除了借助线段图和圆形图进行
理解，我们还可以用什么图形
表示单位“1”呢？ 用一个正方形表示单位“1”： 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 如上图所示： 2 4 8 16 32 64 的和等于单位“1”减去最后一个小正方形的面积， 1 63 即 1－ = 。 64 64
小试牛刀（P110第4题）
在这列数中，你能发现什么规律？ 算一算、猜一猜，结果可能是多少？然后借助线段图或圆
1 ? 形图来帮助思考，验证你的猜测是否正确 从第二个数开始，每个数是前一个数 。 2
计算。
1 1 1 1 1 1 2 ＋ 4 ＋ 8 ＋ 16 ＋ 32 ＋ 64 ＋
……
我一个一个加下去看看， 你能发现什么规律？ 答案好像有点规律。 加下去，等号右边的分 数越来越接近于1。
原式＝7 ＋62 ＝85
2
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3. 下面每个图中最外圈有多少个小正方形？
（P109第1题）
照这样画下去，第5 个图形最外圈有（40）
个小正方形。
3 2 －1＝ 8
5 2－32 ＝ 16
7 2－52 ＝ 24
11 2－9 2＝ 40
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探究点 2
初步感受极限思想
例2
计算
1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ... 2 4 8 16 32 64
可以看成两部分：1＋3＋5＋7＝42
5＋3＋1＝ 32
42＋ 32 ＝25
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学以致用
1+3+5+7+5+3+1=（ 25 ）
4² 3²
1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ 85 ）
7² 6²
2. 请根据例1的结论算一算。 （做一做第1题）
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋11＋9＋7＋5＋3＋1＝（ 85 ）
1 1 1 1 1 1 ＋ ... ＝ 1 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ 2 4 8 16 32 64
有些问题通过画图，解决起来更直观、容易。
圆形图理解
1 1 1 1 1 1 计 算 。 ＋ ＋ ＋ ＋… ＝1 ＋ ＋ 64 2 8 4 32 16 3 1 1 ＋ ＝ 4 2 4 7 3 1 ＝ ＋ 8 4 8 7 1 15 ＋ ＝ 8 16 16 1 15 31 ＝ ＋ 32 16 32
（ 5 ）² 1＋ 3 ＋ 5 ＋ 7 ＋ 9＝
1＋3 ＋5 ＋7 ＋ 9 ＋11 ＝ （ 6）² 教你一招 解决数形结合找规律的题目：首先要 从 1开始的几个连续奇数的和正好是几的平方。 观察上面的算式，想一想，你能发现 根据直观图形填出数，从而发现算
什么规律？ 式的规律，最后达到运用规律解决 复杂问题的目的。
… 这样的数叫做“三角形数”，因为用这些数的图点可以堆 15、
成三角形，如下图。 仔细观察：
图（1）：1=1
图（2）：3=1+2 图（3）：6=1+2+3 图（4）：10=（ 1 ）+（ 2 ）+（ 3 ） +（ 4 ） 图（5）： （ 15 ）=（ 1 ）+（ 2 ）+（ 3 ） +（ 4 ）+（ 5 ）
终点
200×2＝400（米）
答：小狗从出发开始，一共跑了400米。
2. 小林、小强、小芳、小兵和小刚5 人进行象棋 比赛，每2 人之间都要下一盘。小林已经下了4盘，小强下了3盘，小 芳下了2 盘，小兵下了1 盘。请问：小刚一共下了几盘？ 分别和谁下的？（P111第6题）
用连线的方法试试。 小刚 4 小林 2 小兵 1 答：小刚一共下了2盘，分别和小林、小强。 3
观察一下，上面的图和下面的算式有什 么关系？把算式补充完整。
1＝ （1 ）
2
（2） 1 ＋ 3＝
2
（3） 1 ＋3＋5 ＝
2
我发现，从1开始的连续奇数的和 正好是这串数个数的平方。
回头看
1 ＝ （ 1 ）²
4 ）² 1＋ 3 ＝ （ 2
（9 3 ）² 1＋ 3 ＋ 5 ＝
1＋3 ＋5 ＋7 ＝（4 ）²
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小试牛刀
1. 你能利用规律直接写一写吗？ （教材P107）
1＋3＋5＋7＝（ 4 ）
2 如果遇到困难,可 以画图来帮助。 2
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13 ＝（ 7 ） 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17 ＝9
2
2. 请根据例1的结论算一算。 （做一做第1题）
1＋3＋5＋7＋5＋3＋1 ＝（ 25 ）
小强
小芳
2
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数与形：
1. 从1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。 2. 有些计算问题或较为复杂的题目可以通过画图，把数
字、算式转化成图形，使复杂的问题简单化、抽象的
问题直观化，解决起来会更直观、更简单。

1.仔细想，认真填。
古希腊数学家毕达哥拉斯发现“形数”的奥秘，他把1、3、6、10、
计算出结果。
1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝（ 100 ）
观察一下，上面的图和下面的算式 有什么关系？把算式补充完整。
1＝ （1 ）
2
1＋3＝ （2 ）
2
（ 3） 1 ＋3＋5 ＝
2
我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小
正方形和其他“L”形图形所包含的小正方形个数 之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。
8
数学广角—数与形
第 1 课时
数与形
R 六年级上册
这首诗的意思是：从不同的角度看庐山，庐山的模样各不
相同。其实在数学学习中也是如 此，对待同一个问题， 如果从不同的角度去观察、去思考，得出的结论、规律可 能会不同。接下来 我们就一起来探秘数学中的规律吧。
探究点 1
认识正方形数 你发现了 什么？
1＋3＝（ 4 ） 1＋3 ＋5＝（ 9 ） 1＋3＋5＋7＝（ 16）
…
我发现了：第n个三角形数就是从１加到n，第9个三角形数是（ 45 ）， 第10个三角形数是（ 55 ）
2.想一想，填一填。
1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 4 2 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 8 16 16 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 32 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 8 16 32 64 64 1
1 … 32
1 15 16 127 63 31 1 16 64 32 8 128 7 81 4
31 42
„
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1 1 1 1 先在图形上表示出 ，再表出 ， ， 8 16 4 2 等，并不断地累加下去，其结果越来越接近1。 当这个过程无止境地持续下去时，相加之和为1，
这种数学思考方式体现了极限思想。
从第二个数开始，每个 数是前一个数的 1 。
2
1 1 ＝ 3 ＋ 2 4 4 3 1 ＝ 7 ＋ 4 8 8 15 7 1 ＝ ＋ 8 16 16 1 15 31 ＝ ＋ 32 32 16 …
线段图理解
计算 1 1 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ... 2 4 8 16 32 64 1 2 1 4 1 8 1 1 16 32
1. 一条马路长200 m，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时
从马路的起点出发。当小亮走到这条马路一半的时候，小狗 已经到达马路的终点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到 小亮以后再跑向终点，到达终点以后再与小亮相向而行…… 直到小亮到达终点。小狗从出发开始，一共跑了多少米？
狗的速度是人的速度的2倍
起点
1 1 1 1 1 1 所以 1 2 4 8 16 256 256