCC端切线水平，已知长木板的质量M＝4 kg， A、 B两点距 C点的高度分别为H＝m、h＝m， R＝m，物块与长木板之间的动摩擦因数μ1＝，长木板与地面间的动摩擦因数μ2＝，g＝10 m/s 2. 求：(1)小物块运动至 B 点时的速度大小和方向；(2)小物块滑动至 C点时，对圆弧轨道 C点的压力；(3)长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板．5．如图所示，是游乐场翻滚过山车示意图，斜面轨道AC、弯曲、水平轨道 CDE和半径 R＝m的竖直圆形轨道平滑连接．质量＝ 100 kg 的小车，从距水平面＝ 20 m 高处的A 点静止释放，通过最低点 C 后沿圆形轨道运动一m H周后进入弯曲、水平轨道CDE.重力加速度 g＝10 m/s 2，不计摩擦力和空气阻力．求：(1)若小车从 A 点静止释放到达圆形轨道最低点C时的速度大小；(2)小车在圆形轨道最高点 B 时轨道对小车的作用力；(【巩固练习】1．由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和 BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一质量为 m的小球，从距离水平地面高为H的管口 D处静止释放，最后能够从 A 端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是 ( )A．小球落到地面时相对于 A 点的水平位移值为 2 RH－ 2R2B．小球落到地面时相对于 A 点的水平位移值为 2 2RH－ 4R2C．小球能从细管 A 端水平抛出的条件是H＞2R5D．小球能从细管 A 端水平抛出的最小高度H min＝2R3．小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在 O点的正下方L/2 处有一钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图-2 所示，无初速度地释放小球，当细线碰到钉子的瞬间，设线没有断裂，则下列说法错误的是A．小球的角速度突然增大 B ．小球的瞬时速度突然增大C．小球的向心加速度突然增大D．小球对悬线的拉力突然增大4．如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为＝ kg 的小球，小球沿斜面做圆周运动，若要小球能通过最高点，则小球在最低点m AB 的最小速度是( )A． 2 m/s B ． 2 10 m/sC ．2 5 m/sD ． 2 2 m/s6．飞镖比赛是一项极具观赏性的体育比赛项目，2011 年的 IDF( 国际飞镖联合会) 飞镖世界杯赛在上海进行．选手在距地面高h，离靶面的水平距离L 处，将质量为 m的飞镖以速度v0水平投出，结果飞镖落在靶心正上方．只改变 h、 L、 m、 v0四个量中的一个，可使飞镖投中靶心的是( 不计空气阻力)()A．适当减小v0B．适当提高h C．适当减小m D．适当减小L 某一如7．如图所示光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R)，小球径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度a、 b 大小相同，质量均为v 通过轨道最低点，且当小球m，a其直在最低点时，小球 b 在最高点，以下说法正确的是( )A．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球 a 比小球 b 所需向心力大5mgB．当v ＝ 5 时，小球 b 在轨道最高点对轨道无压力gRC．速度v至少为 5gR，才能使两球在管内做圆周运动D．只要v≥ 5gR，小球a对轨道最低点的压力比小球 b 对轨道最高点的压力都大6mg9．一个中间钻有小孔的球，穿在竖直放置的光滑圆形细轨道上，如图所示．在最低点给小球一个初速度v0，关于小球到达最高点的受力，下列说法正确的是()A．v0越大，则小球到最高点受到轨道的弹力越大B．v0＝ 2 C．v0＝ 2 D．v0＝gRgR5gR时，小球恰能通过最高点时，小球在最高点受到轨道的支持力为时，小球在最高点受到轨道的支持力等于重力10．如图所示，一竖直平面内光滑圆形轨道半径为R，小球以速度v0经过最低点 B 沿轨道上滑，并恰能通过轨道最高点A.以下说法正确的是( )A．v0应等于 2gR，小球到 A 点时速度为零B．v0应等于5gR，小球到A点时速度和加速度都不为零C．小球在B 点时向心加速度最大，在 A 点时向心加速度最小D．小球从 B 点到 A 点，其速度的增量为(1 ＋5) gR。