浙江省余杭高级中学高三上学期第二次阶段性检测数学（理）试题考生须知:1. 本卷满分150分, 考试时间120分钟.2. 答题前, 在答题卷密封区内填写学校、班级和姓名.3. 所有答案必须写在答题卷上, 写在试题卷上无效.4. 考试结束, 只需上交答题卷.选择题部分一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分,共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．已知i z i -=⋅+)1(，那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ▲ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}{}1log ,0122<=>-=x x B x x A ，则B A 等于（▲ ） A ．{|1}x x <-B ．{}20<<x x C ．{}21<<x x D ．{|11}x x x ><-或3．如果对于任意实数，＜＞表示不小于的最小整数，例如＜1.1＞2=，＜ 1.1-＞1=-，那么“||1x y -<”是“x y <>=<>”的 ( ▲ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．设数列的前n 项和，则的值为（ ▲ ）A ．15B ． 16C ．49D ． 645．8月在北京召开了国际数学家大会, 会标如图示, 它是由四个直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形, 若直角三角形中较小的锐角为θ, 大正方形面积是1, 小正方形面积是251, 则θθ22cos sin -的值是（ ▲ ） A ．2524- B ．257- C ．2524 D ．2576．已知非零向量a ，b 满足|a + b | =|a –b |=23|a |，则a + b 与a –b 的夹角为（ ▲ ） A ． 30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒7．设函数2)()(x x g x f +=，曲线)(x g y =在点))1(,1(g 处的切线方程为12+=x y ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线的斜率为（ ▲ ）{}n a 2n S n =8aA ． 4B ． 41-C ． 2D ． 21- 8．已知函数)0,0,0)(cos()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则)1(f 的值为 ( ▲ )A ．23-B ．26-C ．3D ． 3- 9．定义一种运算⎩⎨⎧>≤=⊗ba b b a a b a ,,，令45)sin (cos )(2⊗+=x x x f ，且]2,0[π∈x ，则函数)2(π-x f 的最大值是 （ ▲ ）A ．45 B ． 45-C ． 1D ． 1- 10．已知2*11()2,()(),()(())(2,)n n f x x x c f x f x f x f f x n n N -=-+==≥∈，若函数()n y f x x =-不存在零点，则c 的取值范围是（ ▲ ） A ．14c < B ．34c ≥ C ．94c > D ．94c ≤非选择题部分二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．已知向量，，，若∥，则= ▲ ． 12．若函数x x f x2log 12)(-+=，则)4(f = ▲ . 13．设)cos 1(22cos )(x x x f +-=的最小值为 ▲ ．14．已知数列满足：则=2012a ▲ ．15．已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=- ▲ ．16．当一个非空数集F 满足条件“如果F b a ∈,，则F b a b a b a ∈⋅-+,,，并且当0≠b 时，F ba ∈”时，我们就称F 为一个数域。

以下四个关于数域命题：①0是任何数域的元素；②若数域F 中有非零元素，则F ∈2011；③集合{}Z k k x x p ∈==,3是一个数域；④有理数是一个数域。

其中正确命题的序号为 ▲ ．17．给定两个长度为1的平面向量OA 和，它们的夹角为 120．(3,1)a =(1,3)b =(,7)c k =()a c -b k {}n a 434121,0,,N ,n n n n a a a a n *--===∈OB如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是 ▲ ．AB ,OC xOA yOB =+,x y R ∈x y +三、解答题: 本大题共5小题, 共72分．解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤． 18. （本小题满分14分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边为c b a ,,，已知4102sin =C 。

（1）求C cos 的值； （2）若ABC ∆的面积为4153，且C B A 222sin 1613sin sin =+，求c b a ,,的值。

19．（本小题满分14分）设首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知30,257=-=S a 。

（1）求1a 及d ； （2）若数列{}n b 满足)(32321*∈++++=N n nnb b b b a nn ，求数列{}n b 的通项公式。

20．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，当01≤<-x 时， xex f -=)(；当10≤<x 时，144)(2+-=x x x f 。

（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若)0()()(>-=k kx x f x g ，求函数)(x g 在]5,0[∈x 时的零点个数。

21．（本小题满分15分）已知向量x f x x x x ⋅=-+=+=)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos 2(令πππ。

（1）求当)32,2(ππ∈x 时函数)(x f 的值域；（2）是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使x f x f x f x f x '='+∈π若存在，则求出x 的值；若不存在，则证明之。

22．（本小题满分15分）设函数x b x x f ln )1()(2+-=，其中b 为常数。

（1）当1-=b 时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f 有极值点，求b 的取值范围及)(x f 的极值点； （3）证明：对任意不小于3的正整数，不等式n n n n 1ln )1ln(12<-+<都成立。

余杭高级中学高三第二次阶段性检测 数 学（参考答案及评分标准）三、解答题18．解：（1）41451)410(212sin21cos 22-=-=⨯-=-=C C ………… 6分 （2）C B A 222sin 1613sin sin =+ ，由正弦定理可得：2221613c b a =+由（1）可知415cos 1sin 0,41cos 2=-=∴<<-=C C C C π …………8分4153sin 21==∆C ab S ABC ，得到6=ab由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=可得3161322+=c c 4,0,162=∴>=c c c ………12分由⎩⎨⎧==+61322ab b a 可得⎩⎨⎧==23b a 或⎩⎨⎧==32b a ， 所以⎪⎩⎪⎨⎧===423c b a 或⎪⎩⎪⎨⎧===432c b a …………14分19．解：（1）因为{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列⎩⎨⎧=+=-=+=30105261517d a S d a a 解得⎩⎨⎧-==2101d a …………6分 （2）由题可知： n n na nb b b b =++++ 32132 ①11321)1()1(32---=-++++n n a n b n b b b )2(≥n ②① - ② 可得 1)1(---=n n n a n na nb )2(≥n …………9分 由（1）可知n a n 212-= …………11分所以 )2(414)]1(212)[1()212(≥-=-----=n n nn n n n n b n …………13分1011==a b 符合，所以nnb n 414-=…………14分20. 解：（1）由题可知⎪⎩⎪⎨⎧≤<+-≤<-=-10,14401,)(2x x x x e x f x由)()1(x f x f -=+可知)()2(x f x f =+，即函数)(x f 是以2为最小正周期的周期函数由图可知，函数)(x f 的单调递减区间为)](212.12(Z k k k ∈+-，递增区间为)](12.212[Z k k k ∈++…………6分21．解：（1）)42tan()42tan()42sin(22cos 2)(πππ-+++⋅=⋅=x x x xb a x f )4sin(2cos sin 1)2cos 2(sin2cos 2π+=+=-+=x x x x x x ……… 5分由)1211,43(4),32,2(πππππ∈+∈x x ，所以 )22,426()4sin(-∈+πx ……………… 8分 所以函数)(x f 的值域为)1,213(- ……………… 10分 （2）0sin cos cos sin )()(=-++='+x x x x x f x f ，即0cos =x ，],0[π∈x ，所以2π=x 。

………… 13分因为22ππ+≠k x ，且)(,232Z k k x ∈+≠ππ ，所以不存在。

………… 15分22．解：（1）当1-=b 时，函数x x x f ln )1()(2--=，)0(21221)1(2)(2>--=--='x x x x x x f 此时)(x f 有惟一极小值点2312211+=-+=b x ， ……………… 3分则当)231,0(+∈x 时，0)('<x f ，所以)(x f 在)231,0(+上为减函数， 当),231(+∞+∈x 时，0)('>x f ，所以)(x f 在),231(+∞+上为增函数。

……………… 5分 （2）由题意得，)(x f 的定义域为()∞+,0，xb x x b x x f 21)21(222)(2'-+-=+-=， …… 6分①当21>b 时，0)('>x f ，函数)(x f 在定义域()∞+,0上单调递增。