三角计算及其应用1．在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则角A 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°2．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋c 2－bc ，则角A 为( )A．π3 B ．π6 C ．2π3D ．π3或2π33．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c 2c，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形4．在△ABC 中，若，则cos B ＝( )A ．B ．C ．D ．5．在△ABC 中，已知面积S ＝ (a 2＋b 2－c 2)，则角C 的度数为( )A ．135°B ．45°C ．60°D ．120°6．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则△ABC 的面积等于( )A ．12B ．212C ．28D ．6 37．三角形的两边之差为2，夹角的余弦值为35，该三角形的面积是14，那么这两边分别为（ ）A ．3,5B ．4,6C ．6,8D ．5,78.在中，角、、的对边分别为、、.若，且成等差数列，则的面积是（ ） A ．B ．C ．3D ．ABC △A B C a b c 22()6c a b =-+,,A C B ABC △3393339．在中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，如果，，的面积，那么a 等于（ ） AB ．7CD ．1710．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果，那么的最大内角的余弦值为 A ．0.125B ．0.25C ．0.75D ．0.511．已知中，，则等于（ ）AB ．C ．D ．12. 在△ABC 中，若，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰直角三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等边三角形13．在中，，，，则的面积为（ ）A ．B ．1C D14．两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a ，灯塔A 在C 北偏东300，B在C 南偏东600，则A 、B 之间相距：A ．aBC aD ．2a15．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c ，,B ＝120°，则边b 等于( )AB ．2C DABC ∆60A =︒3b =ABC ∆S =ABC ∆sin :sin :sin 1:2A B C =::a b c 221:3:2C A B sin sin cos 2=⋅ABC ∆1AB =3AC =1AB BC ⋅=u u u r u u u rABC ∆1215A =︒16．在中，，，，则（ ）A ．B ．或C ．或D ．17.在△ABC 中，如果sin :sin :sin 2:3:4A B C =，那么cosC 等于 （ ）A.23B. 23-C. 13-D. 14-18．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知，，，则b=（ ）ABC ．2D ．319．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ∶sin B 的值是( )A ．35 B ．53 C ．37D ．5720. 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 m D.2522m21在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 成等差数列，且BC=2，BA=1, 求AC 的长。

ABC ∆AB =1AC =30B ∠=o A ∠=60o 30o 90o 60o 120o 90o a =2c =2cos 3A =22在△ABC中，若AB=4，AC=6，且2cos(B+C)—1=0，求BC的长度。

23在△ABC中，a=6，c=23，面积为33，求∠B的大小。

24在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且满足b2+c2-a2=bc，（1）求角A的值；（2）若c=2，△ABC的面积等于3，求a ，b的值。

25在△ABC中，∠A=15°，∠B=30°，c=10，求△ABC的面积。

26（2012年高考题）如图所示，甲、乙两船同时从港口O 出发，甲船以25海里/时的速度向东行驶，乙船以15海里/时的速度沿着北偏西30°的方向行驶，2小时后，甲船到达A 处，乙船到达B 处。

（1）甲、乙两船间的距离AB 是多少海里？（2）此时乙船位于甲船北偏西多少度的方向上？1. 答案： D解析： 在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝52＋32－722×5×3＝－12.∵A ∈(0°，180°)，∴A ＝120°.2 答案： A解析： 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.又A ∈(0，π)，∴A ＝π3.3 .答案：A解析： 在△ABC 中，∵cos 2A 2＝b ＋c 2c， ∴1＋cos A 2＝b 2c ＋12，∴cos A ＝bc， ∴由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴b 2＋c 2－a 22bc ＝b c，∴b 2＋c 2－a 2＝2b 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 是以C 为直角的直角三角形．4. 答案：B解析：由正弦定理知，故tan B ＝，所以B ＝，所以cos B ＝，5.答案：B解析：∵cosC=，即a 2+b 2﹣c 2=2abcosC ，S=absinC ，且S=（a 2+b 2﹣c 2）， ∴absinC=abcosC ，即tanC=1， ∵C 为三角形的内角， ∴C=45°．6.答案： D解析： 由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝6 3.7.答案：D解析：三角形的两边a-c=2，cosB=35，该三角形的面积是14，∵0＜B ＜π，∴sinB ＝45,又14=12ac 45⨯,所以ac=35, 35{ 2ac a c =∴-= 7{ 5a c =∴=∴这个三角形的此两边长分别是5和7． 8.答案：A解析：成等差数列，，又，，，①又，② 由①②得，9.答案：A解析：因为，所以； 又因为，所以，所以10.答案：A 解析：中，，，的最大内角为A ，且所以cosA=0.12511.答案：D,,A C B Q 2C A B ∴=+A B C π++=3C π∴=222222cos c a b ab C a b ab ∴=+-=+-2222()626c a b a b ab =-+=+-+6ab =11sin 622ABC S ab C ∆∴==⨯=1sin 2S bc A ===2c =222cos 2b c a A bc+-=2194212a +-=a =解析： 即 12.答案：C解析：在中，总有，利用关系式并化去角，即，运用两角和的正弦公式展开并化简得，又因为的内角，所以.13.答案：C 解析：因为，解得. 所以. 所以的面积为. 14.答案：C解析：如图，由题意可得90ACB ∠=︒，在Rt ACB ∆中， 22222AB CA CB a a =+=+22a =，∴AB =。

即则A 、B。

15.答案：Csin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===Q sin :sin :sin ::::222a b cA B C a b c R R R∴==::2a b c =ABC △A B C π++=C A B sin sin cos 2=⋅C ()2cos sin sin B A A B =+()sin 0A B -=A B 、ABC △A B =2()13cos 11AB BC AB AC AB AB AC AB A ⋅=⋅-=⋅-=⨯-=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2cos 3A=sin 3A ==ABC∆11sin 132232AB AC A ⋅⋅=⨯⨯⨯=解析：由正弦定理得16.答案：B解析：由正弦定理得，得 ，，则或.当时，由三角形的内角和定理得； 当时，由三角形的内角和定理得. 因此，或. 17.答案：D解析：由正弦定理可得；sinA ：sinB ：sinC=a ：b ：c=2：3：4 可设a=2k ，b=3k ，c=4k （k ＞0）由余弦定理可得，cosC=1-4,选D 18.答案：D解析：由余弦定理得，解得（舍去），故选D.19.答案：B解析： ∵asin A ＝b sin B ，∴sin A sin B ＝a b ＝53. 20.答案：A解析： 由题意知∠ABC ＝30°，由正弦定理AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB，∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sin ∠ABC ＝50×2212＝50 2 (m)．21解：在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 成等差数列，sin sin sin(18012015)c B b C ====--oo o o sin sin AB AC C B=∠∠1sin 2sin 12AB B C AC ⋅∠∠===AB AC >Q C B ∴∠>∠60C ∠=o 120o 60C ∠=o 18090A B C ∠=-∠-∠=o o 120C ∠=o 18030A B C ∠=-∠-∠=o o 30A ∠=o 90o∴∠B=60°，又BC=2，BA=1, ∴由余弦定理知：AC 2=BC 2+BA 2—2BC ·BAcos ∠B=22+12—2×2×1×cos60°=3 ∴AC=3，即AC 的长为3。

22解：在△ABC 中，∵2cos(B+C)—1=0， ∴cos(B+C)=12 ，∴cosA=﹣12， 又AB=4， AC=6， ∴由余弦定理知：BC 2=AB 2+AC 2—2AB ·ACcos ∠A=42+62—2×4×6×（﹣12 ）=76∴BC= 219 ，即 BC 的长度为219。

23解：由三角形的面积公式知：S △ABC =12acsinB ， 由题意知：在△ABC 中，a=6， c=23，面积为33， ∴33 =12×6×23sinB ，∴sinB=12，又0°＜B ＜180°，∴∠B=30°，或∠B=150°， 即∠B=30°，或∠B=150°。