N
k
i
k , xk 1
1 0
§13.3 收敛性的证明 由(11-39)得
高等结构动力学
2 n
n fmn
(13-25*)
则由(13-17)可写为
v1 n Yn Y
1 1 1 n=1 N
（13-26*）
作下一次迭代循环得到第二次循环产生的挠度
2 1
v v
1
1 1 1
T
mv1
0
T
mv11
(13-11)
§13.2 基本振型分析—Stodola法
高等结构动力学
重复上述过程s次，能求得较近似的解,即s次循环之后
v1
s
1

2 1
v1
s 1

1

2 1
1
(13-12)

2 1
max(v1 ) 1 (s) s max(v1 ) max(v1 )
收敛性的证明（第2种方法）
i
1
i K 1Mi
即:
K M
迭代格式
Kxk 1 Mxk
x1 i
i i
x 0 1
Kx2 Mx1
x2 K Mx1 K Mii i K Mi i
1 1 1 i 1 i 1 i 1 N N N
（13-9）
§13.2 基本振型分析—Stodola法
高等结构动力学
真正的第一振型频率介于上式求得的最大值和最小值 之间:
vk0 1 1 v k1 vk0 2 1 1 v 1 min k1
max
(13-10)
取平均值求频率的近似值
(13-43)
§13.4 高阶振型分析
高等结构动力学
最高振型的分析
由(13-1)式得
ˆ ˆ v=Ev
2
(13-44) (13-45)
E m-1k D1
若代入最高振型的试探形状

1 2 N vN
0 Ev N
（13-46）
§13.4 高阶振型分析 第N振型频率的近似值为
2 N
1 T (0) 2 mv3 M2
(13-36a) (13-36b)
代入(13-35)得
(0) 3 v(0) 1 v 3
或
M1

(0) T mv3 1 1
1 (0) 22T mv3 M2
(0) 3 I 1 T mv(0) 1 T mv(0) v(0) v 1 1 3 M2 2 2 3 3 M1
2s 2s
(13-23)
§13.4 高阶振型分析
高等结构动力学
§13.4 高阶振型分析
第二振型分析 展开(13-21)得
0 0 0 v 1 Y1 2 Y2 3 Y3 1 2 3
D
i 1 n
n
2 n
Yn
0
1 2
2
(13-17)
n Dn
2 n
(13-18)
§13.3 收敛性的证明 则由(13-17)可写为
高等结构动力学
1 v1 n Yn （13-19） n=1 n 1 然后，用最大的基准元素 max(v1 )去除 v11 ，使之规格化， 从而得到改进的第一次迭代循环的形状 ，因此
§13.1 引言
高等结构动力学
§13.1 引言
振型位移叠加法提供了一种计算结构动力反应的有效方 法，即无阻尼振型用于对结构运动方程组解耦。 问题——如何获得结构的无阻尼振型？ Stodola法以迭代为基础，先假定初始振型并迭代调整至 实际振型的适当近似,再由运动方程确定振动频率.
§13.2 基本振型分析—Stodola法
高等结构动力学
vkN
1 kN
0 v
T 1 mvN 0 mvN
（13-47a）
2 N
v
vN
1
1 N
T
（13-47b）
其中
vN EvN
1 0
证明最高振型收敛与最低振型收敛的区别是
N 1 N 2 N 3 1 N N N
1
1
i
x3 K 1Mx2
1 i i i 1
N
2
i
§13.3 收敛性的证明
高等结构动力学
1 xk 1 K Mxk i i 1 i
1

N
k
i
1 1
k

1 i i 1 i
(13-16)
§13.3 收敛性的证明 由这些惯性力产生的挠度是
v1
1
高等结构动力学
0 0 2 k -1f I k -1m 11 Y1
2 0 1 22 Y2 2

2

或
v1
1

(13-13)
s-1
§13.3 收敛性的证明
高等结构动力学
§13.3 收敛性的证明
最初假定的形状用正规坐标表示为
v1 Y 1Y 2Y2 3Y3 1
0 0 0 0 0
(13-14)
第一振型频率的振动形状所对应的惯性力为
f I
0
该方程最后一个等号成立,第一振型的系数远大于其它的系数.
1 1 2
2s
1 3
2s

(13-23)
最终结果可视为
v1
s
1Y1(0) 1 (0) max(1Y1 )
(13-24)
§13.3 收敛性的证明
高等结构动力学
(13-40)
§13.4 高阶振型分析 求第四振型计算第三淘汰矩阵
S3 S2
(0) v
4
高等结构动力学
1 T 33 m M3
(13-41) (13-42)
S3 v(0) 4
D4 DS3
相应的动力矩阵 依次类推
Sn Sn-1
1 T nn m Mn
Dn+1 DSn
s s 1 v1 Y n
2s
0 Yn


0 1Y1
(13-28*)
该方程最后一个等号成立,第一振型的系数远大于其它的系数.
1 1 1 2 3
§13.4 高阶振型分析
高等结构动力学
由第一淘汰矩阵减去第二振型的项可得第二淘汰矩阵
1 T S2 S1 22 m M2
(13-38)
(0) (0) v3 S2 v3
其中淘汰矩阵的运算表示为 第三振型的Stodola关系式为
1
(13-39)

2 3
v
(1) 3
(0) 3 =DS v(0) D v(0) Dv 2 3 3 3
高等结构动力学
(13-29)
其中
S1 I 1 11T m M1
(13-30)
在这种情形中,(13-5)能写成
1 v (1) 2 2 2
(0) Dv 2

(13-31)
§13.4 高阶振型分析 代入(13-31)得
高等结构动力学
2
其中
1
v(1) DS1v(0) D2v(0) 2 2 2 2
(13-35)
利用正交特性

T (0) 1 mv3 T (0) 2 mv3
(0) 0 1T mv3 M1Y1(0) (0) 0 2T mv3 M 2Y2(0)
§13.4 高阶振型分析 则
Y1(0)
(0) Y2
高等结构动力学
1 T (0) 1 mv3 M1
ˆ ˆ v=n 2Dvn
v1 =Dv1
1 0
(13-5)
(13-5a)
§13.2 基本振型分析—Stodola法
高等结构动力学

1
2 1
1 =v1 v
1 1
(13-6*)
考虑任一点k的位移
1
12
1 vk0 =vk1 1
(13-7*)
2 1
0 v
k1 1 vk1
(13-27)
M1
不包含第一振型的试探形状为
0 0 20 v v 1Y 2 1
(13-28)
§13.4 高阶振型分析 在试探向量中消除第一振型分量的方便方法是 应用淘汰矩阵S1
2 v 0 v 0 2 1 11T mv 0 S1v 0 2 2 M1
高等结构动力学
பைடு நூலகம்
§13.2 基本振型分析—Stodola法
fI n
ˆ =n 2 mvn
n
（13-1） （13-2）
ˆ vn=k -1f I
或者用式（13-1）则为
ˆ ˆ v=n 2 k-1mvn
可记作
(13-3)
D=k -1m
(13-4)
§13.2 基本振型分析—Stodola法
高等结构动力学
先假定试探形状,它尽可能接近第一振型的形状,而振 幅是任意的,即：
N 4
0
v1
2
（13-21）
s次循环后
v1
s s v1 1 (0) (0) 1 2 S Y 2Y2 ( ) ... (s) 1 1 s 2 max(v1 ) max(v1 )