第2讲 平抛运动微知识1 平抛物体的运动 1．定义将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，不考虑空气阻力，物体只在重力作用下所做的运动。

2．性质平抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。

微知识2 平抛运动的规律以抛出点为原点，以水平方向(初速度v 0方向)为x 轴，以竖直向下的方向为y 轴建立平面直角坐标系，则 1．水平方向做匀速直线运动，速度v x ＝v 0，位移x ＝v 0t 。

2．竖直方向做自由落体运动，速度v y ＝gt ，位移y ＝12gt 2。

(1)合速度v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋g 2t 2，方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝v y v 0＝gt v 0。

(2)合位移s ＝x 2＋y 2＝v 0t2＋12gt 22，方向与水平方向夹角为α，则tan α＝yx＝gt 2v 0。

微知识3 斜抛运动 1．定义将物体以一定的初速度沿斜向上或斜向下方向抛出，物体仅在重力作用下所做的运动叫做斜抛运动。

2．斜抛运动的性质斜抛运动是加速度恒为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。

3．处理方法斜抛运动可以看成是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动。

一、思维辨析(判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”。

)1．平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度也时刻变化。

(×) 2．做平抛运动的物体，在任意相等的时间内速度的变化相同。

(√)3．斜抛运动和平抛运动都是匀变速曲线运动。

(√) 4．做平抛运动的物体初速度越大，水平位移越大。

(×) 5．平抛运动的时间由下落高度决定。

(√) 二、对点微练1．(对平抛运动的理解)做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是( ) A ．大小相等，方向相同 B ．大小不等，方向不同 C ．大小相等，方向不同D ．大小不等，方向相同解析 因为平抛运动的运动形式为匀变速曲线运动，其加速度是恒定不变的，即速度的变化率也恒定不变，再根据平抛运动的特点：水平方向做匀速运动，竖直方向做自由落体运动，合外力为重力，合加速度为重力加速度，故每秒速度的增量大小恒定不变，方向沿竖直方向，A 项正确。

答案 A2．(对斜抛运动的理解)做斜上抛运动的物体，到达最高点时( ) A ．速度为零，加速度向下 B ．速度为零，加速度为零C ．具有水平方向的速度和竖直向下的加速度D ．具有水平方向的速度和加速度解析 斜上抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直上抛运动。

因物体只受重力，且方向竖直向下，所以水平方向的分速度不变，竖直方向上的加速度也不变，所以只有C 项正确。

答案 C3．(平抛运动的规律)以速度v 0水平抛出一小球，不计空气阻力，从抛出时刻开始计时，经t 1时间小球到达竖直分速度与水平分速度大小相等的A 点，经t 2时间小球到达竖直分位移与水平分位移大小相等的B 点，下列判断正确的是( ) A ．t 1、t 2的大小与v 0的大小无关 B ．t 2＝2t 1C ．A 、B 两点速度大小之比为1∶2D ．A 、B 两点的高度差为5v 202g解析 到达A 点时，由v 0＝gt 1可得t 1＝v 0g ，到达B 点时，由v 0t 2＝12gt 22可得t 2＝2v 0g ；v 0越大，t 1、t 2越大，且t 2＝2t 1，A 项错误，B 项正确；v A ＝2v 0，v B ＝v 20＋v 02＝5v 0，C 项错误；h 1＝v 202g ，h 2＝2v 20g ，则两点的高度差为3v 202g，D 项错误。

答案 B见学生用书P056微考点 1 平抛运动的规律和应用核|心|微|讲1．飞行时间：由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关。

2．水平射程：x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关。

3．落地速度：v ＝v 2x ＋v 2y ＝v 20＋2gh ，以θ表示落地速度与x 轴正方向间的夹角，有tan θ＝v yv x＝2ghv 0，所以落地速度只与初速度v 0和下落高度h 有关。

4．几个有用的结论(1)做平抛运动的物体，在相同时间内速度的变化量都相等，即Δv ＝g Δt ，方向竖直向下。

(2)做平抛运动的物体，在任一位置P (x ，y )的瞬时速度的反向延长线与x 轴交点A 的横坐标为x2，如图所示。

(3)做平抛运动的物体，在任一位置速度偏向角θ与位移偏向角α的关系为tan θ＝2tan α。

典|例|微|探【例1】 如图所示，A 、B 两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h 和h ，将两球水平抛出后，两球落地时的水平位移之比为1∶2，则下列说法正确的是( )A ．A 、B 两球的初速度之比为1∶4 B ．A 、B 两球的初速度之比为1∶2C ．若两球同时抛出，则落地的时间差为2hgD ．若两球同时落地，则两球抛出的时间差为(2－1) 2h g【解题导思】(1)做平抛运动的物体在空中运动时间由什么来决定？答：由t＝2hg知运动时间t由高度h决定，与初速度无关。

(2)做平抛运动的物体的水平方向的位移由什么决定？答：由x＝v02hg知，水平位移x由初速度v0和高度h共同决定。

解析v1＝x4hg＝x2gh，v2＝2x2hg＝2xgh，因此两球的初速度之比为1∶22，A、B项错误；若两球同时抛出，则落地的时间差为4hg－2hg＝(2－1)2hg，若两球同时落地，则两球抛出的时间差也为(2－1) 2h g，C项错误，D项正确。

答案 D“化曲为直”思想在平抛运动中的应用根据运动效果的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动：(1)水平方向的匀速直线运动。

(2)竖直方向的自由落体运动。

题|组|微|练1.如图所示，在M点分别以不同的速度将两个小球水平抛出，两小球分别落在水平地面上的P点、Q点。

已知O点是M点在地面上的竖直投影，OP→∶PQ→＝1∶3，且不考虑空气阻力的影响，下列说法中正确的是( )A．两小球的下落时间之比为1∶3B．两小球的下落时间之比为1∶4C．两小球的初速度大小之比为1∶3D．两小球的初速度大小之比为1∶4解析两球的抛出高度相同，故下落时间相同，故A、B项错误；两小球的水平位移分别为OP和OQ，故水平位移之比为1∶4，故由x＝vt可知两小球的初速度之比为1∶4，故D项正确，C项错误。

答案 D2.如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O 点分别以水平初速度v 1、v 2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A 点和B 点，已知OA 与OB 互相垂直，且OA 与竖直方向成α角，则两小球初速度之比v 1v 2为()A ．tan αB ．cos αC ．tan αtan αD ．cos αcos α解析 两小球被抛出后都做平抛运动，设容器半径为R ，两小球运动时间分别为t 1、t 2，对A 球：R sin α＝v 1t 1，R cos α＝12gt 21；对B 球：R cos α＝v 2t 2，R sin α＝12gt 22，解四式可得v 1v 2＝tan αtan α，C 项正确。

答案 C微考点 2 斜面上的平抛运动核|心|微|讲斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。

常见的模型如下：【例2】 如图所示，一名跳台滑雪运动员经过一段时间的加速滑行后从O 点水平飞出，经过3 s 落到斜坡上的A 点。

已知O 点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m ＝50 kg 。

不计空气阻力(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8；g 取10 m/s 2)。

求：(1)A 点与O 点的距离L 。

(2)运动员离开O 点时的速度大小。

(3)运动员从O 点飞出开始到离斜坡距离最远所用的时间。

【解题导思】(1)题中“经过3 s 落到斜坡上的A 点”，是要告诉我们什么条件？ 答：合位移方向沿OA 方向。

(2)第(3)问中“离斜坡距离最远”是已知了位移的方向还是速度的方向 ? 答：速度方向。

解析 (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有 L sin37°＝12gt 2，L ＝gt22sin37°＝75 m 。

(2)设运动员离开O 点时的速度为v 0，运动员在水平方向的分运动为匀速直线运动，有L cos37°＝v 0t ，即v 0＝L cos37°t＝20 m/s 。

(3)解法一：运动员的平抛运动可分解为沿斜面方向的匀加速运动(初速度为v 0cos37°、加速度为g sin37°)和垂直斜面方向的类竖直上抛运动(初速度为v 0sin37°、加速度为g cos37°)。

当垂直斜面方向的速度减为零时，运动员离斜坡最远，有v 0sin37°＝g cos37°·t ，解得t ＝1.5 s 。

解法二：当运动员的速度方向平行于斜坡或与水平方向成37°角时，运动员离斜坡最远，有gt v 0＝tan37°，t ＝1.5 s 。

答案 (1)75 m (2)20 m/s (3)1.5 s题|组|微|练3. (多选)将一小球以水平速度v 0＝10 m/s 从O 点向右抛出，经1.73 s 小球恰好垂直落到斜面上的A 点，不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，B 点是小球做自由落体运动在斜面上的落点，如图所示，以下判断正确的是( )A ．斜面的倾角约是30°B ．小球的抛出点距斜面的竖直高度约是15 mC ．若将小球以水平速度v 0′＝5 m/s 向右抛出，它一定落在AB 的中点P 的上方D ．若将小球以水平速度v 0′＝5 m/s 向右抛出，它一定落在AB 的中点P 处解析 设斜面倾角为θ，对小球在A 点的速度进行分解有tan θ＝v 0gt，解得θ≈30°，A 项正确；小球距过A 点水平面的距离为h ＝12gt 2≈15 m，所以小球的抛出点距斜面的竖直高度肯定大于15 m ，B 项错误；若小球的初速度为v ′0＝5 m/s ，过A 点做水平面，小球落到水平面的水平位移是小球以初速度v 0＝10 m/s 抛出时的一半，延长小球运动的轨迹线，得到小球应该落在P 、A 之间，C 项正确，D 项错误。

答案 AC4.如图所示，小球A 位于斜面上，小球B 与小球A 位于同一高度，现将小球A 、B 分别以v 1和v 2的速度水平抛出，都落在了倾角为45°的斜面上的同一点，且小球B 恰好垂直打到斜面上，则v 1∶v 2为( )A ．3∶2B ．2∶1C ．1∶1D ．1∶2解析 两小球下落高度相同，故飞行时间相同，由平抛运动的规律可知，对于A 球：x y ＝v 1t12gt 2＝1 ①，对于B 球：v 2gt＝1 ②，由①②两式解得，v 1∶v 2＝1∶2，故应选D 项。