复数
[重点]：复数的概念、复数的运算、复数的一些应用三部分。

复数的概念：复数的代数形式，复数的模，辐角，共轭复数，规定了复数的加，减，乘，除运算，利用复数的相等求平方根，一元二次方程求根，复数的几何意义：点，向量与解析几何的联系。

[难点]：一元二次方程根的讨论。

[例题讲解]：
例1．m为何实数时，复数Z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i)是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零。

解：Z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i=(2m+1)(m-2)+(m-1)(m-2)i
(1)当m=1或m=2时，Z是实数。

(2)当m≠1且m≠2时，Z是虚数。

(3)当即当时，Z是纯虚数。

(4)当即m=2时，Z是零。

例2．已知：，求实数x。

解：
即或x≥8。

例3．计算：
解：原式=
例4．求的平方根。

解：设的平方根为x+yi (x,y∈R)，
则
由复数相等的定义得(1)2+(2)2，得(x2+y2)2=25 x2+y2=5 (舍去负值) (3)
(1)+(3)，x2=3, x=, (3)-(1), y2=2, 。

∵，∴或
∴的平方根为。

例5．已知：|Z+2-2i|=1，求：|Z|的最值。

解：|Z-(-2+2i)|=1，几何意义：Z在复平面上对应的点集是以O＇(-2,2)为圆心，r=1的圆。

|Z|的几何意义是⊙O＇上的点与原点的距离；，
∴, 。

例6．说明|Z+1|+|Z-2|=2a(a∈R+)表示的曲线。

解：原式|Z-(-1)|+|Z-2|=2a，
几何意义是Z在复平面上对应的点Z与F1(-1,0)，F2(2,0)距离之和等于2a的轨迹，|F1F2|=3。

(1)当2a>3即时，Z的轨迹是以F1，F2为焦点，2a为长轴的椭圆。

(2)当2a=3即时，Z的轨迹是线段F1，F2。

(3)当2a<3即时，Z的轨迹不存在。

例7．已知a∈R，方程x2+2x+a=0的两根为a、b，求|a|+|b|。

解：∵ a∈R，∴方程为实系数一元二次方程，可以用Δ来判定方程有无实根。

(1)当Δ=4-4a≥0，即a≤1时，方程的根a、b为实数根。

由韦达定理
又∵|a|+|b|≥0，
∴
①当0≤a≤1时，|a|+|b|=2, ②当a<0时，|a|+|b|=。

(2)当Δ=4-4a<0，即a>1时，方程的根a、b为虚根。

例8．已知是实系数一元二次方程ax2+bx+1=0的根，求a,b的值。

解：。

方法(1) ∵实系数一元二次方程虚根为一对共轭复数，∴也是该方程的根。

由韦达定理：解得：a=1，。

方法(2)，∵是方根的根，代入原方程整理得：。

由复数相等的定义得解得a=1，。

[参考练习]
一、选择题：
1．下面四个命题，正确的是（）。

A、|Z|2=Z2 (Z∈C)
B、 (Z∈C)
C、|Z|<1-1<Z<1 (Z∈C)
D、|Z1-Z2|=0Z1=Z2 (Z1,Z2∈C)
2．Z1，Z2∈C, 则Z1+Z2∈R, 且Z1·Z2∈R，是Z1与Z2共轭的（）。

A、充分但不必要条件
B、必要但不充分条件
C、充要条件
D、既不充分也不必要条件
3．复数的共轭复数是（）。

A、3-4i
B、3+4i
C、
D、
4．关于x的一元二次方程x2+(m+2i)x+2+mi=0至少有一个实根，则m的取值范围是（）。

A、B、
C、D、
5．在复平面内，若|Z-1+2i|+|Z-1-2i|=4. 则复数Z的对应的点的轨迹是（）。

A、椭圆
B、圆
C、直线
D、线段
6．设Z=x+yi(x,y∈R)，则满足等式|Z+2|=-x的复数Z对应的点的轨迹是（）。

A、椭圆
B、双曲线
C、抛物线
D、圆
7．若P、Q是复平面内|Z|=2与直线的两个交点，则P与Q之间的距离为（）。

A、B、C、D、
二、填空题
1．设复数Z1=2-i, Z2=1-3i, 则复数的虚部等于________。

2．-5-12i的平方根是______。

3．若x∈C且x2+ix+6=5x+2i，则x=______。

参考答案：
一、1. D 2. C 3. D 4. B 5. D 6. C 7. A
二、1. 2. 2-3i, -2+3i 3. 2, 3-i。