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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
e1x
e2 x
....
en x
W (x) 1e1x
2e2x .... nenx
.....
..... ..... ..... 范德蒙(Vandermonde)
e n1 1x 1
e n1 2x 2
....
e n1 nx n
行列式
1 1 .... 1
i j (i j)
e (12 n ) x 1
...
2
....
.... ....
0 n
....
k j
1 jk n
n1 1
n1 2
....
n1 n
e1x , e2x ,, enx 是方程的基本解组。
方程的通解可表示为
§ 4.2 n 阶常系数线性齐次方程的解法
Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
主讲教师：李淑凤
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
Cnen
Tx n3
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
高阶线性方程
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y f x (4.5)
y(n) a1(x) y(n1) an1(x) y an (x) y 0 (4.11)
求解常系数线性齐次方程组的步骤：
第一步：写出方程组的系数矩阵A
0 1 0
0
第二步：写出特征方程并求出特征根
0
0
1
0
A E 0 1, 2 ,, n
0
0
0
1
第三步：计算特征根对应的特y 征 向量t11 an ta12n1 a2 t1an1
e T , e T ,, e T 第第四五步步：：求A写出出基方i本E程解组T组的i 通解1yyxn11
复习内 容
一阶常系数线性齐次方程组的解法 高阶线性方程
高阶线性方程的通解结构
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
一阶常系数线性齐次方程组的解法
dY AY dx
第一步：写出方程组的系数矩阵A
下面根据特征根的不同情况分别进行讨论。
P() n a1n1 an1 an 0
1)特征根为单根的情况
定理4.8 设 1, 2 ,, n 是特征方程的n个互不相等的根，
则相应的方程有如下n个解
e1x , e2x ,, enx
这n个解在区间 x 上线性无关，从而组成方程
的基本解组。
a11 a12 a1n
a21
a22
a2n
第二步：写出特征方程并求出特征根
AE 0
1a, n12 ,a, nn2
an
n
第三步：计算特征根对应的特征向量
第四步：求出基本解组
A i E Ti
第五步：写出方程组的通解 e1xT1, e2xT2 ,, enxTn
Y
C1e1xT1
C2e2xT2
y
c1e1x
c2e2x
c enx n 11
§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
例1 求方程 y 8y 7y 0 的通解。
解 第一步：特征方程及特征根
P() 2 8 7 0 1 1, 2 7
n a1n1 an1 an ex 0 (2)
ex 0 e x
P() n a1n1 an1 an 0
P() 0 满足
特征根
特征方程
结论： y e x 是方程的解的充要条件 满足 P() 0
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
第二步：基本解组
ex , e7x ,
本节重难点 特征根是单根时 常系数齐次线性方程的求解方法
主要方法
等价关系
Euler待定指数函数法
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
4.2.1 常系数齐线性方程/Coefficient Linear Homogenous Higher-Order
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
方法二：待定指数函数法
n 阶常系数齐次线性方程
L[ y] yn a1yn1 an1y an y 0 (1)
y e x
y e x
L[ex ] nex a1x
tn1
2
C2e2
x
t t
22 n2
n x
Cnen
n
x
t2n tnn
Y C1e1xT1 C2e2xT2 CnenxTn
第六步：写出方程的通解
y C1e1xt11 C2e2xt12 Cnenxt1n
y C1e1x C2e2x Cnenx
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
通解结构
基本解组的线性组合
通解
非齐线性方程
齐线性方程
常数变 易法
特解
表示 基本解组
非齐线性方程通解
关键
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE
ODE
方法一：利用等价关系
y(n) a1 y(n1) an1y an y 0
(x)
(x)
( x)
(n
1)
(
x)
0 1 0
0
0
01
0
Y
Y
0
0
0
1
an an1
a2 a1
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§ 4.2 Solving Method of Constant Coefficients Linear Homogenous ODE