湖南省长沙市浏阳市六校联考2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合U ={x ∈N|0⩽x ⩽9}，M ={1,3,6}，N ={0,2,5,6,8,9}，则(C U M)∩N =( )A. {2,5，8，9}B. {0,2，5，8，9}C. {2,5}D. {2,5，6，8，9}2. 函数y =√x 2−5x 的单调递增区间是( )A. [52,+∞)B. [52,5]C. [5,+∞)D. [0,52),[5,+∞)3. 已知向量a ⃗ =(1,1),2a ⃗ +b ⃗ =(4,3),c ⃗ =(x,−2)，若b ⃗ //c ⃗ ，则x 的值为( )A. 4B. 2C. −4D. −24. 已知点是角α终边上一点，则)A. √32+12B. −√32+12 C. √32−12D. −√32−125. 已知函数f(x)={2x ,x ≤2x −1,x >2，则f(f(3))等于( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 设，b =315，c =(15)0.4，则有( )A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. c <b <a7. 远望灯塔高七层，红光点点成倍增，只见顶层灯一盏，请问共有几盏灯？( )A. 64B. 128C. 63D. 1278. 将函数f(x)=sin(2x −π6)的图象向右平移π12个单位后得到的图象的一条对称轴是( )A. x =π4B. x =3π8C. x =5π12D. x =7π249. 函数f(x)=x 3−x x 2+1的图象大致为( )A. B. C. D.10. 在△ABC 中，若sin(A −B)=1+2cos(B +C)sin(A +C)，则△ABC 的形状一定是( )A. 等边三角形B. 不含60°的等腰三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形11. 已知函数f(x)={x 2+4x,x ⩾0,4x −x 2,x <0.若f(2−a 2)>f(a)，则a 的取值范围是( ) A.B. (−1,2)C. (−2,1)D.12. 已知函数f(x)=xlnx ，则f(x)极小值为( )A. 1eB. eC. −1eD. −e二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知幂函数的图象过点(2,√2),则f(9)=___________． 14. 函数f(x)=√4−x +lg(x −1)的定义域为______．15. 已知向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为30°，且|a ⃗ |=√3,|b ⃗ |=1，设m ⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ,n ⃗ =a ⃗ −b ⃗ ，则向量m⃗⃗⃗ 在n ⃗ 方向上的投影为______ ．16. 设f(x)为定义在(−3,3)上的奇函数，当−3<x <0时，f(x)=log 2(3+x)，f(1)= ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知数列{a n }是一个等差数列，且a 2=1，a 5=−5(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和的最大值．18. 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知∠B =π12，c =b(1+2cosA)，求角A ．19.在等差数列{a n}中，a2=6，S4=20(1)求数列{a n}的通项公式；(n∈N∗)，T n=b1+b2+...+b n(n∈N∗)，求T n．(2)设b n=2n(12−a n)20.西部大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y(元)与用电量x(度)的函数图象是一条折线(如图所示)，根据图象解下列问题：(1)分别写出当0≤x≤100和x≥100时，y与x的函数关系式；(2)利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；(3)若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？21.已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=−x2+4x．(1)当x<0时，求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间[−1,a−2]上单调递增，求实数a的取值范围．22.已知函数f(x)=xe x+x2−x．(1)求f(x)在x=1处的切线方程；(2)若对任意x∈(0,+∞)都有f(x)≥ln x+x2+(a−2)x+1恒成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了补集与交集的定义和运算问题，是基础题目．根据补集与交集的定义进行计算即可．解：由题意得，U={0,1，2，3，4，5，6，7，8，9}，则C U M={0,2，4，5，7，8，9}，∴(C U M)∩N={0,2，5，8，9}，故选B．2.答案：C解析：本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．令t=x2−5x≥0，求得函数的定义域，根据y=√t，本题即求函数t在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质可得结论．解：令t=x2−5x≥0，求得x≥5或x≤0，故函数的定义域为{x|x≥5或x≤0}，且y=√t，故即求函数t在定义域内的单调递增区间，再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为[5,+∞)．故选C．3.答案：C解析：可求出b⃗ =(2,1)，从而根据b⃗ //c⃗得出x+4=0，解出x=−4．考查向量坐标的减法和数乘运算，平行向量的坐标关系．解：b⃗ =2a⃗+b⃗ −2a⃗=(2,1)；∵b⃗ //c⃗；∴x+4=0；故选C ．4.答案：D解析：本题考查了任意角的三角函数和诱导公式，属于基础题目． 现由任意角的三角函数得出，再由诱导公式得出结果．解：由点是角α终边上一点，可得．故选D ．5.答案：D解析：解：∵函数f(x)={2x ,x ≤2x −1,x >2，∴f(3)=3−1=2， f(f(3))=f(2)=22=4． 故选：D ．先求出f(3)=3−1=2，从而f(f(3))=f(2)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．6.答案：B解析：解：，b =315>30=1， 0<c =(15)0.4<(15)0=1， ∴a <c <b ． 故选：B ．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．解析：解：由题意各层塔上灯的个数成等比数列， (从上往下)且首项a 1=1，公比q =2， 故S 7=1×(1−27)1−2=127故选D由题意各层塔上灯的个数成等比数列，首项a 1=1，公比q =2，求其前7项和即可． 本题考查等比数列的前n 项和公式，得出数列的首项和公比是解决问题的关键，属基础题．8.答案：C解析：求出平移变换后的函数的解析式，然后判断函数的对称轴即可．本题考查三角函数的图象的平移变换，函数的对称轴方程的判断，考查计算能力．解：将函数f(x)=sin(2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)=sin[2(x −π12)−π6]=sin(2x −π3)的图象，当2x −π3=kπ+π2，k ∈Z 时，函数g(x)取得最值， 所以x =kπ2+5π12，k ∈Z 是函数g(x)图象的对称轴．取k =0，得到图象的一条对称轴是x =5π12．故选：C ．9.答案：B解析：本题考查了函数的奇偶性和函数图象的应用，属于基础题． 由f(−x)=(−x)3−(−x)(−x)+1=−f(x)，即函数y =f(x)为奇函数，排除答案A ，C ，观察当−1<x <0时，x 3−x −(x 2+1)=x 2(x −1)−(x +1)<0，所以x 3−x x +1<1，故排除答案D ，即可得解解：因为f(x)=x 3−xx 2+1，此函数定义域为R ，又因为f(−x)=(−x)3−(−x)(−x)2+1=−f(x)，所以函数y =f(x)为奇函数，其图象关于原点对称， 故排除答案A ，C ， 当−1<x <0时， x 3−x >0，x 2+1>0，x 3−x −(x 2+1)=x 3−x 2−x −1=x 2(x −1)−(x +1)<0， 所以x 3−x x 2+1<1，所以排除答案D ， 故选：B ．10.答案：D解析：解：∵sin(A −B)=1+2cos(B +C)sin(A +C)， ∴sinAcosB −cosAsinB =1−2cosAsinB ， ∴sinAcosB +cosAsinB =1， ∴sin(A +B)=1， ∴sinC =1． ∵C ∈(0,π)， ∴C =π2．∴△ABC 的形状一定是直角三角形． 故选：D ．利用三角形内角和定理、诱导公式、和差公式即可得出．本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：C解析：本题主要考查了分段函数单调性的应用，属于基础题． 解决此题的关键是根据f(x)的解析式得到f(x)在上为增函数，进而建立关于a 的不等式求解．。