目录摘要 (1)Abstract (2)引言 (3)1 线性变换 (4)1.1 线性变换的定义 (4)1.1.1 线性变换的概念 (4)1.1.2 线性变换的矩阵及矩阵表示 (4)1.2 矩阵的相似对角化问题 (5)1.2.1 相似对角化问题 (5)1.2.2 矩阵的特征值与特征向量 (5)2 线性变换的对角化 (7)2.1 线性变换的对角化 (7)2.1.1 线性对角化的提出 (7)2.1.2 线性对角化的定义 (7)2.2 线性变换的特征值与特征向量 (7)2.2.1 线性变换的特征值与特征向量的概念 (7)2.2.2 线性变换的特征多项式 (7)2.3 线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系 (8)2.3.1 特征值与特征向量的联系 (8)2.3.2 线性变换对角化与矩阵相似对角化之间的关系 (9)2.3.3 线性变换可对角化的充要条件及推论 (9)2.3.4 求线性变换对角化的方法和步骤 (10)3 线性对角化问题的相关题目 (14)总结 (16)参考文献 (17)致谢 (18)摘要线性变换是贯穿高等代数的重要内容之一，其研究价值不言而喻。

本文尝试通过探讨矩阵对角化的知识点类比线性变换对角化的知识点，再通过矩阵的特征值与特征向量，以线性对角化问题为主要线索，着手研究线性变换特征值与特征向量的求解步骤以及线性对角化的基本条件，并且总结说明线性变换的对角化与矩阵对角化的联系，更进一步的，加深了解矩阵对角化与线性对角化的内容及要点。

关键词：线性变换的对角化问题；矩阵；特征值；特征向量Linear transformation is an important part of higher algebra through its research value is self-evident. This paper attempts to explore the matrix diagonalization by knowledge points of analog linear transformation diagonalization knowledge, and through the eigenvalues and eigenvectors of the matrix, linear diagonalization problem as the main clue, started studying linear transformations eigenvalues and eigenvectors steps to solve the basic conditions and linear keratosis, and summary description of the linear transformation matrix diagonalization diagonalization with links to further deepen understanding of linear matrix diagonalization diagonalization content and points.Keywords: Changing existing diagonalization；Matrix；Eigenvalues；Eigenvectors线性变换的对角化问题作为重要的数学课程，在高等代数的地位不言而喻，高等代数是数学与应用数学专业最主要的基础课之一，它在初等代数的基础上对研究对象进行进一步的扩充，并引进了许多新的概念以及与通常情况很不相同的量，比如最基本的有集合、向量和向量空间等。

在线性变换的对角化问题中，本文提出矩阵相似对角化问题，给出矩阵的特征值与特征向量等概念，在此之后总结它们与矩阵特征值和特征向量之间的关系,并把线性变换与矩阵对角化问题之间的密切关系探究清楚。

充分应用探究的结论，最后使我们通透掌握线性变换的对角化与矩阵相似对角化的内在联系与区别。

尝试将整个内容贯穿在一条主线，以分析线性变换和矩阵的特征值、特征向量与特征多项式为重点，总结说明在这几方面的联系，并且归纳求解线性变换特征值与特征向量的方法步骤，使整个内容清晰简洁，做到一目了然。

将线性变换的对角化与矩阵对角化之间的关系梳理更加清晰，易于掌握与通透理解。

1 线性变换1.1 线性变换的定义 1.1.1 线性变换的概念定义1 设V 是数域F 上的线性空间，σ是V 到自身的一个映射，即对于V 中的任意元素x 均存在唯一的V y ∈与之对应，则称σ为V 的一个变换或算子，记为y x =σ,称y 为x 在变换σ下的象，x 为y 的原象。

若变换σ还满足)()()(x l x k ly kx σσσ+=+ F l k V y x ∈∈∀,,,称σ为V 的线性变换。

1.1.2 线性变换的矩阵及矩阵表示定义2 设V 是数域F 上一个n 维向量空间，令σ是V 的一个线性变换。

取定V 的一个基n ααα,,,21 ， 令,)(12211111n n a a a αααασ+++= ,)(22221122n n a a a αααασ+++=.)(2211n nn n n n a a a αααασ+++=这里n j i a ij ,,1,, =就是)(j ασ关于基n ααα,,,21 的坐标。

令n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a aa a a A212222111211 那么这个n 阶矩阵A 叫做线性变换σ关于基{n ααα,,,21 }的矩阵。

矩阵A 的第j 列的元素就是)(j ασ关于基{n ααα,,,21 }的坐标。

1.2 矩阵的相似对角化问题 1.2.1 相似对角化问题1 对角矩阵设A 是数域F 上的矩阵，形如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A λλλ 00000021 的矩阵，我们把A 叫做对角矩阵。

2 相似矩阵对于n 阶方阵A 和B , 若有可逆矩阵T 使得B AT T =-1,则称A 相似于B , 记作B A ~，T 称为由A 到B 的相似矩阵。

3.矩阵相似对角化定义3 设A 是数域F 上一个n 阶矩阵。

如果存在数域F 上一个n 阶可逆矩阵T 使得AT T 1-为对角矩阵，那么矩阵A 可对角化。

1.2.2 矩阵的特征值与特征向量定义4 设A 是一个n 阶方阵，λ是一个数，如果方程XAX λ=存在非零解向量，则称λ为A 的一个特征值，相应的非零解向量X 称为属于特征值λ的特征向量。

如果n n x x x X ααα+++= 2211是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，那么我们有⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x x x x A 2121λ 即i i x Ax λ=，其中n i ,,2,1 =。

定义5 设)(ij a A =是数域F 上的n 阶矩阵，λ是参数，A 的特征矩阵A I -λ的行列式()nnn n nn a a a a a a a a a A I ---------=-λλλλ212222111211det 称为矩阵A 的特征多项式。

它是数域F 上的一个n 次多项式，记为()λϕ。

()λϕ的根(或零点) 0λ称为A 的特征值（根），而相应于方程组的非零解向量()T n ξξξ,,,21 称为A 的属于特征值0λ的特征向量。

2 线性变换的对角化 2.1 线性变换的对角化 2.1.1 线性对角化的提出设V 是数域F 上的n 维线性空间（记为n V ），σ是线性空间V 的一个线性变换，任取V 的一组基{}n ααα,...,,21，设σ在这组基下的矩阵为A 。

那能否找到V 的一组基，使得σ在这组基下的矩阵是一个对角阵呢？接下来，我们就来寻找这组基，由此引出线性变换对角化的问题。

假设这组基存在，我们不妨把它设为{},...,21n εεε，，使得()()()F d d d d diag D D i n n n ∈==,...,,,,...,,,...,,212121εεεεεεσn i d i i i ,...,2,1,==εσε则，可见i ε，i d 满足方程∂=∂d σ，即满足线性对角化。

2.1.2 线性对角化的定义定义1 设σ是n 维线性空间V 的一个线性变换，如果存在V 的一个基，使σ在这组基下的矩阵为对角矩阵，则称线性变换σ可对角化。

2.2 线性变换的特征值与特征向量 2.2.1 线性变换的特征值与特征向量的概念定义2 设σ是数域F 上线性空间V 的一个线性变换，如果对于数域F 中的任一数λ，存在一个非零向量ξ，使得 λξξσ=)(则λ称为σ的一个特征值，而ξ称为σ属于特征值λ的一个特征向量。

2.2.2 线性变换的特征多项式定义3 设σ是数域F 上的一个线性变换，A 是F 上的n 阶矩阵，λ是一个数，线性变换σ关于矩阵E A λ-的行列式nnn n nn a a a a a a a a a E A ---------=-λλλλ212222111211称为线性变换σ的特征多项式，这是数域F 上的一个n 次多项式。

2.3 线性变换对角化与矩阵对角化之间的联系 2.3.1 特征值与特征向量的联系定理[5] 设V 是数域F 上一个线性空间, σ是V 的一个线性变换，σ在V 的一个基{}n ααα,...,,21下的矩阵为A ，如果0,≠∈ξλK ，那么：⑴λ是σ的特征值⇔λ是矩阵A 的特征值；⑵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n x x x 2121),,,(αααξ是σ的属于特征值λ的特征向量⇔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。

证明：由假设A n n ),,,())(,),(),((2121αααασασασ =，及⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n x x x 2121),,,(αααξX n ),,,(21ααα =又)(ξσ在基),,,(21n ααα 下的坐标为AX 。

λξξσ=)(表明)(ξσ在基),,,(21n ααα 下的坐标为X λ。

因此，当λ是σ的特征值时，AX =X λ。

联系：由于,0≠ξ故X 是非零向量，这说明λ是矩阵A 的特征值。

X 是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量。

如果λ是矩阵A 的特征值，而T n x x x X ),,,(21 =是A 的属于λ的特征向量，那么AX =X λ。

且0≠X ，即)(ξσ与λξ在基),,,(21n ααα 下的坐标是一样的。

所以λξξσ=)(。

又02211≠+++=n n x x x αααξ，所以λ是σ的特征值，而ξ是σ的属于特征值λ的特征向量。

线性变换σ在数域F 中某一组基下的矩阵是A ，如果0λ是线性变换σ的特征值，那么0λ一定是矩阵A 的特征多项式的一个根；反过来，如果0λ是矩阵A 的特征多项式在数域P 中的一个根，即00=-E A λ，那么0λ就是线性变换σ的一个特征值。