2021-2022学年内蒙古呼和浩特市高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知命题p：若x>y，则−x<−y；命题q：若x>y，则x2>y2，在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(￢q)；④(￢p)∨q中，真命题是()A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④2.在等差数列{a n}中，若a2+a3+a4=6，a6=4，则公差d=()A. 1B. 2C. 13D. 233.已知命题p：∀x>0，总有(x+1)e x>1，则¬p为()A. ∃x0≤0，使得(x0+1)e x0≤1B. ∃x0>0，使得(x0+1)e x0≤1C. ∀x>0，总有(x+1)e x≤1D. ∀x≤0，总有(x+1)e x≤14.已知实数x，y满足{x−2y+1≥0x+y−1≥0x<2，则z=2x−y的最小值是()A. 5B. 52C. 0D. −15.设S n为等比数列{a n}的前n项和，2a3+a4=0，则S3a1=()A. 2B. 3C. 4D. 56.定义在区间[−12,4]上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论错误的是()A. 函数f(x)在区间(0,4)单调递增B. 函数f(x)在区间(−12,0)单调递减C. 函数f(x)在x=0处取得极小值D. 函数f(x)在x=3处取得极小值7.已知正实数a，b满足a+2b=2，则1a +2b的最小值为()A. 92B. 9C. 2√2D. √28.对于函数f(x)=xlnx，以下判断正确的是()A. 无极大值无极小值B. 在(1,+∞)是增函数C. f(x)有两个不同的零点D. 其图象在点(1,0)处的切线的斜率为09.已知数列{a n}的前n项和为S n，前n项积为Πn，若Πn=(√3)n(n+1)，则S5=()A. 120B. 366C. 363D. 12610.设正实数a，b满足a+kb=2(其中k为正常数)，若ab的最大值为3，则k=()A. 3B. 32C. 23D. 1311.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(3)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)x2<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集为()A. (−∞,−3)∪(0,3)B. (−∞,−3)∪(3,+∞)C. (−3,0)∪(0,3)D. (−3,0)∪(3,+∞)12.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理“讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到200这200个数中，能被4除余2，且被6除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则这个新数列各项之和为()A. 1666B. 1676C. 1757D. 2646二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式x2−2x−3>0的解集是．14.曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为．15.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1(n∈N,n≥1)，则其通项公式a n=______．16.设命题p：x2−(2a+1)x+a2+a<0，命题q：lg(2x−1)≤1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知数列{a n}是等差数列，S n是{a n}的前n项和，a4=−10，S8=S9．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)求S n．18.已知命题p：∀x∈[1,2]，x2−a≥0，命题q：∃x0∈R，使得x02+(a−1)x0+1<0，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．19.已知函数f(x)=2|x|+|x−3|．(Ⅰ)解关于x的不等式f(x)<4；(Ⅱ)若对于任意的x∈R，不等式f(x)≥t2−2t恒成立，求实数t的取值范围．20.已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2(a>1)在x=−1时有极值0．(1)求常数a，b的值；(2)求f(x)在区间[−4,0]上的最值．21.已知数列{b n}的前n项和为S n，且S n=2n+1−2．(1)求数列{b n}的通项公式；(2)若a n=2n−5，设c n=a n⋅b n，求数列{c n}的前n项和T n．22.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x(1)讨论f(x)的单调性−2(2)当a<0时，证明f(x)≤−34a答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假是解决本题的关键，是基础题．根据不等式的性质分别判定命题p，q的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．【解答】解：根据不等式的性质可知，若x>y，则−x<−y成立，即p为真命题，当x=1，y=−1时，满足x>y，但x2>y2不成立，即命题q为假命题，则①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(￢q)为真命题；④(￢p)∨q为假命题，故选C．2.【答案】D【解析】解：等差数列{a n}中，∵a2+a3+a4=6，a6=4，∴3a1+6d=6，a1+5d=4，解得d=2，3故选：D．利用等差数列的通项公式即可得出．本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了全称量词命题的否定的写法，全称量词命题的否定是存在量词命题，属于基础题．据全称量词命题的否定为存在量词命题可写出命题p的否定．【解答】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，¬p为∃x0>0，使得(x0+1)e x0≤1．故选B．4.【答案】C【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立方程组解得A(13,23 )，由z=2x−y，得y=2x−z，由图可知，当直线y=2x−z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为0．故选：C．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，设公比为q，由2a3+a4=0，可得2a1q2+a1q3=0，即q=−2，∴S3=a1(1−q3)1−q =a1[1−(−2)3]1−(−2)=3a1．S3a1=3，故选：B．设公比为q，由2a3+a4=0，可得2a1q2+a1q3=0，解得q=−2.由此求得S3的值，从而得到S3a1的结果．本题主要等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：由题意可知x ∈(−12,0)时，f′(x)<0，函数是减函数， x ∈(0,4)时，f′(x)>0，函数是增函数，所以A 、B 、C 正确， D 不正确； 故选：D ．结合导函数的图象，判断函数的单调性以及函数的极值，推出结果即可． 本题考查函数的单调性以及函数的极值的判断，是基础题．7.【答案】A【解析】解：正实数a ，b 满足a +2b =2， 则1a +2b =12(1a +2b )(a +2b)=12(5+2b a+2ab )≥12(5+4)=92， 当且仅当2ba =2ab且a +2b =2，即a =b =23时取等号，此时1a +2b 取得最小值92． 故选：A ．由于1a +2b =12(1a +2b )(a +2b)，展开后结合基本不等式可求． 本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：∵函数(x)=xlnx ，x ∈(0,+∞)， f′(x)=lnx +1， 令f′(x)=0，解得x =1e ，令f′(x)>0，解得x ∈(1e ,+∞)，此时函数f(x)单调递增；令f′(x)<0，解得x ∈(0,1e )，此时函数f(x)单调递减．可得函数f(x)在x =1e 时取得极小值，f(1e )=−1e ，无极大值． 画出图象，可得函数f(x)只有一个零点1．f′(1)=1，其图象在点(1,0)处的切线的斜率为1．综上可得只有B正确．故选：B．函数(x)=xlnx，x∈(0,+∞)，f′(x)=lnx+1，利用导数研究函数的单调性与极值，画出图象，进而判断出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、数形结合方法、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：由题意知，a n=πnπn−1=√3)n(n+1)(√3)(n−1)n=(√3)2n=3n=3⋅3n−1，所以数列{a n}是首项为3，公比为3的等比数列，所以S5=3⋅(1−35)1−3=363．故选：C．由a n=πnπn−1求得数列{a n}的通项公式，再结合等比数列的概念与前n项和公式，得解．本题考查数列求和，熟练掌握等比数列的概念与前n项和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：根据题意，正实数a，b满足a+kb=2，则a⋅kb≤(a+kb2)2=1，变形可得a⋅b≤1k ，则有1k=3，即k=13．故选：D．根据题意，由a+kb=2，结合基本不等式的性质变形求出ab的最大值为1k ，则有1k=3，解可得k的值，即可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，注意基本不等式的变形，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：设g(x)=f(x)，当x>0时，有g′(x)=xxf′(x)−f(x)<0恒成立，x2，在(0,+∞)上是减函数，可得g(x)=f(x)x∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)=0，∴g(x)是偶函数，且g(−3)=g(3)=0，作出g(x)对应的草图如图：则当x>0时，不等式x2f(x)>0等价为f(x)>0，即xg(x)>0，即g(x)>0，可得0< x<3；则当x<0时，不等式x2f(x)>0等价为f(x)>0，即xg(x)>0，即g(x)<0，可得x<−3，故不等式x2f(x)>0的解集是：(−∞,−3)∪(0,3)．故选：A．利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的奇偶性直接利用数形结合求解即可．本题主要考查函数求导法则及函数单调性与导数的关系，同时考查了奇偶函数的图象特征，构造函数是解决本题的关键，是中档题．12.【答案】A【解析】【分析】本题考查了数列的应用，主要考查了数列通项公式的求解以及等差数列的前n项和公式，属于中档题．将问题转化为a n−2既是4的倍数，也是6的倍数，即是12的倍数，从而得到a n的表达式，利用等差数列前n项和公式即可求解．【解答】解：由题意可知数列{a n−2}即是4的倍数，又是6的倍数，因此数列{a n}是以2为首项，以12为公差的等差数列，a n=2+12(n−1)=12n−10，因此a17=194，a18=206，=1666．设新数列的前n项和S n，则S17=17×(2+194)2故答案选：A．13.【答案】{x|x<−1或x>3}【解析】【分析】把不等式左边因式分解后求出二次不等式对应方程的两根，结合二次函数的图象可得二次不等式的解集．本题考查一元二次不等式的解法，训练了因式分解法，是基础题．【解答】解：由x2−2x−3>0，得(x+1)(x−3)>0，解得x<−1或x>3．所以原不等式的解集为{x|x<−1或x>3}．故答案为{x|x<−1或x>3}．14.【答案】5x−y+2=0【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．先求导，利用导数的几何意义可求出切线的斜率，再由点斜式即可求得切线方程．【解答】解：因为y=2x−1x+2，(−1,−3)在曲线上，所以y′=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2，所以y′|x=−1=5，则曲线y=2x−1x+2在点(−1,−3)处的切线方程为：y−(−3)=5[x−(−1)]，即5x−y+2=0．故答案为：5x−y+2=0．15.【答案】12(3n−1)【解析】解：由a n+1=3a n+1得，a n+1+12=3(a n+12)，又a1+12=1+12=32，所以数列{a n+12}各项不为0，所以数列{a n +12}是以32为首项、3为公比的等比数列，所以a n +12=32⋅3n−1=12⋅3n ，所以a n =12(3n −1)；故答案为：12(3n −1)．由a n+1=3a n +1得，a n+1+12=3(a n +12)，易判断{a n +12}是等比数列，从而可求得a n +12的表达式，进而可求a n ．本题考查利用数列递推公式求数列通项公式，属于基础题．16.【答案】[12,92]【解析】解：命题p ：x 2−(2a +1)x +a 2+a <0，即x ∈(a,a +1)，命题q ：lg(2x −1)≤1，即x ∈(12,112)，若p 是q 的充分不必要条件，则(a,a +1)⊂(12,112)，∴{a ≥12a +1≤112，求得12≤a ≤92， 实数a 的取值范围为[12,92]，故答案为：[12,92].由题意，利用充分不必要条件的定义，解一元二次不等式、对数不等式，求得a 的范围． 本题主要考查充分不必要条件的定义，一元二次不等式、对数不等式的解法，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)因为S 8=S 9，所以a 9=S 9−S 8=0，又因为a 4=−10，所以a 9=a 4+5d =0，所以d =2，所以a n =a 4+(n −4)d =−10+(n −4)×2=2n −18；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知a n =2n −18，所以a 1=−16，所以S n =n(a 1+a n )2=n(−16+2n−18)2=n 2−17n ．【解析】(Ⅰ)由S 8=S 9可得a 9=0，结合a 4=−10，可求得公差d ，从而代入通项公式求解；(Ⅱ)由(Ⅰ)知a 1和a n ，代入前n 项和公式即可．本题考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，属于基础题．18.【答案】解：∵∀x ∈[1,2]，x 2−a ≥0.，∴命题p 为真时，a ≤1；---------(2分)∵∃x 0∈R ，使得x 02+(a −1)x 0+1<0，∴△=(a −1)2−4>0解得a >3或a <−1，∴命题q 为真时，a >3或a <−1，--------------(4分)若p ∨q 为真，p ∧q 为假，则命题p 、q 一真一假，----------(5分)当p 真q 假时，有{a ≤1−1≤a ≤3得−1≤a ≤1；------------(7分) 当p 假q 真时，有{a >1a >3或a <−1得a >3． 故a 的取值范围为−1≤a ≤1或a >3-------------------(10分)【解析】分别判断出p ，q 为真时的a 的范围，通过讨论p ，q 的真假，得到关于a 的不等式组，解出即可．本题考查了复合命题的判断，考查函数恒成立问题，是一道基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)①当x ≤0时，不等式可化为−2x −(x −3)<4，即−3x <1，解得x >−13，故−13<x ≤0；②当0<x <3时，不等式可化为2x −(x −3)<4，解得x <1，故0<x <1；③当x ≥3时，不等式可化为2x +(x −3)<4，解得x <73.显然与x ≥3矛盾，故此时不等式无解．综上，不等式f(x)<4的解集为(−13,1)．(Ⅱ)由(1)知，f(x)={−3x +3,x ≤0x +3,0<x <33x −3,x ≥3．作出函数f(x)的图象，如图，显然f(x)≥f(0)=3．故由不等式f(x)≥t 2−2t 恒成立可得3≥t 2−2t ，即t 2−2t −3≤0解得−1≤t ≤3．所以t 的取值范围为[−1,3]．【解析】(Ⅰ)根据绝对值的应用，分别进行讨论解不等式即可．(Ⅱ)根据不等式f(x)≥t 2−2t 恒成立，转化为最值恒成立进行求解即可．本题主要考查绝对值函数的应用，结合不等式恒成立转化为最值问题是解决本题的关键．20.【答案】解：(1)由f(x)=x 3+3ax 2+bx +a 2(a >1)，得f′(x)=3x 2+6ax +b ，∵f(x)在x =−1时有极值0，∴{f′(−1)=0f(−1)=0， ∴{3−6a +b =0−1+3a −b +a 2=0，解得{a =1b =3或{a =2b =9， 经检验，当a =2，b =9时，符合题意，∴a =2，b =9．(2)由(1)知，f′(x)=3x 2+12x +9，令f′(x)=0，则x =−3或x =−1，∵x ∈[−4,0]，∴当−4<x <−3或−1<x <0时，f′(x)>0；当−3<x <−1时，f′(x)<0， ∴函数f(x)在(−4,−3)和(−1,0)递增，(−3,−1)递减．又f(−4)=0，f(−3)=4，f(−1)=0，f(0)=4，∴f(x)max =4，f(x)min =0，∴f(x)的值域为[0,4]．【解析】(1)对f(x)求导，根据f(x)在x =−1时有极值0，得到关于a ，b 的方程组，再求出a ，b 的值；(2)由(1)知，f′(x)=3x 2+12x +9，然后判断f(x)的单调性，再求出f(x)的值域． 本题考查了利用函数的极值求参数的值和利用导数研究函数的单调性与最值，考查了方程思想和转化思想，属中档题．21.【答案】解：(1)由S n=2n+1−2，得S n−1=2n−2(n≥2)，两式相减得b n=S n−S n−1=2n+1−2−(2n−2)=2n(n≥2)，又当n=1时，b1=S1=22−2=2满足上式，所以b n=2n(n∈N∗)；(2)由(1)可知c n=(2n−5)⋅2n，所以T n=(−3)×21+(−1)×22+⋯+(2n−5)×2n，则2T n=(−3)×22+(−1)×23+⋯+(2n−5)×2n+1，两式相减得−T n=−3×21+2(22+23+⋯+2n)−(2n+5)⋅2n+1=−6+2×22(1−2n−1)1−2−(2n−5)⋅2n+1=2n+1(−2n+7)−14，所以T n=(2n−7)⋅2n+1+14．【解析】(1)由S n=2n+1−2可得S n−1=2n−2(n≥2)，两式相减得b n=S n−S n−1= 2n+1−2−(2n−2)=2n(n≥2)，再结合b1=S1即可求出{b n}的通项公式；(2)由(1)可知c n=(2n−5)⋅2n，进一步利用错位相减求和法即可求出T n．本题考查数列的递推公式，错位相减求和法，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x，∴f′(x)=1x +2ax+2a+1=(2ax+1)(x+1)x，x>0，①当a≥0时，f′(x)>0恒成立，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，②当a<0时，令f′(x)=0，解得x=−12a，当x∈(0,−12a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x∈(−12a,+∞)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，综上所述当a≥0时，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，当a<0时，函数f(x)在(0,−12a )上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减；证明：(2)由(1)可知，当a<0时，函数f(x)在(0,−12a)上单调递增，在(−12a,+∞)上单调递减，∴f(x)max=f(−12a )=−1−ln2−14a−ln(−a)，从而要证f(x)≤−34a −2，只要证−1−ln2−14a−ln(−a)≤−34a−2，令t=−1a ，则t>0，问题转化为证明−12t+lnt≤−1+ln2，令g(t)=−12t+lnt，则g′(t)=−12+1t，当0<t<2时，g′(t)>0，函数g(t)单调递增，当t>2时，g′(t)<0，函数g(t)单调递减，∴g(t)≤g(2)=−1+ln2，即−12t+lnt≤−1+ln2成立，∴当a<0时，f(x)≤−34a−2成立．【解析】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．(1)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；(2)由(1)求出函数的最大值，令t=−1a ，则t>0，问题转化为证明−12t+lnt≤−1+ln2，令g(t)=−12t+lnt，根据函数的单调性证明即可．。