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非对称弯曲—— 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵 对称面但外力并不作用在对称面内，这种
弯曲则统称为非对称弯曲。
下面几节中，将以直梁的平面弯曲为主，讨论梁的应力和变 形计算。
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第二节 梁的计算简图
一 梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于
M
Q
１、Q 和 M 计算
a
m
P
A
m x
B
a
m
P
用截面法假想地在
横截面mm处把梁分
A
m x
B
为两段，先分析梁左段。
y
RA
m
Q
C
x
A
x
m
a
P
由平衡方程得
A
m
y0
RA Q 0
B
m x
可得
Q = RA
y
RA
Q 称为 剪力
A
x
m
Q
C
m
x
a
P
由平衡方程
m
mC 0
A
m x
B
M RA x 0
m
dx
使dx 微段有 左端向下而右端向上 的相对错动时，横截面 m-m 上 的剪力为负 。或使dx微段有逆时针
m
m
dx
转动趋势的剪力为负。
弯矩符号
当dx 微段的弯曲下凸 （即该段的下半部受拉 ）时， 横截面m-m 上的弯矩为正； 当dx 微段的弯曲上凸
+
M m
M
m （受拉）
_
m
（即该段的下半部受压）时，
M 0, M F ( x a) Y x 0 M YA x F1(x a ) Y
C 1 A
M FN
A
Q
这一内力偶矩 M 称为横 截面 m―m 上的弯矩。它是与 横截面垂直的分布内力系的合 力偶矩。
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一、内力形式与方向规定： 1、内力的形式： （1）剪力-----Q---其作用线与横截面的对 称轴重合。 （2）弯矩----M----其作 用平面与纵向对称面重合 （即与横截面垂直）。
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受力特点是：在通过构件轴线的纵向对称 平面内，受到垂直于梁的轴线的力或力 偶作用，使构件的轴线在此平面内弯曲 为曲线，这样的弯曲称为平面弯曲
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工程实例
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3、 平面弯曲(plane bending)：杆发生弯曲变形后，轴线仍 然和外力在同一平面内。 对称弯曲（如下图）—— 平面弯曲的特例。 P1 q P2
简支梁的一端或两端伸出支座之外的梁。
5. 静定梁与超静定梁
静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。 超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。
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§8-3、4 梁弯曲时的内力——剪力和弯矩
梁的整体处于平衡状态，因此其各个部分也应处于平衡 状态。如图，截面 m―m 上将产生内力,这些内力将与外力YA 和 F1；或YB和F2 、F3 ；在梁的左半段或右半段构成平衡力系。 Y 0
b
a
A
P1
C
P2
D B
E
F
d
c
l
b
RA
A
a E c
P1
C
P2
D
RB
B
F
d
l
解:
mA 0
mB 0
RB l P a P2b 0 1
RAl P (l a) P2 (l b) 0 1
b
RA
A
a
P1
C
P2
D
RB
B
E
c l
F
d
解得：
P (l a ) P2 (l b) RA 1 l P a P2b RB 1 l
b
P2 P
D
B
a c
P1 P
C
RA
A D
RB
P2 P
B
b
a
c解：Biblioteka RA RB P 60kN
P1 P
C
RA
A D
RB
P2 P
B
b
a c
计算 C 横截面上的剪力 QC 和弯矩 MC 。
QC P 60kN 1
看左侧
M C P1 b 6.0 KN.m
M
纵向对称面
构件的几何形状、材料性能和 外力作用均对称于杆件的纵对称 面
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纵向对称面
P1
P2
梁的轴线
A
B
RA
RB
梁变形后的轴线 与外力在同一平 面内
4、平面弯曲的受力特点：
（集中力、分布力、集 中力偶、分布力偶）作 用在杆过轴线的对称平 面内，并垂直于轴线。
5、变形特点：
轴线由直线变成了在过 轴线对称平面内的平面 曲线。
P1 P
C
RA
A D
RB
P2 P
B
b
a c
计算 D 横截面上的剪力 QD 和弯矩 MD 。 看左侧
Q D R A P1 60 60 0
M D R A (c a) P1 c Pa 13.8KN .m
例题：求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩
RA
A
10KN.m 2 1
+
RA
A E
C
QE RA
M E RA c
QE
ME
+
b
RA
取右段为研究对象
A
a E c
P1
C
P2
D
RB
B
F
d
l
RA
A
C
QE
ME
E
QE
E
P1
c
a- c b- c
P2
D
RB
B
ME
l- c
RA
A
C
QE
ME
E
QE
E
P1
c
a- c b- c
P2
D
RB
B
ME
l- c
y0
M E 0
解得：
Q E R B P1 P2 0
名 称
图 示 法 反 力 未知反力数
滑动铰支 Ry
1 (Ry)
Rx 固定铰支 Ry M 3 (M， Rx，Ry) Ry 2 (Rx，Ry)
固 定 端
Rx
3. 支座简化 ①固定铰支座 2个约束，1个自由度。
如：桥梁下的固定支座，止
推滚珠轴承等。
②可动铰支座 1个约束，2个自由度。 如：桥梁下的辊轴支座，滚 珠轴承等。
FS FS (x)
或写成： M
M(x)
描述梁内剪力和弯矩沿梁长度方向变化的表达式，称为剪力 方程和弯矩方程。
函数在直角坐标系下的曲线，即为剪力图和弯矩图。
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§8-3、4 梁弯曲时的内力——剪力和弯矩
剪力图和弯矩图的绘制
1、控制面------将集中力、集中力偶作用点处截面以及分布
横截面m-m 上的弯矩为为负。
m （受压）
剪力和弯矩的符号规则
截面上的剪力对梁上任意一点的矩为顺时针转向时， 剪力为正；反之为负。即微段有左端向上而右端向下 的相对错动时，为正。
截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。
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即左顺右逆为正；反之为负。
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例题： 为图示梁的计算简图。已知 P1、P2，且 P2 > P1 ， 尺寸a、b、c和 l 亦均为已知。试求梁在 E 、 F 点 处横截面处的剪力和弯矩。
第八章 弯曲内力
一、弯曲的概念 1. 弯曲（bending): 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩矢
的作用时,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。
2. 梁：以弯曲变形为主的 构件通常称为梁(beam)。
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第一节 概述
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2
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3
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4
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载荷的起点和终点处截面称为控制面。
2、建立梁的剪力和弯矩方程的一般步骤：
根据梁的受力及约束情况，确定控制面，并由控制面确定剪力 和弯矩方程的区间端点，确定分段数目； 以梁的左端为坐标原点O，沿梁轴线方向建立Ox坐标； 分段建立剪力和弯矩方程；在每一分段内，都要取位置为的任 意截面，从这一截面处全梁截为两部分； 以截开后的任一段梁为研究对象，并按正方向标出截开截面上 的剪力Q(x)和弯矩M(x)。由平衡方程求得剪力方程和弯矩方程。 2013-7-25 54 同时表明建立和弯矩方程的适用区间，即x的变化范围。
YA F1 Q 0
Q YA F1
Q称为横截面 m―m上的
M
FN Q M Q
剪力，它是与横截面相切 的分布内力系的合力。 YA
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YB
§8-3、4 梁的内力---剪力和弯矩
根据平衡条件，若把左段上的所有外力和内力 对截面 m―m 的形心O取矩，其力矩总和应为零，即 ∑MC =0，则
2
求 2 截面的内力： 右侧
Q2 QC右 RB ( 4) 4 KN
M 2 M C右 RB ( 2.5 1) ( 4) 1.5 6 KN.m