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综合法和分析法PPT

• (2)分析法证明不等式的思维是从要证的不 等式出发,逐步寻求使它成立的充分条件, 最后得到的充分条件是已知(或已证)的不 等式;
• (3)用分析法证明数学命题时,一定要恰当 地用好“要证”、“只需证”、“即证” 等词语.
[研一题]
[例 3] 已知 a、b、c 是不全相等的正数,且 0<x<1.
2.2.1 综合法和分析法
[例 1] 已知 a,b,c>0.求证:a3+b3+c3≥13(a2+ b2+c2)(a+b+c).
• [分析] 不等式中的a,b,c为对称的,所以 从基本的不等式定理入手,先考虑两个正数 的均值定理,再根据不等式的性质推导出证 明的结论.
• [证明] ∵a2+b2≥2ab,a>0,b>0, • ∴(a2+b2)(a+b)≥2ab(a+b). • ∴a3+b3+a2b+ab2≥2ab(a+b)=2a2b+2ab2. • ∴a3+b3≥a2b+ab2. • 同理:b3+c3≥b2c+bc2,a3+c3≥a2c+ac2. • 将三式相加得: • 2(a3+b3+c3)≥a2b+ab2+bc2+b2c+a2c+ac2, • ∴3(a3+b3+c3)≥(a3+a2b+a2c)+(b3+b2a+b2c)
由基本不等式得a+2 b≥ ab>0,b+2 c≥ bc>0, a+2 c≥ ac>0,又∵a,b,c 是不全相等的正数, ∴a+2 b·b+2 c·a+2 c> a2b2c2=abc. 即a+2 b·b+2 c·a+2 c>abc 成立. ∴logxa+2 b+logxb+2 c+logxa+2 c<logxa+logxb+logxc 成立.
• 第二步:转化条件,组织过程.把题目的 已知条件,转化成解题所需要的语言,主 要是文字、符号、图形三种语言之间的转 化.组织过程时要有严密的逻辑,简洁的 语言,清晰的思路.
• 第三步:适当调整,回顾反思.解题后回顾 解题过程,可对部分步骤进行调整,并对一
些语言进行适当的修饰,反思总结解题方法 的选取.
[例 2]
已知
a>0,b>0,求证:
a+ b
b≥ a
a+
b.
• [分析] 要证明上述不等式成立,暂无条件
可用,这时可以从所要证明的结论出发,逐
步反推,寻找使当前命题成立的充分条件,
即用分析法证明.
[证明] ∵a>0,b>0,要证
a+ b
b≥ a
a+
b成立,
只需证
a+ b
ba2≥(
a+
b)2 成立,
即证ab2+ba2+2 ab≥a+b+2 ab成立.
即证a3a+bb3≥a+b.
也就是证(a+b)(a2-ab+b2)≥ab(a+b)成立.
即 a2-2ab+b2≥0,也就是证(a-b)2≥0 成立.
∵(a-b)2≥0
恒成立,∴
a+ b
b≥ a
a+
b.
• [点评] (1)分析法证明不等式的依据是不 等式的基本性质、已知的重要不等式和逻 辑推理的基本理论;
+(c3+c2a+c2b)=(a+b+c)(a2+b2+c2).
∴a3+b3+c3≥13(a2+b2+c2)(a+b+c).
• [点评] 1.综合法证明问题的步骤
• 第一步:分析条件,选择方向.仔细分析 题目的已知条件(包括隐含条件),分析已 知与结论之间的联系与区别,选择相关的 公理、定理、公式、结论,确定恰当的解 题方法.
要证a+1 b+b+1 c=a+3b+c,
即证a+a+b+b c+a+b+b+c c=3,
也就是a+c b+b+a c=1,
• 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), • 需证c2+a2=ac+b2, • 又△ABC三内角A、B、C成等差数列,故B=
60°,
• 由余弦定理,有 • b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac, • 故c2+a2=ac+b2得证. • 综合法: • 证明:∵△ABC三内角A、B、C成等差数列, • ∴B=60°. • 由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos60°, • 得c2+a2=ac+b2, • 等式两边同时加上ab+bc得 • c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
• [例4] △ABC的三个内角A、B、C成等差 数列,A、B、C的对边分别为a、b、c.
求证:a+1 b+b+1 c=a+3b+c.
• [分析] 条件与结论跨越较大,不易下手, 可考虑用分析法证明;由于分析法是执果 索因,逐步寻找成立的充分条件,因此分 析法的倒退过程就是综合法.
[证明] 分析法:
[例 5] 如果 a>b,ab=1,求证:a2+b2≥2 2(a -b),并指明何时取“=”号.
• [分析] 先用分析法将所证不等式转化为易 证的等价式子,再用综合法进行证明.
[解析] 因为 a>b,a-b>0,所以欲证 a2+b2≥2 2(a-b). 只需证aa2-+bb2≥2 2. 因为 a>b,所以 a-b>0,又知 ab=1, 所以aa2-+bb2=a2+b2-a-2abb+2ab=(a-a-b)2b+2 =(a-b)+a-2 b≥2 (a-b)·a-2 b=2 2. 所以aa2-+bb2≥2 2,即 a2+b2≥2 2(a-b). 当且仅当 a-b=a-2 b,即 a-b= 2时,取等号.
等式两边同除以(a+b)(b+c)得,a+c b+b+a c=1, ∴a+c b+1+b+a c+1=3, 即a+1 b+b+1 c=a+3b+c.
• [点评] 综合法和分析法各有优缺点.从 寻找解题思路来看,综合法由因导果,往 往枝节横生,不容易奏效;分析法执果索 因,常常根底渐近,有希望成功,就表达 证明过程而论,综合法形式简洁,条理清 晰;分析法叙述繁琐,文辞见长.也就是 说分析法利于思考,综合法宜于表述.因 此,在实际解题时,常常把分析法和综合 法结合起来运用,先以分析法为主导求解 题思路,再用综合法有条理地表述解答或 证明过程.
证明:logxa+2 b+logxb+2 c+logxa+2 c<logxa+logxb+logxc.
[自主解答]
要证Leabharlann a+b logx 2+
logx
b+c 2
+logxa+2 c<logxa

logxb+logxc, 只需要证明 logx(a+2 b·b+2 c·a+2 c)<logx(abc),
由 0<x<1 知,只需证明a+2 b·b+2 c·a+2 c>abc.
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