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浅谈线性变换对角化问题ppt
研究目的:
本课题的主要目的是通过对 易理解的矩阵的对角化问题 的具体分析以及相对复杂线 性变换的对角化问题的探讨, 使我们更轻松的理解并掌握 线性变换的对角化问题。
研究意义:
矩阵的对角化问题在高等代数中扮演 着很重要的角色,在很多方面都有其 重要的作用(例如求方阵的高次幂、 利用特征值求行列式的值、由特征值 与特征向量反求矩阵、判断矩阵是否 相似、求特殊矩阵的特征值)。
研究现状:
矩阵对角化在国内外已有一定的研究。早在十 九世纪末,人们在研究行列式的性质和计算时, 提出了对角矩阵的概念,由于计算机的发展, 更是为矩阵对角化的应用开辟了广阔的前景, 它经常出现在诸如可用于求解微分方程组,用 于研究数理统计量的分布,还有用于研究集合 曲面的标准形等不同的科技领域中,这就使得 对角矩阵成为计算数学中应用及其广泛的矩阵。
定理4 复数域上每一个 n阶矩阵 A都与一个若尔 当标准形相似。这个若当形矩阵除去其中若当块 的排列次序外是被矩阵A 唯一决定的。它称为 A 的若尔当标准形。 定理5 n级方阵可对角化的充要条件它的初等 因子都是一次的。
二 、n级实对称矩阵的可对角化 讨论
定理6 n级实对称矩阵A ,B ,若A 与B相似,则 A 与B 合同。
一、首先从特征值,特征向量入手讨论n 级方阵可对角化的相关条件
定理1 一个 n级方阵 A可对角化的充要条件是它有 n 个线性无关的特征向量。 定理2 矩阵 A的属于不同特征值的特征向量是线 性无关的。 定理3 n阶矩阵A 可对角化的充要条件是:A 的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大 个数等于特征值的重数。
本课题的研究内容:
本课题拟从以下几个方面研究: 一、首先从特征值,特征向量入手讨论n级方阵可对角化 的相关条件 二、n级实对称矩阵的可对角化讨论 三、几种常用矩阵的对角化问题讨论 1、非零幂零矩阵一定不可对角化 2、对合矩阵一定可对角化 3、幂等矩阵一定可对角化 四、 可对角化矩阵的应用 1.讨论幂等矩阵的秩与迹的关系 2.求方阵的高次幂 3.由特征值和特征向量反求矩阵 4.判断矩阵是否相似 5.求行列式的值 6. 在几何上的应用
3.1非零幂零矩阵一定不可对角化
例1 非零幂零矩阵一定不可对角化。
推论 幂零阵若可对角化,则它一定是零矩阵。
3.2对合矩阵一定可对角化
设 A为对合阵,则 A E
2
。
3.3幂等矩阵一定可对角化
设幂等矩阵A ,满足 A A
2