计数原理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数()sin x f x e x =的图象在点(3,(3)f )处的切线的倾斜角为( )A ．2πB ．0C ．钝角D ．锐角【答案】C2．如果说某物体作直线运动的时间与距离满足()2()21s t t =-，则其在 1.2t =时的瞬时速度为( ) A ．4 B ．4-C ．4.8D ．0.8【答案】D 3．函数()12x xy e e -=+的导数是( ) A ．()12x x e e -- B ．()12x x e e -+ C ．xxe e --D ．x xe e-+【答案】A4．若曲线034=--=y x P x x x f 处的切线平行于直线在点）（，则点P 的坐标为( ) A ．（1，0）B ． (1，5）C ．（1， 3-）D ． (1-，2）【答案】A5．设)(x f 为可导函数，且满足12)21()1(lim 0-=--→x x f f x ，则过曲线)(x f y =上点(1,(1))f 处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2【答案】B 6．设曲线1n y x+= (*N n ∈)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则20111log x +20112log x + …+ 20112010log x 的值为( )A ．2011log 2010-B ．1-C ．2011log 20101-D ．1【答案】B7．设球的半径为时间t 的函数()R t 。
若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径( )A ．成正比，比例系数为CB ． 成正比，比例系数为2C C ．成反比，比例系数为CD ． 成反比，比例系数为2C【答案】D8．由函数3cos ,(02)12y x x x y ππ=≤≤==的图象与直线及的图象所围成的一个封闭图形的面积( ) A ．4 B ．123+πC ．12π+D ．π2【答案】B9．已知f(3)=2,f ′(3)=－2,则3lim →x 3)(32--x x f x 的值为( )A ．－4B ．8C ．0D ．不存在【答案】B 10．曲线21xy x =-在点()1,1处的切线方程为( ) A ． 20x y --= B ． 20x y +-= C ．450x y +-= D ． 450x y --= 【答案】B11．设()f x 在[]a b ，上连续，则()f x 在[]a b ，上的平均值是( )A ．()()2f a f b + B ．()baf x dx ⎰ C ．1()2baf x dx ⎰ D ．1()baf x dx b a -⎰【答案】C12．已知函数f (x)=3x +1，则xf x f x ∆-∆-→∆)1()1(lim的值为( )A ．31-B ．31 C ．32 D ．0【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．如图，直线1y =与曲线22y x =-+所围图形的面积是 。
【答案】34 14．过（0， 0）且与函数y ＝32123x x - 的图象相切的直线方程为 【答案】30x y +=或0y = 15．计算⎰=+2)32(dx x ．【答案】1016．若曲线21232-+=x x y 的某一切线与直线34+=x y 平行，则切点坐标为 ，切线方程为 ． 【答案】(1,2)，42y x =-三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．已知函数2()(22)x f x e ax x =--，a ∈R 且0a ≠.⑴ 若曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； ⑵ 当0a >时，求函数(|sin |)f x 的最小值.【答案】由题意得：22()()(22)(22)x x f x e ax x e ax x '''=⋅--+⋅--22(22)(22)()(2)x x x e ax x e ax ae x x a=--+-=-+；(1)由曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线垂直于y 轴，结合导数的几何意义得(2)0f '=，即22(2)(22)a e a ⋅⋅-+=22240a ae a-⋅=，解得1a =； (2) 设|sin |(01)x t t =≤≤，则只需求当0a >时，函数()(01)y f t t =≤≤的最小值.令()0f x '=，解得2x a =或2x =-，而0a >，即22a>-. 从而函数()f x 在(,2)-∞-和2(,)a +∞上单调递增，在2(2,)a-上单调递减.当21a ≥时，即02a <≤时，函数()f x 在[0,1]上为减函数，min (1)(4)y f a e ==-； 当201a<<，即 2a >时，函数()f x 的极小值即为其在区间[0,1]上的最小值，2min2()2a y f e a==-.综上可知，当02a <≤时，函数(|sin |)f x 的最小值为(4)a e -；当2a >时，函数(|sin |)f x 的最小值为22ae -.18．已知函数x a a x a x x f )()12(2131)(223+++-=. (Ⅰ）若)(x f 在1=x 处取得极大值，求实数a 的值；(Ⅱ）若R m ∈∀，直线m kx y +=都不是曲线)(x f y =的切线，求k 的取值范围； (Ⅲ）若1->a ，求)(x f 在区间［0，1］上的最大值。
【答案】（Ⅰ）因为)]1()[()()12()('22+--=+++-=a x a x a a x a x x f 令a x a x x f =+==21),1(,0)('得，所以)(),('x f x f 随x 的变化情况如下表：所以1=a(由0)1('=f 得出0=a ，或1=a ，在有单调性验证也可以（标准略）） (Ⅱ）因为41)212()('2-+-=a x x f 因为R m ∈∀，直线m kx y +=都不是曲线)(x f y =的切线， 所以k a x x f =-+-=41)212()('2无实数解 只要)('x f 的最小值大于k所以41-<k (Ⅲ）因为1->a ，所以01>+a ，当1≥a 时，0)('≥x f 对]1,0[∈x 成立 所以当1=x 时，)(x f 取得最大值61)1(2-=a f 当10<<a 时，在),0(a x ∈时，0)('>x f ，)(x f 单调递增 在)(,0)(',)1,(x f x f a x <∈时单调递减 所以当a x =时，)(x f 取得最大值232131)(a a a f +=当0=a 时，在)1,0(∈x 时，0)('<x f ，)(x f 单调递减 所以当0=x ，)(x f 取得最大值0)0(=f当01<<-a 时，在)1,0(+∈a x 时，)(,0)('x f x f <单调递减 在)1,1(+∈a x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增 又61)1(,0)0(2-==a f f ，当661<<-a 时，)(x f 在1=x 取得最大值61)1(2-=a f 当066<<-a 时，)(x f 在0=x 取得最大值0)0(=f 当66-=a 时，)(x f 在0=x ，1=x 处都取得最大值0. 综上所述， 当6611-<<-≥a a 或时，)(x f 取得最大值61)1(2-=a f 当10<<a 时，)(x f 取得最大值232131)(a a a f +=当66-=a 时，)(x f 在0=x ，1=x 处都取得最大值0 当066≤<-a 时，)(x f 在0=x 取得最大值0)0(=f . 19．已知函数)4,1()(23M bx ax x f 的图象经过点+=，曲线在点M 处的切线恰好与直线09=+y x 垂直。
(1）求实数b a ,的值；(2）若函数m m m x f 求上单调递增在区间,]1,[)(+的取值范围。
【答案】（ 1）),4,1()(23M bx ax x f 的图象经过点+= 4=+∴b a ①式b a f bx ax x f 23)1(,23)(2+='+='则 由条件923,1)91()1(=+-=-⋅'b a f 即 ②式由①②式解得3,1==b a(2）x x x f x x x f 63)(,3)(223+='+=， 令,20063)(2-≤≥≥+='x x x x x f 或得经检验知函数(][)+∞⋃-∞-⊆++,02,]1,[,]1,[)(m m m m x f 则上单调递增在区间，m m m m m 为所求或即或30,210-≤≥-≤+≥∴的取值范围。
20．设函数2()ln(1)(,,2)f x x ax b x a b R a =-++∈≠且 ⑴当1b =且函数()f x 在其定义域上为增函数时，求a 的取值范围； ⑵若函数()f x 在1x =处取得极值，试用a 表示b ； ⑶在⑵的条件下，讨论函数()f x 的单调性。
【答案】（1）当1b =时，函数2()ln(1)f x x ax x =-++，其定义域为(1,)-+∞。
1()21f x x a x '∴=-++。
函数()f x 是增函数， ∴当1x >-时，1()201f x x a x '∴=-+≥+恒成立。
即当1x >-时，121a x x ≤++恒成立。
当1x >-时，1122(1)2211x x x x +=++-≥-++，且当1x =-时取等号。
a ∴的取值范围为(,2]-∞-。
(2）()21bf x x a x '=-++,且函数()f x 在1x =处取得极值， (1)0.2 4.f b a '∴=∴=-此时42(1)()242()2.11a x x a f x x a x x ----'=-+=++当412a -=，即6a =时，()0f x '≥恒成立，此时1x =不是极值点。