马鞍山市第二中学2010年实验班招生数学素质测试题一、选择题 (每小题6分，满分36分。

以下每小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中只有一个选项是正确的。

请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填得0分) 1、计算11111335579799+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯= （ ） A 9998 B 9749 C 94 D 99492、 已知y x ,是互不相等的实数，且使等式03,0322=-+=-+y y x x 成立， 则2222xy y x +=（ ） A 3B 4C 6D 6-3、如图，圆内两条弦互相垂直，其中一条被分成2和6两段，另一条被分成3和4两段，此圆的直径为 ( )A BC 9D 104、将一颗质地均匀的骰子（一种各面分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是 （ ）A 41B 81C 121D 161CA B D.O5、如图，在直角梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，,90AB BC ABC =∠=，3DE cm =4,5EC cm DC cm ==，那么这个梯形ABCD 的面积是 （ ）A152172cm B 195202cm C 12 2cm D 13 2cm6、已知实数,,x y z 满足5x y z ++=，3xy yz zx ++=，则z 的最大值是 （ ）A 3B 4C 619D 313二、填空题（每小题6分，满分36分）7、设0,0a b c abc ++=>，则||||||a b ca b c ++的值是 8、若531-的整数部分为a ,小数部分为b ，则2(21)a b b -+=9、如图, 已知：1,2AD AB ==，DC BC =，60DAC CAB DCB ∠=∠=∠=︒， 则AC =10、计算32322010220102008201020102011-⨯-=+-_____________11、对于每个x ，函数y 是642,6221++-=+-=x x y x y 这两个函数的较小值，则函数y 的最大值是_______________12、某人沿着向上移动的自动扶梯从顶朝下走到底用了90秒，而他沿同一扶梯从底朝上走到顶只用了10秒，那么此人不走动，乘该扶梯从底到顶所需的时间是_________ 秒。

（该人上、下的速度不变,电梯向上移动的速度也不变）。

AD BCEBADC三、解答题（共6小题，满分78分）13、（满分12分）解方程 ()()()()084321=-++++x x x x .14、（满分14分）已知关于x 的方程0222=+++m mx x . （1）方程两根都是正数时，求m 的取值范围；（2）方程一个根大于1，另一个根小于1，求m 的取值范围。

15、（满分12分）求满足下列条件的最小正整数n ：对于n ，存在正整数k ，使137158<+<k n n 成立。

16、(满分14分) 如图，直角梯形OABC 直角顶点为O 是坐标原点，BD=14OA =， 03,45AB OAB =∠=， E 、F 分别是线段OA 、AB 上的两动点，且始终保持045=∠DEF .（1） 写出D 点的坐标；（2） 设OE x =，AF y =，确定y 和x 的函数关系；（3） 当EF AF =时，将AEF ∆沿EF 折叠得到EF A '∆，求EF A '∆和五边形OEFBC重叠部分面积。

n 一定能被5整除。

17、（满分12分）已知自然数n不能被5整除，求证：4118、（满分14分）如图，已知⊙O 是四边形ABCD 的外接圆，直线,AD BC 相交于点E ，F是弦CD 的中点，直线EF 交弦AB 于点G ，求证：（1） ED EA EC EB ⋅=⋅； （2） 22::AG GB AE BE = .B2010年马鞍山二中实验班招生数学素质测试题参考答案一、选择题1、D2、C3、B4、C5、A6、D二、填空题7 、 -1 8、 0 9、 3 10、2011200811、 6 12、 25三、解答题13、解：()()())85)(25(016)5(1050865452222222=++++=++++=-++++x x x x x x x xx x x x。

3分 0252=++∴x x （1）或0852=++x x （2）。

6分由（1）得2175224255±-=⨯-±-=x 。

9分由（2）得078425<-=⨯-=∆，方程无解。

11分综合得原方程的解为2175±-=x 。

12分 14、解：（1）根据题意，m 应当满足条件⎪⎩⎪⎨⎧>+=>-=+>+-=∆02020)2(4421212m x x m x x m m 。

3分即⎪⎩⎪⎨⎧-><-≤≥2012m m m m 或 12-≤<-∴m 。

7分（2）根据题意，m 应当满足条件⎩⎨⎧<-->+-=∆0)1)(1(0)2(44212x x m m 。

10分，即 ⎩⎨⎧-<-<>112m m m 或 1-<∴m 。

14分15、 由已知得1513,87n k n +>> 1513671,8778k k n n >+>∴<<即 。

3分 因为n , k 为正整数显然n>8， 取n = 9 , 则863754<<k ，没有这样的整数K 值， 。

6分 依次取n = 10, n = 11, n = 12, n = 14时， 分别得870760<<k ，877766<<k ，884772<<k ，891778<<k ，898784<<k ， k 都取不到整数 。

10分 当n = 15时，8105790<<k ，k 取13即可满足， 所以n 的最小值是15. 。

12分16、（1）)223,223(D 。

3分 （2）连OD ，由（1）D 在COA ∠的平分线上，则045=∠=∠COD DOE3,450==∴=∠AB OD BAO ，0451-∠=∠DEA ，0452-∠=∠DEA∠=∠12，ODE ∆∴～AEF ∆AE OD AF OE =∴即x y x -=243，x x y 324312+-=∴ 。

8分（3）当EF=AF 时，045=∠=∠=∠DEF FEA FAEAEF ∆∴为等腰Rt ∆D 在E A '上（E A 'OA ⊥），B 在F A '上（)EF F A ⊥'EF A '∆∴和五边形OEFBC 重叠部分面积为四边形EFBD 的面积22522324=-=-=-=CD OA OE OA AE252222545sin 0===∴AE AF825)25(21212==∙=∆AF EF S AEF 42122322522121=+=+=∴）（）（梯形DE AE BD SSS S AED B BD EF -=梯形四边形AEF ∆=817825421=- 。

14分17、证明：∵ 自然数n 不能被5整除，故n 的个位数字不为0和5. 。

2分 若n 的各位数字为1，3，7，9，则4n 的个位数字总是1，故41n -的个位数字为0。

若n 的各位数字为2，4，6，8，则4n 的个位数字总是6，故41n -的个位数字为5。

∴ 41n -总能被5整除。

。

12分18、证明:(1) ∵ 四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形∴ ∠DCE=∠A, ∠EDC=∠B ∴EDC ∆∽EAB ∆ ∴ED ECEB EA= 故ED EA EC EB ⋅=⋅ 。

5分(2) 方法（一）过点F,G 分别作AE,BE 的垂线， 垂足分别为K,M,H,N (如图) ∵AGE BGE S AG AE GHBG S BE GN∆∆⋅==⋅ ,FK HG MF GNFK EF FM GH EG GN ∴== F 是CD 的中点BS EDF ECFS DE FK EC FM ∆∆∴=∴⋅=⋅DE FMEC FK∴= 22AG AE GH AE FK AE CE AE BG BE GN BE FM BE ED BE⋅∴==⋅=⋅=⋅ 。

14分 方法（二） 由梅涅劳斯定理可知221CD 11AG BE CF DEBG EC FD EA F CF FD AG BE DEBG EC EA AG BE BE BG EC EC AG BE BG EC ⋅⋅⋅=∴=∴⋅⋅=∴⋅⋅=∴=是的中点。