2019届高三联考（数学理）本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分 选择题(40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}A=x|1x 3≤≤，{}B=x|x>2，则A B I 等于（ ）A ．{}x|2<x 3≤B ．{}x|x 1≥C ．{}x|2x<3≤D ．{}x|x>22．已知向量(,1)a x =r ，(3,6)b =r，且a b ⊥r r ，则实数x 的值为（ ）A ．12B ．2-C ．2D ．21-俯视图正视图3．已知两条不同直线1l 和2l 及平面α，则直线21//l l 的一个充分条件是( )A ．α//1l 且α//2lB ．α⊥1l 且α⊥2lC ．α//1l 且α⊄2lD ．α//1l 且α⊂2l4．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，(4)0.2P ξ>=,则(0)P ξ<=（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.4D ．0.2 5．在复平面内，复数1i iz =-（i 是虚数单位）对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1,1,4a a a -++,则数列的通项公式n a =（ ）A ．34()2n ⋅ B ．24()3n ⋅ C ．134()2n -⋅ D ．124()3n -⋅7．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．－4D ．48．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．6第二部分 非选择题(共 110 分)二、填空题（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分） （一）必做题（9～13题）9．6(2的展开式中的第四项是 ．10．如右图所示的算法流程图中，输出S 的值为 ．11．下列四个命题中：①2,2340x R x x ∀∈-+>； ②{}1,1,0,210x x ∀∈-+>；③,x N ∃∈使2x x ≤；④,x N ∃∈使x 为29的约数．则所有正确命题的序号有 ．12．函数bx ax x x f 23)(23+-=在1x =处有极小值1-，则a b += ．13．某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四位同学分别给出下列四个结果：①665646362C C C C +++；②26C ；③726-；④26A ．其中所有正确的结果的序号是 ． （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ，32=PC ，若︒=∠30CAP ，则⊙O 的直径=AB ．15．(坐标系与参数方程选讲选做题)在直角坐标系中曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-，写出曲线C 的直角坐标方程 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分14分）设函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π2⎛⎫⎪⎝⎭，1．（Ⅰ）求()y f x =的解析式，并求函数的最小正周期和最值． （Ⅱ）若()2sin 12f A π=，其中A 是面积为332的锐角ABC ∆的内角，且2AB =， 求AC 和BC 的长．17．（本小题满分12分）将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b ，设复数z a bi =+．（Ⅰ）求事件“3z i -”为实数”的概率； （Ⅱ）求事件“23z -≤”的概率．18．（本小题满分12分）如图， 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，5=AB ，AA 1＝4，点D 是AB 的中点． （Ⅰ）求证：AC⊥BC 1；（Ⅱ）求二面角1D CB B --的平面角的正切值．19．（本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的公差大于0,且53,a a 是方程045142=+-x x 的两根，数列{}n b 的前n 项的和为n S ，且*1()2n n b S n N -=∈．（Ⅰ） 求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ） 记n n n b a c ⋅=,求证：n n c c ≤+1； （Ⅲ）求数列{}n c 的前n 项和． 20．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为21,F F ，点P 是x 轴上方椭圆E 上的一点，且211F F PF ⊥, 132PF =, 252PF =． (Ⅰ) 求椭圆E 的方程和P 点的坐标；（Ⅱ）判断以2PF 为直径的圆与以椭圆E 的长轴为直径的圆的位置关系；（Ⅲ）若点G 是椭圆C ：22221(0)x y m n m n+=>>上的任意一点，F 是椭圆C 的一个焦点，探究以GF 为直径的圆与以椭圆C 的长轴为直径的圆的位置关系．21．（本小题满分14分）已知函数1()log 1ax f x x +=-，(0a >，且1)a ≠ （Ⅰ）求函数的定义域，并证明1()log 1a x f x x +=-在定义域上是奇函数；（Ⅱ）对于[2,4]x ∈21()log log 1(1)(7)aa x mf x x x x +=>---恒成立，求m 的取值范围； （Ⅲ）当2n ≥，且*n N ∈时，试比较(2)(3)()f f f n a ++⋅⋅⋅+与22n -的大小．参考答案一、选择题（每小题5分，满分40分）二、选择题（每小题5分，满分30分）9．160x -10．52 11．①③④ 12．16- 13．①③14．4 15．22(1)(2)5x y -++=（或22240)x y x y +-+=三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．解：（Ⅰ）Q 函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π2⎛⎫⎪⎝⎭，1 sincos122m ππ∴+=1m ∴= …………………….2分()sin cos )4f x x x x π∴=+=+ …………………….4分∴函数的最小正周期2T π= …………………….5分当2()4x k k Z ππ=+∈时， ()f x 的最大，当52()4x k k Z ππ=+∈时，()f x 最小值为…………………….7分（Ⅱ）因为()12f A π= 即()123f A ππ==∴sin sin 3A π=∵A 是面锐角ABC ∆的内角， ∴3A π=…………………….10分1sin 2ABC S AB AC A ∆==Q g 3AC ∴= …………………….12分由余弦定理得：2222cos 7BC AC AB AB AC A =+-⋅⋅=BC ∴= …………………….14分17．解：（Ⅰ）3z i -为实数，即3(3)a bi i a b i +-=+-为实数，∴b＝3 …………………3分又依题意，b 可取1，2，3，4，5，6 故出现b ＝3的概率为16即事件“3z i -为实数”的概率为16…………………6分（Ⅱ）由已知，2|2|3z a bi -=-+=≤ …………………8分可知，b的值只能取1、2、3 …………………9分当b ＝1时， 2(2)8a -≤，即a 可取1，2，3，4 当b ＝2时， 2(2)5a -≤，即a 可取1，2，3，4 当b ＝3时， 2(2)0a -≤，即a 可取2 由上可知，共有9种情况下可使事件“23z -≤”成立 …………………11分又a ，b 的取值情况共有36种 故事件“23z -≤”的概率为936…………………12分 18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：直三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，Q 222AC BC AB +=∴AC⊥BC， …………………2分又 AC⊥1C C ，且1BC C C C =I ∴AC⊥平面BCC 1，又1BC ⊂平面BCC 1 ……………………………………4分∴AC⊥BC 1 ………………………………………………………………5分（Ⅱ）解法一：取BC 中点E ，过D 作1DF B C ⊥于F ，连接EF …………6分Q D 是AB 中点，∴//DE AC ，又AC ⊥平面11BB C C ∴DE ⊥平面11BB C C ，又Q EF ⊂平面11BB C C ，1BC ⊂平面11BB C C ∴DE EF ⊥∴1B C DE ⊥ 又Q 1DF B C ⊥且DE DF D =I∴1B C ⊥平面DEF ，EF ⊂平面DEF ………8分 ∴1B C EF ⊥ 又Q 1DF B C ⊥ ∴EFD∠是二面角1D B C B--的平面角 ……………………………………10分Q AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，∴在DEF ∆中，DE EF ⊥，32DE =，EF =∴3tan 4DE EFD EF ∠=== …………………………………………11分F EDC 1B 1A 1CBA∴二面角1D B C B--的正切值为…………………………………………12分 解法二：以1CA CB CC 、、分别为x y z 、、轴建立如图所示空间直角坐标系…………6分Q AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，∴(300)A ，，，(00)B ，4，(000)C ，，，3(20)2D ，，，1(044)B ，，， ∴3(20)2CD =u u u r ，，，1(044)CB =u u u r，，平面11CBB C 的法向量1(100)n =u r，，， …………………8分设平面1DB C 的法向量2000()n x y =u u r，，z ，则1n u r ，2n u u r 的夹角（或其补角）的大小就是二面角1D CB B --的大小 …………9分则由2002100302020440n CD x y n CB y z ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪⎩+=⎩u u r u u u r u u r u u u r令04x =，则03y =-，03z = ∴2(4,3,3)n =-u u r………………10分121212cos ||||n n n n n n ⋅<>==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，，则12tan 4n n <>=u r u u r ， ……………11分 ∵二面角1D B C B --是锐二面角 ∴二面角1D B C B--的正切值为4………………………… 12分x19．解：（Ⅰ）∵a 3，a 5是方程045142=+-x x 的两根，且数列}{n a 的公差d >0，∴a 3=5，a 5=9，公差.23535=--=a a d ∴.12)5(5-=-+=n d n a a n ………………3分又当n =1时，有11112b b S -==113b ∴= 当).2(31),(21,2111≥=∴-=-=≥---n b b b b S S b n n n n n n n n 有时 ∴数列{n b }是首项113b =，公比13q =等比数列， ∴111.3n n n b b q -== …………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知112121,,33n n n n n n n n c a b c ++-+=== …………8分∴11121214(1)0.333n n n n n n n n c c ++++---=-=≤ ∴.1n n c c ≤+ …………………………10分 （Ⅲ）213n n n nn c a b -==，设数列{}n c 的前n 项和为n T ， Q 12313521........3333n n n T -=++++ （1）13n T ∴= 23411352321 (33333)n n n n +--+++++ (2 ) ………………12分(1)(2)-得：2312122221.....333333n n n n T +-=++++-=2311111212(.....)33333n n n +-++++-化简得：113n n n T +=-………………………14分20．解: (Ⅰ)P Q 在椭圆E 上 1224,2a PF PF a ∴=+==, ……………….1分211F F PF ⊥Θ,22222122153()()4,22F F PF PF ∴=-=-= (2)分22,1c c ==, 23b ∴=.所以椭圆E的方程是：22143x y += ……………….4分 Q 12(1,0),(1,0)F F -，Q 211F F PF ⊥ 3(1,)2P ∴- ……….5分（Ⅱ）线段2PF 的中点3(0,)4M∴ 以3(0,)4M 为圆心2PF 为直径的圆M 的方程为22325()416x y +-=圆M的半径54r =…………….8分 以椭圆E 的长轴为直径的圆的方程为：224x y += ，圆心为(0,0)O ，半径为2R =圆M 与圆O 的圆心距为35||244OM R r ==-=- 所以两圆相内切 ………10分（Ⅲ）以GF 为直径的圆与以椭圆C 的长轴为直径的圆相内切 ………11分设F '是椭圆C 的另一个焦点，其长轴长为2(0)m m >， ∵点G 是椭圆C 上的任意一点，F 是椭圆C 的一个焦点，则有2GF GF m '+= ，则以GF 为直径的圆的圆心是M ，圆M 的半径为12r GF =， 以椭圆C 的长轴为直径的圆O 的半径R m =，两圆圆心O 、M 分别是FF '和FG 的中点，∴两圆心间的距离1122OM GF m GF R r '==-=-，所以两圆内切．…….14分21．解：（Ⅰ）由101x x +>-，解得1x <-或1x >， ∴函数的定义域为(,1)(1,)-∞-+∞U …………………2分当(,1)(1,)x ∈-∞-+∞U 时，11111()log log log ()log ()1111aa a a x x x x f x f x x x x x --+-++-====-=---+-- ∴ 1()log 1ax f x x +=-在定义域上是奇函数。