数列
一、数列的定义： 按一定顺序排列成的一列数叫做数列． 记为：{a n }．即{a n }: a 1, a 2, … , a n ．
二、通项公式：用项数n 来表示该数列相应项的公式,叫做数列的通项公式。

1、本质：数列是定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数． 2、通项公式: a n =f(n)是a n 关于n 的函数关系． 三、前n 项之和：S n = a 1+a 2+…+a n
注 求数列通项公式的一个重要方法： ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11
n s s n s a n n
n
例1、已知数列{100-3n}，
（1）求a 2、a 3；（2）此数列从第几项起开始为负项．
例2 已知数列{}n a 的前n 项和，求数列的通项公式：
（1） n S =n 2+2n ； （2） n S =n 2-2n -1. 解：（1）①当n≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2+2n)-[(n -1)2+2(n -1)]=2n+1； ②当n=1时，1a =1S =12+2×1=3；
③经检验，当n=1时，2n+1=2×1+1=3，∴n a =2n+1为所求. （2）①当n≥2时，n a =n S -1-n S =(n 2-2n -1)-[(n -1)2+2(n -1)-1]=2n -3； ②当n=1时，1a =1S =12-2×1-1=-2； ③经检验，当n=1时，2n -3=2×1-3=-1≠-2，∴
n a =⎩
⎨⎧≥-=-)2(32)
1(2n n n 为所求． 注：数列前n 项的和n S 和通项n a 是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式1n n n a S S -=-时，一定要注意条件2n ≥ ，求通项时一定要验证1a 是否
适合
例3 当数列{100-2n}前n 项之和最大时，求n 的值．
分析：前n 项之和最大转化为1
0n n a a +≥⎧⎨≤⎩．
等差数列
1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常
用字母d 表示．即：)()(1•+∈=-N n d a a n n 常数
2.通项：d n a a n )1(1-+=，推广：d m n a a m n )(-+=．
3.求和：
d n n na a a n S n n 2
)
1(2)(11-+=+=．（关于n 的没有常数项的二次函数）． 4.中项：若a 、b 、c 等差数列，则b 为a 与c 的等差中项:2b=a+c 5.等差数列的判定方法
(1)定义法: )()(1•+∈=-N n d a a n n 常数 (2)中项法:212+++=n n n a a a (3)通项法:d n a a n )1(1-+= (4)前n 项和法:Bn An S n +=2 练习：已知数列{ a n }满足：a 1=2,a n = a 1+n +3,求通项a n ．
例1 在等差数列{}n a 中,已知.,63,6,994n S a a n 求=-==
解:设首项为1a ,公差为d ,
则⎩⎨⎧-==⎩
⎨⎧+=-+=3188639111d a d a d a 得76:)1(23
1863==--==∴n n n n n S n
或得 例2（1）设{a n }是递增等差数列，它的前3项之和为12，前3项之积为48，求这个数列的首项．
分析2：三个数成等差数列可设这三个数为：a -d ，a ，a+d
拓展：（1）若n+m=2p ，则a n +a m =2a p ．
推广：从等差数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等差数列。

如：
14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差数列）
（2）等和性：m n p q a a a a +=+*(,,,,)m n p q N m n p q ∈+=+ （3） ,,,232n n n n n S S S S S --组成公差为d n 2的等差数列. （4）a n =a m +（n -m ）d
例1 （1）已知a 3+a 11=20，求a 7．
（2）已知3a +4a +5a +6a +7a ＝450, 求2a +8a 及前9项和9S ．
解 由等差中项公式：3a +7a ＝25a ， 4a +6a ＝25a
由条件3a +4a +5a +6a +7a ＝450, 得：55a ＝450, ∴2a ＋8a ＝25a ＝180.
9S ＝199
()2
a a +810
等比数列
1．定义与定义式：从第二项起,每一项与它前一项的比等于同一个常数的
数列称作等比数列.)(1
为不等于零的常数
q q a a n
n =+ 2．通项公式：11-=n n q a a ,推广形式:m n m n q a a -=．
3．前n 项和：⎪⎩⎪⎨⎧≠≠--=--==)10(11)1()1(111q q q q a a q
q a q na S n n
n 且
注:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论．
4．等比中项：如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即ab G =2
（G =．
5．等比数列的判定方法： ①定义法：对于数列{}n a ，若
)0(1
≠=+q q a a n
n ，则数列{}n a 是等比数列.
②等比中项：对于数列{}n a ，若2
12++=n n n a a a ，则数列{
}n a 是等比数列． 例1 等比数列中1a =2, 3a =8，求通项公式；
解：2
42
13±=⇒=⇒=q q q a a n n n n n n a a )2()2)(2(22)2(11-=--=-=-=∴--或
例2 在等比数列{a n }中，S 4＝1，S 8＝3，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20.
解 解方程组可得：q 4
=2，1
11a q =--，
解法2 由n S ，n S 2－n S ，n S 3－n S 2，…成等比数列计算．
在等比数列{}n a 中有如下性质: （1）若n+m=2p ，则a n a m =(a p )2。

推广：从等比数列中抽取等距离的项组成的数列是一个等比数列。

如：
14710,,,,a a a a ⋅⋅⋅（下标成等差数列）
（2）等积性:m n p q a a a a ⋅=⋅（,,,,m n p q m n p q N *
+=+∈）．
（3）a n =a m q m n -
例1 在等比数列{}n a 中，1633a a +=，3432a a ⋅=，1n n a a +<， （1）求n a ；（2）若12lg lg lg n n T a a a =+++，求n T .
解（1）62n n a -= （2）2111
()lg 222
n T n n =-+
例2 1237a a a ++=，1238a a a ⋅⋅=，求n a .
解：设{a n }的公比为q ，由题意知
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅⋅=++,8,7211
12
111q a q a a q a q a a 解得⎩⎨⎧==2,11q a 或⎪⎩
⎪⎨⎧==.21,41q a ∴1
2n n a -=或31()2n n a -=
数列综合运用
例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q ．
解: 设等差数列的通项a n = a 1+(n -1)d (d≠0).
根据题意得 a 32 = a 2a 6 即(a 1+2d)2 = (a 1+d)(a 1+5d),
解得 d a 211-=. 所以.32
1
221
21123=+-+-
=++==d
d d
d d a d a a a q
例2 有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数．
解：设这四个数为：2
()
,,,a d a d a a d a +-+，则2
()16212
a d a d a a d ⎧+-+=⎪⎨
⎪+=⎩
解得：48a d =⎧⎨=⎩或9
6a d =⎧⎨=-⎩
，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1．。