浦东新区2019学年度第二学期期中教学质量监测高三数学答案及评分细则2020.05一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．设全集{}210,,U =，集合{}10,A =，则=A U C {}2 ．2. 某次考试，5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96，则这组数据的中位数为 100 ．3. 若函数()21x x f =，则()=-11f1 ．4. 若i -1是关于x 的方程02=++q px x 的一个根（其中i 为虚数单位，R q ,p ∈），则=+q p 0 ．5.41:则这两个球的体积之比为 81: ．6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧=-=1，圆O 的参数方程为()为参数θ⎩⎨⎧θ=θ=sin y cos x ，则直线l 与圆O 的位置关系是 相交 ． 7. 若二项式()421x +展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→n n x x x x Λ32lim ．8. 已知双曲线的渐近线方程为x y ±=，且右焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则这个双曲线的方程是__12222=-y x __________.9. 从()4N ≥∈*m m m ，且个男生、6个女生中任选2个人当发言人，假设事件A 表示选出的2个人性别相同，事件B 表示选出的2个人性别不同．如果A 的概率和B 的概率相等，则=m 10 ．10. 已知函数()()2222-+++=a x log a x x f 的零点有且只有一个，则实数a 的取值集合为 {1} ．11. 如图，在ABC ∆中，3π=∠BAC ，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足AB AC t AP 31+=，若ABC ∆的面积为233，则AP 的最小值为 2 . 12.已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n n n b a b a b +=+-+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 .【解】()112+2nn n n n n n a b a b a b +++=⇒+=，11122n n n n n n n a b a b a b -++=⇒+=，12333n n n n c +=⋅=-，2021202033S =-二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须51在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．若x 、y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-010y y x y x ， 则目标函数y x f +=2的最大值为( B )A ． 1B ． 2C ． 3 D. 4 14. 如图，正方体ABCD D C B A -1111中，E 、F 分别为棱A A 1、BC 上的点，在平面11A ADD 内且与平面DEF 平行的直线( C )A ． 有一条B ． 有二条C ． 有无数条 D. 不存在15. 已知函数()x cos x cos x f ⋅=.给出下列结论：①()x f 是周期函数； ② 函数()x f 图像的对称中心+,0)()2（ππ∈k k Z ；③ 若()()21x f x f =，则()Z k k x x ∈π=+21；④ 不等式x cos x cos x sin x sin π⋅π>π⋅π2222的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+<<+Z k ,k x k x 8581. 则正确结论的序号是 ( D )A ． ① ②B ． ② ③ ④C ． ① ③ ④ D. ① ② ④16. 设集合{}1,2,3,...,2020S =，设集合A 是集合S 的非空子集，A 中的最大元素和最小元素之差称为集合A 的直径. 那么集合S 所有直径为71的子集的元素个数之和为( C )A ． 711949⋅B ． 7021949⋅ C ． 702371949⋅⋅ D. 702721949⋅⋅三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴顺时针旋转ο120得到的．（1）求此几何体的体积；（2）设P 是弧EC 上的一点，且BE BP ⊥，求异面直线FP 与CA 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）【解答】（1）因为34232212122π=⨯π⨯=θ=r S EBC 扇形．…………（4分） 所以，38234π=⨯π=⋅=h S V ．………（7分）（2）如图所示，以点B 为坐标原点建立空间直角坐标系．则()200,,A ，()202,,F ，()020,,P ，()031,,C -．所以，()222--=,,FP ，()231--=,,AC .…………………（11分）设异面直线FP 与CA 所成的角为α，则z=αcos426+=.…………（13分） 所以，异面直线FP 与CA 所成角为426+=αarccos.…………（14分） 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知锐角βα、的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴正方向重合，终边与单位圆分别交于P 、Q 两点，若P 、Q 两点的横坐标分别为55210103、． （1）求()β+αcos 的大小；（2） 在ABC ∆中，c b a 、、为三个内角C B A 、、对应的边长，若已知角β+α=C ，43=A tan ，且22c bc a +λ=，求λ的值． 【解答】（1）由已知cos =sin =cos 101055ααββ==，………… (2分) 因而cos(+)=cos cos sin sin αβαβαβ-==…………（6分） （2）法一：（正弦定理）由已知，,cos C C C π===………….(7分) 34sin sin()sin()4525210B AC A π=+=+=⨯+⨯=…………(10分) 222291sin sin 1=sin sin 5a c A C bc B C λ---===- …………(14分) 法二：（余弦定理）2222cos a c b bc A -=-，因而由已知得2428sin 88152cos =5sin 555b cb B b bc A bc c c C λλ-⨯-⇒==-=-=-=- 法三：（余弦定理、正弦定理）cos cos()410B C π=-+=-因而由余弦定理得：2222222cos cos cos 2cos b a c ac B a c B b C c a b ab C⎧=+-⨯⇒=+=+⎨=+-⨯⎩ 同理 2222222cos 4cos cos 52cos a b c bc A b c A a C c c a b ab C ⎧=+-⨯⇒=+=⎨=+-⨯⎩得7,55c a b ==得221=2a c bc λ-=-()()()()()()()()()222222231222223212-++-⋅-++--⨯-+⨯+-⨯-=法四：（射影定理）可得cos cosa c Bb C=+=，4cos cos5b c A a C c=+=下同解法二19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.疫情后，为了支持企业复工复产，某地政府决定向当地企业发放补助款，其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案．方案要求同时具备下列两个条件：①补助款()f x（万元）随企业原纳税额x（万元）的增加而增加；②补助款不低于原纳税额x（万元）的50%．经测算政府决定采用函数模型()44x bf xx=-+（其中b为参数）作为补助款发放方案．（1）判断使用参数12b=是否满足条件，并说明理由；（2）求同时满足条件①、②的参数b的取值范围．【解答】（1）法一：因为当12b=时，()33342f=<，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）法二：由条件②可知()[]12144,1242xf x x xx=-+≥⇔∈．因为[]34,12∉，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）法三：由条件②可知()2xf x≥在[]3,6上恒成立，所以2max144b x x⎛⎫≤-+⎪⎝⎭，解得394b≤，所以当12b=时不满足条件②．…………（6分）(注：如果证明了当12b=时满足条件①得2分)（2）法一：由条件①可知，()f x在[]3,6上单调递增，则对任意1236x x≤<≤时，有1212121212124()()44()0444x x x x bb bf x f x x xx x x x⎛⎫⎛⎫+-=-+--+=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即1240x x b+>⇔1214b x x>-恒成立，所以94b≥-；…………（10分）由条件②可知，()2xf x≥，即不等式1442x bxx-+≥在[]3,6上恒成立，所以2max139444b x x⎛⎫≤-+=⎪⎝⎭…………（13分）综上，参数b的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）法二：由条件①可知，()44x bf xx-+在[]3,6上单调递增，所以当0b≥时，满足条件；当0b<时，得3≤94b⇔-≤<，所以94b ≥-…………（10分） 由条件②可知，()2x f x ≥，即不等式44x b x +≤在[]3,6上恒成立，所以34436446b b ⎧+≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，得394b ≤ …………（13分） 综上，参数b 的取值范围是939,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．…………（14分）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是椭圆()222 10x y a aΓ+=>：的左、右焦点，直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且2221=+AF AF .（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知直线l 经过椭圆的右焦点2F ，,P Q 是椭圆上两点，四边形ABPQ 是菱形，求直线l 的方程；（3）已知直线l 不经过椭圆的右焦点2F ，直线2AF ，l ，2BF 的斜率依次成等差数列，求直线l 在y 轴上截距的取值范围.【解答】（1）由12AF +AF2a =，从而a =椭圆方程为2212x y +=. ………… (4分) （2）由于四边形ABPQ 是菱形，因此//AB PQ 且||||AB PQ =.由对称性，1F 在线段PQ 上. 因此，,AP BQ 分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直，可得AP BQ ⊥，即OA OB ⊥. ………… (6分)设:1l x my -=，与椭圆方程联立可得22(2)210m y my ++-=，设A(x 1,y 1),B (x 2,y 2),因此12222m y y m +=-+，12212y y m =-+. ………… (8分)由12120x x y y +=，可得22212122212(1)()11022m m m y y m y y m m +++++=--+=++，解得m =10x ±-=.………… (10分)（3） 设:l y kx b =+，由122k k k +=，可得1212211y y k x x +=--， 即1212211kx b kx bk x x +++=--. 化简可得1212122()()22(1)(1)kx x b k x x b k x x +-+-=--，即12()(2)0b k x x ++-=.若0b k +=，则:l y kx k =-经过2F ，不符，因此122x x +=.………… (12分) 联立直线与椭圆方程，222(21)4(22)0k x kbx b +++-=. 因为228(21)0k b ∆=-+> ①由1224221kbx x k +=-=+，可得，2212k b k +=-② ………… (14分) 将②代入①，2221421,2k k k >+>；再由11(2)2b k k=-+，可得，(,)b ∈-∞-⋃+∞. ………… (16分)21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.若数列{}n a 对任意连续三项12,,i i i a a a ++，均有()()2210i i i i a a a a +++-->，则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列：Λ,,,,,54321； ② 等比数列：Λ1618141211,,,,--； （2）若数列{}n a 满足对任何正整数n ，均有11na n a a +=()10a >.证明：数列{}n a 是跳跃数列的充分必要条件是101a <<.（3）跳跃数列{}n a 满足对任意正整数n 均有21195nn a a +-=，求首项1a 的取值范围.【解答】（1）① 等差数列：1,2,3,4,5,...不是跳跃数列；………… (2分)② 等比数列：11111,,,,, (24816)--是跳跃数列. ………… (4分)（2）必要性：若11a >，则{}n a 是单调递增数列，不是跳跃数列；若11a =，{}n a 是常数列，不是跳跃数列. ………… (6分)充分性：下面用数学归纳法证明：若101a <<，则对任何正整数n ，均有2121222221,n n n n n n a a a a a a -+++<<>>成立.（1）当1n =时，，112111aa a a a =>=， 213112aaa a a a =<=，1212131111,a a a a a a a a =<∴=>=Q ，231a a a ∴>>………… (8分)321231111342,,a a a a a a a a a a a a >>∴<<<<Q ，所以1n =命题成立………… (9分)（2）若n k =时，2121222221,k k k k k k a a a a a a -+++<<>>， 则22221212322,kk k a a a k k k aa a a a a +++++<<∴<<，212322222423,k k k a a a k k k a a a a a a ++++++>>∴>>，所以当1n k =+时命题也成立……… (10分)根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足()()2210i i i i a a a a +++-->，故{}n a 是跳跃数列.（3）()2111955n n n n a a a a +-=--， ()()22211519195125n n n n n n a a a a a a ++-=----，………… (11分) ()()()22123195125n n n n n n a a a a a a +-=----，………… (12分)[1]若1n n a a +>，则12n n n a a a ++>>，此时2n a ⎫∈⎪⎪⎝⎭；………… (14分)[2]若1n n a a +<，则12n n n a a a ++<<，此时51013,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭；………… (16分) 若5101,22n a ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则211951013,52nn a a +⎛⎫-+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭，所以()2,2n a ∈-. 若51013,2n a ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，则()21192,25nn a a +-=∈-，所以()3,21n a ∈. 所以()()12,23,21a ∈-U ，此时对任何正整数n ，均有()()2,23,21n a ∈-U ………… (18分)。