2
是一个完全平方
X1 ; X2
X1 =X2 ＝－b/2a ＝－b/2a
x ≠ x1的一切实 数
没有实数根
x<x1或x>x2 x1<x<x2
所有实数 无解
无解
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: 试一试：利用函数图象解下列方程和不等式: <1> ①-x2+x+2=0; ②-x2+x+2>0; ③-x2+x+2<0.
练习2 练习2：
<1>m取何值时， <1>m取何值时， x的二次三项式 取何值时 x- 的值恒为负数。 （m-2)x2+2 3x-3的值恒为负数。 <2>a是什么实数时，不等式ax +ax<2>a是什么实数时，不等式ax2+ax-1>0 是什么实数时 无解。 无解。
试证对任何实数k 二次三项式x2试证对任何实数k，二次三项式x2-(k+1)x+k 在实数范围内一定能因式分解。 在实数范围内一定能因式分解。 如果 9x + 2(a − 4)x +16 = 0 式，则 a = 。
思考3 思考3：
2+bx+c=0 如果方程ax 如果方程ax
（a≠0）没有 a≠0）
实数根， 实数根，那么 2+bx+c的图像与 x轴有 函数y=ax 函数y=ax +bx+c的图像与 0 ______个交点 ______个交点； 个交点； 2+bx+c<0的解集是______ 不等式ax 的解集是______ 不等式ax +bx+c<0的解集是
二次函数、一元二次方程、 二次函数、一元二次方程、 一元二次不等式之间的关系
南山实验学校 喻建珍
思考1 思考1：
函数y=ax +bx+c的图像如图， 函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么 的图像如图 方程ax +bx+c=0的根是 X1=-1; X2=3 方程ax2+bx+c=0的根是 __________; X<-1;X>3 不等式ax +bx+c>0的解集 不等式ax2+bx+c>0的解集 是_________; -1<X<3 不等式ax +bx+c<0的解集 不等式ax2+bx+c<0的解集 是_________;
y
(-2,2)
-1 O
2
(4,2)
3 x
思考2: 思考2:
如果不等式ax +bx+c>0（a≠0） 如果不等式ax2+bx+c>0（a≠0）的解集 的一切实数， 是x≠2 的一切实数，那么函数 1 y=ax2+bx+c的图像与 x轴有______ 个交 +bx+c的图像与 轴有______ (2,0) 坐标是________________ 点，坐标是________________ 方程ax +bx+c=0的根是 x=2 的根是______________. 方程ax2+bx+c=0的根是______________.
-1
0 y
2
X
y= -x2+x+2 y
<2>
①x2-4x+4=0; ②x2-4x+4>0; ③x2-4x+4<0.
O
2y 0 Xx<3> ①-x2+x-2=0; +x+x②-x2+x-2>0; +x③-x2+x-2<0.
拓广： 拓广：
函数y=ax +bx+c的图像如图 函数y=ax2+bx+c的图像如图，那么 的图像如图， 方程ax +bx+c=2的根是 X1=-2; X2=4 方程ax2+bx+c=2的根是 __________; 不等式ax +bx+c>2的解集是 X<-2;X>4 的解集是_________; 不等式ax2+bx+c>2的解集是_________; 不等式ax +bx+c<2的解集是 -2<X<4 的解集是_________; 不等式ax2+bx+c<2的解集是_________;
y
-1
O
3
x
判别式⊿ 判别式⊿=b2-4ac 二次函数 y=ax2+bx+c （a>0） a>0） 的图像
⊿>0
y
⊿＝0
y y
⊿＜0
X1 0
X2
x
O X1= X2
x O
x
xx
二次方程
ax2+bx+c=0
（a≠0）的根 a≠0） 不等式ax 不等式ax2+bx+c>0 （a>0）的解集 a>0） 不等式ax 不等式ax2+bx+c<0 a>0） （a>0）的解集
+bx+c<0无解 （1）当a>0时, ax2+bx+c<0无解 ） 时 （2）当a<0时， ax2+bx+c<0的解集是一切实数。 ax2+bx+c<0的解集是一切实数 的解集是一切实数。
思考4 思考4：
m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 取何值时，抛物线y=x +(m+8)x+m+8与 x 轴的两个交点关于原点对称？ 轴的两个交点关于原点对称？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 取何值时，抛物线y=x +(m+8)x+m+8与 x 轴的正半轴有两个交点？ 轴的正半轴有两个交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 取何值时，抛物线y=x +(m+8)x+m+8与 x 轴的负半轴有两个交点？ 轴的负半轴有两个交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8与 取何值时，抛物线y=x +(m+8)x+m+8与 x 轴的正负半轴都有交点？ 轴的正负半轴都有交点？ m取何值时，抛物线y=x2+(m+8)x+m+8经 取何值时，抛物线y=x +(m+8)x+m+8经 原点？ 过原点？