第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、填空题1、 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a A212221212111，其中),,2,1(,0,0n i b a i i =≠≠，则=)(A R ____2、 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且=)(A R n －1，则线性方程组AX ＝0的通解为________3、 设四阶方阵的秩为2，其伴随矩阵的秩为_______4、 设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=---112112222121n n n n n n a a a a a a a a a A，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x x X 21，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=111 B ，其中 ),,2,1,,(n j i j i a a j i =≠≠，则线性方程组BAX =的解是________5、 已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100210002P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=200020001A ，则=-1001)(AP P ________ 6、 设A ，B 均为n 阶矩阵AB ＝0，且A +B=E,则=+)()(B R A R _________ 7、 设矩阵n m A ⨯的秩为r ，P 为m 阶可逆矩阵，则)(PA R ＝________ 8、 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--340313021201的行最简形矩阵为___________ 9、 矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320的行最简形矩阵为__________ 10、从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R 从矩阵A 中增加一行得到矩阵B ，则)(______)(B R A R11、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=443112112013A 的秩为_______ 12、矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------=81573131213123A 的秩为_______ 13、齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=-++02220202432143214321x x x x x x x x x x x x 的解为________14、齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x xx x x x x x x x x x x x x x 的解为________15、非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x 的解为________16、非齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x 的解为________17、非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x 当λ＝______时,有唯一解，λ＝______，无解，λ＝______有无穷多解？18、非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+--=++-23213213212222λλx x x x x x x x x 当λ＝______时,有解，其解为___________19、非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-+--=--+=-+-1)5(4224)5(2132)2(321321321λλλλx x x x x x x x x λ＝______时,有唯一解，λ＝______，无解，λ＝______有无穷多解？解为_________20、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=113122214A ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=132231B 且B AX =；则X ＝________ 21、设矩阵A ，B ，C ，如下⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A212222111211，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=lt l l t t b b b b b b b b b B212222111211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B AC 00,且21)(,)(r B R r A R ==，则=)(C R ________22、设A 为n 阶方阵，且E A A 22=-，E 为n 阶单位阵，则=++-)()2(A E R A E R _______23、设A 为任意实矩阵，且r A R =)(,则=)(A A R T __________二、选择题1、设n 阶方阵A 与B 等价，则 （ ） A ，B A = B ， B A ≠ C ，若0≠A 则必有0≠B D ，B A -=2、设n 元齐次线性方程咱AX ＝0的系数矩阵A 的秩为r ，在AX ＝0有非零解的充要条件是 （ ）A ，r ＝n B, r<n C,r ≥n D,r>n3、已知⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=96342321t Q ，P 为三阶非零矩阵，且满足PQ ＝0则（ ） A, 6=t 时P 的秩必为1 B ，6=t 时P 的秩必为2C ，6≠t 时P 的秩必为1D ，6≠t 时P 的秩必为24、设A 是n m ⨯矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，B ＝AC 的秩为1r ，则（ ）A ，1r r >B ，1r r <C ，1r r = D, r 与1r 的关系依C 而定5、设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB ＝0，则A 和B 的秩（ ）A ，必有一个等于零B ，都小于nC ，一个小于n ，一个等于nD ，都等于n6、⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1010100012P ，则必有 （ ） A ，B P AP =21 B ，B P AP =12 C ，B A P P =21 D ，B A P P =127、设B A ,为同阶可逆矩阵，则 （ ）A, 存在可逆矩阵P 使B AP P =-1 B, 存在可逆矩阵P 使B AP P T = C, 存在可逆矩阵P ,Q 使B PAQ =D ，BA AB =8、下列命题中不正确的是 （ ）A ，初等矩阵的逆也是初等矩阵B ，初等矩阵的和也是初等矩阵C ，初等矩阵都是可逆的D ，初等矩阵的转置仍是初等矩阵 9、已知B A ,均为n 阶矩阵，满足0=AB ，若n m A R <=)(，则)(B R （ ）A, m n B R -=)( B , m n B R -<)( C, 1)(-->m n B R D, m n B R -≤)( 10、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=131312113333323123232221a ka a a a ka a a a ka a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0011000101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=100100012kP ，则A 等于 （ ） A ，21BP P A = B ，1112--=BP P A C ，B P P A 1211--= D ，1211--=P BP A 11、当=P （ ）时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=343332312423222134143313321231113433323124232221141312113333a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a PA ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=103010001P B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100010301P C ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=001010300P D ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=130010001P 12、设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+0302022321321321x x x x x x x x x λ的系数矩阵为A ，三阶矩阵Ｂ≠０，且AB ＝0，则λ为 （ ）A ，1B ， 2C ，0D ，不能确定13、设A 为n m ⨯矩阵，B 为m n ⨯矩阵，且n m >，则=AB （ ）A ， nB ， 0C ，mD ，不能确定14、设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0003213213221x x x x x x x x x λλλλ的系数矩阵为A ，三阶矩阵Ｂ≠０，且AB ＝0，则（ ）A ，2-=λ且0=B B ，2-=λ且0≠BC ，1=λ且0=BD ，1=λ且0≠B答案一， 填空题1，=)(A R 1 2,T k )1,,1,1( 3,0提示，因2)(=A R 故A 中所有3阶子式全为零，故其伴随矩阵所有元素全为零 4,T X )0,0,1( =5,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100100200020001 6,n 7，r 8,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛10001000001 9， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0003100501010，)()(B R A R ≥ 提示：设r B R =)( ，且B 的某个r 阶子式0≠r D .矩阵B 是由矩阵A 划去一行得到的，所以在A 中能找到与r D 相同的r 阶子式r D ，由于0≠=r r D D ，故而)()(B R A R ≥.11,2 提示：化为行阶梯形矩阵 12，2 13, ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1343344321k x x x x ,提示：系数矩阵化为行最简形 14， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00004321x x x x 15，无解，对系数的增广矩阵施行行变换因3)(,2)(==B R A R 故方程组无解16， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛021112k z y x 17，(1) 0111111≠λλλ,即2,1-≠λ时方程组有唯一解.(2)由得 时,方程组无解.(3),由,得时,方程组有无穷多个解.18, 解方程组有解，须得当时,方程组解为当时,方程组解为19,解当,即且时，有唯一解. 当且，即时，无解.当且，即时，有无穷多解.此时，增广矩阵为原方程组的解为()20,21,21r r +,提示做初等变换 22, n 提示 02))(2(2=-+=+-AA E A E A E ，n A E R A E R ≤++-∴)()2(又,3)()2(E A E A E =++- n A E R A E R ≥++-∴)()2( 23, r,提示证明AX ＝0与0=AX A T 同解即可二， 选择题 1，C 提示：BA ~则)()(B R A R =2, B3，C ，提示考虑矩阵方程组0=xQ，t ＝6时，因)(Q R ＝1，故其基础解系的秩为2，因P 为非零矩阵，故2)(1≤≤P R ，6≠t 时，)(Q R ＝2，故其基础解系的秩为1，故1)(=P R4，C 提示：矩阵方程AX ＝B ，有解C ，故r B A R A R ==);()(，因C 可逆，矩阵方程BX ＝A 有解1-C ，故1);()(r A B R B R ==，故1r r =5，B 提示矩阵方程AX ＝0，BX ＝0都有非零解，故n A R <)(，n B R <)( 6，C 7，C 8，B 9,D 提示基础解系的秩为n －m 10，A 11，B 12 A 提示：方程组AB ＝0有非零解，0=A13，B 提示：{})(),(min )(B R A R AB R ≤，而n B R n A R ≤≤)(,)(，故AB 为降秩矩阵 14，C。