解析解析几何中;^点定值问题1.已知椭圆C 中心在原点，焦点在X 轴上，焦距为2,短轴长为2JJ ・（I ）求椭圆C 的标准方程:（II ）若宜线y = kx + m （k^0）^9椭圆交于不同的两点M 、N （M. N 不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ・ 求证：直线/过定点，并求出世点的坐标.解：（I ）设椭圆的长半轴为d,短半轴长为/八 半焦距为C,则•••椭圆C 的标准方程为乂+21 =4 3y = fcx + m（3 + 4A-）A -' + 8fom- + 4加2 -12 = 0 .由题意△ = （8加）2-4（3+4，）（4加 2-12）＞0, 整理得：3+4jt--/zr >0①设M （Xpy,）s 川（花」2），则Shfi 4m--n由已知.AM 丄AN.且椭圆的右顶点为A （2,0）, •••（人・|-2）（勺一2） +）小=0・ 即+（加一 2）（X （ +x,） + «r+4 = 0,-…… /- , T\ 4w" —12 Z, 宀\ Sfoti … 也即（+*-）• 3 + 俯 +（如"一2）・^7^ + "广+"°'整理得7ftr +16,戚+ 4^2 = 0・2c = 2. -2/? = 2点a- =h- +C-,解得f _；k=73,（11）由方程组10分解得〃一汰或"一〒均满足①当m = -2k 时，宜线/的方程为y = kx-2k •过泄点(Z0),不符合题意舍去;2.在直角坐标系兀0y 中，点M 到F I (-A /3,0). F2(J 亍.0)的距离之和是4,点M 的轨迹C与X 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的宜线/： y = kx + b^轨迹C 交于不同的两点P 和(1)求轨迹C 的方程:(2) 当AP AQ = 0时，求k^h 的关系，并证明宜线/过定点.解：(1) •••点M 到(-JMo), (73,0)的距离之和是4.的轨迹C 是长轴长为4,焦点在X 轴上焦距为2 的椭圆, 次方程为乂+),2=1.4(2)将y = h:+h.代入曲线C 的方程,所以△ = 64 疋沪 一4（1 + 4鸟2）（4 沪-4） = 16（4疋一沪 + 1）＞0・ 设P (引yj ，Q (心比)，则8kbX + £ = ------ 7-1 + 碌2且 V I * >2 =（U +b ）（g +h ） = k~x^x^+kh{x^ + ） + />" ■ 显然，曲线C 与兀轴的负半轴交于点A(-20),当m = ~时，直线/的方程为y = k2）X ——7丿2故直线/过楚点，且定点的坐标为(彳,0).13分（1 + 4妒）F+8肋・丫 + 4〃2-4 = 0 ,因为宜线/与曲线C 交于不同的两点P 和e ，y。
）X4沪-4得所以AP = Cv,+2,y,)> 20 =(兀2+2』2"由AP AQ = O ,得(西+2)(欠2 + 2) +开『2 =0・将②、③代入上式，整理得\2k- -\()kh + 5h- =0.10分所以(2k-〃)(6R-5b) = 0,即"="或b = 经检验，都符合条件①. ^5当h = 2k时，直线/的方程为y = h:+2k •显然，此时宜线/经过崔点(-2,0)点•即宜线/经过点A ,与题意不符.当h = -k时，直线/的方程为)，=尬+仝£ =狀/+2)・显然，此时直线/经过定点(--,0)5 56 5 点，且不过点A •综上，k^b的关系是：h = -k,且直线/经过宦点(--,0)点. ^5 13分3.已知椭圆C：2 +与=1 (a>b>0)的离心率为丄，以原点为圆心，椭圆的短半轴a- b-2为半径的圆与直线犬-y + A = 0柑切.求椭圆C的方程:(11) 设P(4,0), A, B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结阳交椭圆C于另一点£\证明直线AE^x轴相交于定点2：(III) 在(H)的条件下，过点e的宜线与椭圆C交于M, N两点，求OM・ON的取值范豚C I解:(1 )由题意知e = - =丄a 2又因为b = ^= = ®TT+T所以<r =4> lr=3.故椭圆C的方程吟+ ¥ =(11)由题意知直线的斜率存在，设宜线刖的方程为y = k(x-4}.y = k(x - 4),由.兀2 ),2 得(4R2+3)x2-32比2兀 + 64疋-12 = 0.- H -- = 1.U 3设点B(-Vp3'|)- £(兀2*2”则人(召，一”)・直线人£的方程为y-y,=A±2L(x-xJ,将>')=/r(x,-4). $2=«(兀2 一4)代入,整理，得牙=2小2 -4(儿Xj + X, — 8由①得册+"詳粘=代入②"4«・+3 " 4X+3整理，得% = 1 •所以直线AE^x轴相交于总点fi(tO)・(III)当过点2宜线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y = /«(%-!),且M(心，〉切” N(心丿冋)在椭圆(？上・y = 〃心一1),由* 丫2 空2 得(4/?r + 3)%' -8/jrx+4/n" -12 = 0 ._ + 2_ = il4 3S ■8/»- 4肿一12 9m-1 1 22 33则阪•顾7皿+皿厂-普罟"}両吋.因为心，所以一汁审寸0.所以丽•莎e[-4,-2）.4当过点e直线MN的斜率不存在时，其方程为x = l・解得N（l,-一）・2 2此时丽• ON=--.4______ 513分所以OM-ON的取值范围是[-4,_一44,已知斤(-1,0),巧(1.0)是椭圆C的两个焦点，A、S为过片的宜线与椭圆的交点，且△冇AB的周长为4j5・(I)求椭圆C的方程;5)«兩+兩是否头從饥若是求出这个值'若不是说明理帆解：(I )由椭圆世义可知，4a = 4jJ，c =所以a= A/3.Z> = d-1 = 72所以椭圆方程为兰+21=13 2(II)设/1(召,”),3也』2)(1) 当直线斜率不存在时，有斗=吃=一1,廿=羊，(2)当直线斜率存在时，设直线方程为y = ^x + l)代入椭圆方程，并整理得:(2 + 3k-}x' + hk-x + 3疋一 6 = 06^- 猱2 - A所以X, + X, ----- ，召“2= --- 7 (或求出的值)2 + 3k 2 + 3kJl + k2 店+1|、2+1『J I + £2 X 卜3*2 _6Jl + k ，12分13分5•已知椭圆C ：4 + ^ = H (a>b>0)的两焦点分别为斤、F"斤巧=4X /7离心率 h'"琴•过直线/A ■上任意-点M ，引椭圆C 的两条切线，切点为八B.(1)在圆中有如下结论：“过圆x' + r = r ±一点Pdodo)处的切线方 程为:兀尤+凡『=^”・由上述结论类比得到：“过椭圆亠+真=1(«>b>0),上一点a' IrP (心•儿)处的切线方程"(只写类比结论・不必证明)• (2) 利用(1)中的结论证明宜线AB 恒过泄点(2近2 (3) 当点M 的纵坐标为i 时•求的而积.所以F\B^(x,+!)-+＞； Jg + lF+y ；--- 1 - - 16.在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆9 5 的左、右顶点为A、B,右焦点为F。
设过点T 的直线TA、TB与椭圆分别交于点］4（兀1小）、皿心必），其中ni＞0,乃＞°丿2 V 0(1) 设动点P满足PF?-P炉=4,求点P的轨迹:(2)设兀1 = 2,兀2=^,求点T的坐标;(3) 设f = 9,求证，直线MN必过X轴上的一定点（其坐标与m无关）。
【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。
考查运算求解能力和探究问题的能力。
解：(1)设点 P(X, y),则J F (2, 0)、B (3, 0)、A (-3, 0)。
山P护-刘2=4,得（兀-2）2+昇-［0-3）2+尸］=4,化简得9x =—2。
9X =—故所求点P的轨迹为直线 2。
（2）将©一 2內一 3分别代入椭圆方程，以及乃＞°必uO得:5M (2,3 )、1 _20 N(3 , T )y-0 _ A -3 "ig —'T-： 5 9 3 ,即尸6（3）点T 的坐标为（9"） 7-0 _ A +3直线MTA 方程为：《?-0一9+3, y _0 _ X-3直线VTB 方程为：云了一厂^,歹一0 x+3直线MTA 方程为：3 2+3 V= 一入+1，即 3 ,直线NTB 方程为: （呼，0兰亠1分别与椭圆95联立方程组，同时考虑到兀1工-3山2 = 3,解得:二）心卑_举 80+“ . 20+W 20+w5 2.(方法一)当XiHx：时，直线MN方程为:"亠20m 尸20+加240加丄20m80+炖2 20+/ 80+沪3防一20）3（80 ）令y=Q,解得：此时必过点D (1, 0)；当^1 = ^2时，直线MN方程为：= b bx轴交点为D <b O)o所以直线MX必过X轴上的一定点D (1, O)o240-3/ _ 3羽2 _ 60（方法二）若= 则山—20+/ 及勿＞0,得m=2A/10,点©此时直线MX的方程为= b过点D (1, 0)。
若兀1工％则加=2血，直线MD的斜率40/80+/ _ 10叨240 —3W3^ ] 40 —80 +»?直线XD的斜率-20w卜 _ 20+/ _ 1°曲加_3宀 60 一20 W "得= 所以直线MN过D 因此，直线MX必过X轴上的点(1, 0)o。