设 E 是 n 维 线 性 空 间 ， 及 是 E 上 的 两 个 范 数 ， 设
1
2
{e1 , , en } 是 E 的 一 个 基 ， 取M1 0，M2 0， 使 对 任 意
n
n
n
x
iei 都有
| i
|
M1
x
,
1
|i | M2 x 2
i 1
i 1
i 1
记
m1
max
1 i n
ei
再由 ( y, w) ( y, x) ( x, z) (z, w) 得 ( y, w) ( x, z) ( x, y) (z, w) (4)
结合(3)、(4)即得：| ( x, z) ( y, w) | ( x, y) (z, w) 3
4. ( x, y) ( x y)2是定义在实数集合上的距离吗？
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14. 试证按C[a, b]中的范数，C m[a, b] (m 1) 是 C[a, b] 的 非 闭 子 空 间. C m[a, b] 显 然 是C[a, b]的 线 性 子 空 间 ， 因 为 任一 连 续 函 数 x(t) 都 可 以 多 项 式 序 列 一 致逼 近 ， 故 多 项 式 的 全 体P 在 C[a, b]中 稠 密 （ 即P C[a, b]） ， 显 然 ，P C m[a, b]， 故 C m[a, b]＝C[a, b]， 即C m[a, b] 是 C[a, b]的 非 闭 子 空 间.
即 当n
N
时 ，xn
x
，
N
故
xn
xN
.
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10. 设 X 是 距 离 空 间 ，A、B 是 X 中 闭 集 ， 且A、B 不 相 交 ， 试 证 必 有 定 义 在 全 空 间X 上 的 连 续 泛 函f ( x)， 满 足 ：
0 f ( x) 1 (x X ) 且 x A f ( x) 0， x B f ( x) 1.
n1
M
且 A 至 多 可 数 ， 显 然A 在 M 中 稠 密 ， 故M 是 可 分 的.
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22. 试证C m[0,1] (m 1) 按 C[0,1]的距离的完备化空间是 C[0,1]. 我 们 已 经 知 道C[0,1] 是 完 备 的 距 离 空 间 ， 且每 一 连 续 函 数 都 可 以 用 多 项 式 序 列 一致 逼 近 ， 所 以 ， 多 项 式的 全 体P 在 C[0,1]中 稠 密 ， 即P C[0,1]， 但 P C m[0,1]， 故 P C m[0,1] C[0,1]， 从 而 C m[0,1] 的 完 备 化 空 间 是 C[0,1].
因 为 A、B 是 不 相 交 的 闭 集 ， 故 对任 一 且 x X，
( x, A)、( x, B) 中 至 少 有 一 个 不 等 于0， 作 函 数
f (x)
( x, A)
( x, A) ( x, B)
f ( x) 显 然 满 足 ：0 f ( x) 1 x X
且 x A f ( x) 0， x B f ( x) 1.
取 xi E0
(i 1,2 ) 使 xi x d， 则xi 是 E0 中 有 界 序 列 ，
因 E0 是 有 限维 的 ， 故xi 中 有 收敛 子 列xij ，
n
xi j x* E0 . 设 x* i ' xi， 则 i 1
x (1' x1 n' xn )
x x*
lim j
11
17. 试证任一赋范线性空间中的单位球是凸集.
设 x B(0,1)，y B(0,1)， (0,1)，则 x (1 ) y x (1 ) y 1 所以 x (1 ) y B(0,1)，即B(0,1) 是凸集，
类似地B(0,1) 也是凸集.
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18.试证有限维空间上所有范数都是等价的.
故 x A' A，即 A' A, 所 以 A 是 闭 集.
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7. 设X是 距 离 空 间 ，A X， 0， 试 证 ： G { x X | ( x, A) }是 开 集 ， F { x X | ( x, A) }是 闭 集 。
(i) 设
x0
G，则 0
( x0 , A)
再由 ( y, z) ( y, x) ( x, z)得 ( y, z) ( x, z) ( x, y) (2)
结合(1)、(2)即得：| ( x, z) ( y, z) | ( x, y)
(ii) 由 ( x, z) ( x, y) ( y, z) ( x, y) ( y, w) (w, z)得 ( x, z) ( y, w) ( x, y) (z, w) (3)
， 令
，
0
则
当
y
B(
x0
,
2
)时 ， (
y,
A)
(
y,
x0
)
(
x0
,
A)
1 (
2
0)0
.
所
以B(
x0
,
2
)
G，
故
G
是
开
集.
(ii) 设x0 F '， 则 存 在xn F，xn x0，
对 每 个n， 取xn'
A， 满 足 (
xn ,
xn ' )
1，则 n
( x0 ,
A)
( x0 ,
xn )
( xn ,
2. 试证距离空间 X 中的序列{ xn } 收敛于 x* X { xn } 的任一子列收敛于 x *.
设xn x * (n )，{ xnk }是{ xn }的 任 一 子 列 ， 依 条 件 ，
( xn , x*) 0， 故 ( xnk , x*) 0， 所 以xnk x * .
iii) 设x，y，z X， 则 ( x, y) ( x, z) (z, y)
~( x, y) ( x, y) 1
1
1
1
1 (x, y)
1 (x, y)
1 (x, z) (z, y)
(x, z)
(z, y)
1 (x, z) (z, y) 1 (x, z) (z, y)
( x, z) (z, y) ~( x, z) ~(z, y) 1 (x, z) 1 (z, y)
x E，证明存在n 个实数 1', , n'，使得
x (1' x1
n' xn )
inf 1 , ,n
x (1 x1
n xn )
记 E0 L{ x1, , xn }， 则 E0 是 E 的 n 维 子 空 间 ， 令
inf
1 , ,n
x (1 x1
n xn )
(x, E0) d,
x
xi j
d.
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20. 设 X 是距离空间，试证：A X 是稀疏集（即 A 没有 内点）的充分必要条件是 X \ A X .
必要性，设x X，因A没有内点，故 0，B( x, ) ( X \ A) ，所以x X \ A，即因x X是任意的，所以X \ A X .
充分性，设X \ A X，则x X，xn X \ A，xn x，
4
6. 试证距离空间X 中的任一集合 A的闭包是闭集。
设 x A'， 则 对 任 意 0， 存 在 x A , x x 且
( x,
x
)
2
，
因
为
x
A,
如果
x
A， 则 必 x
A'，
于 是 有 x'
A， 使
x'
x
且
( x',
x
)
min( 2
, (x,
x
)),
所 以 x' x 且 ( x, x' ) ， 因 0 是 任 意 的 ，
所 以~(,)也 定 义 了X上 的 距 离.
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9. 试证任一离散空间必是完备的.
设
X
是离散空
间 ，( x,
y)
0 1
当x y 当x y
{ xn } 是 X 中 任 一 基 本 列 ， 则 存 在N， 使 当n, m N 时
( xn , xm ) 1， 从 而 当n, m N 时 ，( xn , xm )＝0.
1
m2
max
1 i n
ei
，则
2
n
n
x 1
iei m1 | i | m1M 2 x 2
(1)
i 1
1
i 1
n
n
x 2
iei m2 | i | m2M1 x 1
( 2)
i 1
2
i 1
由 （1） 、 （2） 可 知 与 等 价.
1
2
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19. 设 E 是实线性空间{，x1, , xn } 是 E 中线性无关元，
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25. m 次连续函数的全体在范数
m
x max | x(i)(t ) | i0 atb
下所成的赋范线性空间C m[a, b] 是 Banach 空间，且C m[a, b]中元 素列依范数收敛等价于此函数列及其各阶导数（ m）一致收敛.
n ( xn , yn ) 收敛.
依 条 件 ： ( xn , xm ) 0 (n, m )
( yn , ym ) 0 (n, m )
再 由| n m || ( xn , yn ) ( xm , ym ) |
( xn , xm ) ( yn , ym )
即 知{ n }是Cauchy数 列 ， 故 收 敛.
所以 0，B( x, ) ( X \ A)＝，即x不是A的内点，
所 以A没 有 内 点 ，A是 稀 疏 集.