2015年人教版数学必修一第二章复习资料姓名：院、系：数学学院专业: 数学与应用数学2015年10月5日基本初等函数一、一次函数二、二次函数（1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()(0)f x a x h k a =-+≠ ③两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式．②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．③若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求()f x 更方便．（3）二次函数图象的性质①.二次函数()(0)f x ax bx c a =++≠的图象是一条抛物线，对称轴方程为,2bx a =-顶点坐标是24(,)24b ac b a a--②当0a >时，抛物线开口向上，函数在(,]2b a -∞-上递减，在[,)2ba-+∞上递增，当2bx a =-时，2min 4()4ac b f x a -=；当0a <时，抛物线开口向下，函数在(,]2b a -∞-上递增，在[,)2b a -+∞上递减，当2bx a =-时，2max 4()4ac b f x a-=．一、指数与指数幂的运算 （一）根式的概念1、如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n 是偶数时，正数a 的正的n 次方负的n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数a没有n次方根．2、式子n叫做根指数，a叫做被开方数．当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，0a≥．3、根式的性质：n a=；当n为奇数时，a=；当n为偶数时，(0)||(0)a aaa a≥⎧==⎨-<⎩．（二）分数指数幂的概念1、正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mna a m n N+>∈且1)n>．0的正分数指数幂等于0．2、正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m mn na a m n Na-+==>∈且1)n>．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．3、a0=1 (a≠0) a-p= 1/a p (a≠0；p∈N*)4、指数幂的运算性质(0,,)r s r sa a a a r s R+⋅=>∈()(0,,)r s rsa a a r s R=>∈()(0,0,)r r rab a b a b r R=>>∈5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。

二、指数函数的概念一般地，函数)1a,0a(ay x≠>=且叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．注意：○1指数函数的定义是一个形式定义；○2注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [ （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =（4）当1a >时，若21x x <，则)x (f )x (f 21< 四、底数的平移对于任何一个有意义的指数函数：在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

即“上加下减，左加右减”五、幂的大小比较常用方法（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小。

注意：（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

例如：y 1=34,y 2=35（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。

例如：y 1=（1/2）4,y 2=34,（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较①对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

② 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。

由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。

即当底数a 和1与指数x 与0之间的不等号同向时，a x 大于1，异向时a x 小于1.对数函数及其性质一、对数与对数的运算 （一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：① 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；②x N N a a x =⇔=log ；③注意对数的书写格式．N alog两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数N lg ；② 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值 真数（二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：① M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =N Ma log M a log －N a log ； ○3 n a M log n =M a log )(R n ∈． ④ Ma M ann log 1log = ⑤ b ba a =log ⑥b ab a=log⑦ log a 1=0 ⑧ log a a=1 ⑨ a log a N=N ⑩ log a a b =b注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）．推论(利用换底公式) ①b m nb a n a m log log =； ②ab b a log 1log =． 二、对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：x y 2log 2=，5log5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ② 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．反函数一、反函数定义设函数()y f x =的定义域为A ，值域为C ，从式子()y f x =中解出x ，得式子()x y ϕ=．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子()x y ϕ=，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子()x y ϕ=表示x 是y 的函数，函数()x y ϕ=叫做函数()y f x =的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=．二、反函数的求法①确定反函数的定义域，即原函数的值域； ②从原函数式()y f x =中反解出1()x f y -=；③将1()x f y -=改写成1()y f x -=，并注明反函数的定义域． 三、反函数的性质①原函数()y f x =与反函数1()y fx -=的图象关于直线y x =对称．②函数()y f x =的定义域、值域分别是其反函数1()y fx -=的值域、定义域．③若(,)P a b 在原函数()y f x =的图象上，则'(,)P b a 在反函数1()y f x -=的图象上．④一般地，函数()y f x =要有反函数则它必须为单调函数．幂函数及其性质一、幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．二、幂函数的图象三、幂函数的性质1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．①幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)； ②幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)； ③幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．2、过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)．3、单调性：①如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．②如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．4、奇偶性：⑴当α为奇数时，幂函数为奇函数，⑵当α为偶数时，幂函数为偶函数．⑶当q pα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），①若p 为奇数q 为奇数时，则q py x =是奇函数， ②若p 为奇数q 为偶数时，则q py x =是偶函数， ③若p 为偶数q 为奇数时，则qp y x =是非奇非偶函数．5、图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，⑴当1α>时，①若01x <<，其图象在直线y x =下方，②若1x >，其图象在直线y x =上方，⑵当1α<时，①若01x <<，其图象在直线y x =上方，②若1x >，其图象在直线y x =下方．习题一、选择题1．（2012年高考（安徽文））23log 9log 4⨯=（ ）A ．14B ．12C ．2D ．42．（2012年高考（广东理））(函数)下列函数中,在区间()0,+∞上为增函数的是 （ ）A ．()ln 2y x =+B ．y =C ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．1y x x=+3．（2012年高考（重庆文））设函数2()43,()32,x f x x x g x =-+=-集合{|(())0M x R f g x =∈> {|()2},N x R g x =∈<则M N 为 （ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(-1,1)D ．(,1)-∞4．（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为（ ）A ．cos 2y x =B ．2log ||y x =C ．2x xe e y --= D ．31y x =+5．（2012年高考（四川文））函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是6．（2012年高考（山东文））函数1()ln(1)f x x =+ （ ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]-7．（2012年高考（广东文））(函数)下列函数为偶函数的是（ ）A ．sin y x =B ．3y x =C ．x y e =D．y =8．（2012年高考（安徽文））设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定义域;则A B = （ ）A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[,)12D ．(,]129．（2012年高考（四川理））函数1(0,1)xy a a a a=->≠的图象可能是10．（2012年高考（江西理））下列函数中,与函数（ ） A ．y=1sin xB ．y=1nxxC ．y=xe xD ．sin xx二、填空题11．（2012年高考（上海文））方程03241=--+x x的解是_________.12．（2012年高考（陕西文））设函数发0,()1(),0,2x x f x x ìï³ïï=íï<ïïïî,则((4))f f -=_____ 13．（2012年高考（北京文））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则m 的取值范围是________.14．（2012年高考（北京文））已知函数()l g f x x =,若()1f ab =,则22()()f a f b +=_________.15．（2012年高考（江苏））函数x x f 6log 21)(-=的定义域为____.基本初等函数综合复习题型一 幂函数的定义及应用例1.已知y ＝(m 2＋2m －2)·211m x -＋(2n －3)是幂函数，求m 、n 的值．探究提高 (1)判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量；③幂系数为1.(2)若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征．已知f (x )＝(m 2＋2m )21m m x ＋－，m 为何值时，f (x )是： (1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数．2.【江西省2014届高三新课程适应性考试文科数学】由幂函数n y x =的图像过点(8,2),则这个幂函数的定义域是（ ）A ．[0,)+∞B ．(,0)(0,)-∞+∞C ．(0,)+∞D ．R题型二 指数式与根式,对数式的化简,求值问题例2. 【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（文）】已知函数)241(log )(22x x x f -+=，则4(tan )(tan )55f f ππ+=（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2变式训练:1.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（文）】求值：()70log 23log lg25lg472013+++-= .2. 【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】已知函数2log ,0,()2,0x x x f x x >⎧=⎨<⎩，则1()(2)4f f +-= . 题型三 基本初等函数的单调性问题例3.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（文）】已知函数3,0()2,0x x a x f x a x --<⎧=⎨-≥⎩，（0a >且1a ≠）是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．2(0,]3 B ．1(0,]3C ．(0,1)D ．(0,2] 变式训练 1.【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】已知函数),1,0(,,ln )(21ex x x x f ∈=且21x x <则下列结论正确的是( ) A ．0)]()()[(2121<--x f x f x x B ．2)()()2(2121x f x f x x f +<+ C ．)()(1221x f x x f x > D ．)()(1122x f x x f x >2.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（文）】下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞（）上单调递增的函数为（ ）A ．1y x -=B ．2log y x =C ．||y x =D ．2y x =-3. 【江西省2014届高三新课程适应性考试文科数学】函数()f x 的定义域为{|1}x R x ∈≠，对定义域中任意的x ，都有(2)()f x f x -=，且当1x <时，2()2f x x x=-，那么当1x >时，()f x 的递减区间是（ ） A ．5[,)4+∞ B ．5(1,]4 C ．7[,)4+∞ D ．7(1,)4题型四 基本初等函数的奇偶性与周期性问题例4【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】已知函数)2cos()(ϕ+=x x f 满足)1()(f x f ≤对R x ∈恒成立，则( )A. 函数)1(+x f 一定是偶函数B.函数)1(-x f 一定是偶函数C. 函数)1(+x f 一定是奇函数D.函数)1(-x f 一定是奇函数变式训练1.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】给出下列函数①cos y x x =②2sin y x =③2y x x =-④x x y e e -=-，其中是奇函数的是（ ）A. ①②B. ①④C. ②④D. ③④2.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学文】已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+，且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为 （ ）A.1-B. 2-C. 2D.13.【吉林省白山市第一中学2014届高三8月摸底考试文】已知定义在R 上的偶函数f (x )满足：∀x ∈R 恒有f (x +2)=f (x )－f (1)．且当x ∈［2，3］时，f (x )=－2(x －3)2．若函数y =f (x )－log a (x +1)在(0，+∞)上至少有三个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0B ．（0，）C ．（1D ．（1，） 题型五 函数的零点问题例5.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（文）】函数f （x ）＝x121x 2⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为（ ）A .0 B.1 C.2 D.3 变式训练1.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（文）】定义在R 上的偶函数()f x ，满足(3)()f x f x +=，(2)0f =，则函数()y f x =在区间()0,6内零点的个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．至少4个 2.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考文】在下列区间中函数()24x f x e x =+-的零点所在的区间为( )A.1(0,)2 B.1(,1)2 C.(1,2) D.⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1 3.【江西省2014届高三新课程适应性考试文科数学】已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 题型六 函数的图象问题例6【吉林省白山市第一中学2014届高三8图象是 （ ）变式训练1.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（文）】函数()f x 的图像如图所示，若函数()y f x c =-与x 轴有两个不同交点，则c 的取值范围是（ ）A ．(2,0.5)--B ．[2,0.5)--C ．(1.1,1.8)D ．[2,0.5)(1.1,1.8)--2.【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图像，则(2013)f ＋(2014)f ＝（ ）A 、3B 、2C 、1D 、03.【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（文）】已知在函数||y x =（[1,1]x ∈-）的图象上有一点(,||)P t t ，该函数的图象与 x 轴、直线x ＝－1及 x ＝t 围成图形（如图阴影部分）的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为（ ）题型七 基本初等函数的函数值大小比较问题例7.【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】下列大小关系正确的是( )A. 3log 34.044.03<<B. 4.03434.03log <<C. 4.04333log 4.0<<D. 34.044.033log <<变式训练1.【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】 设0.33log 3,2,log sin 6a b c ππ===，则（ ）A 、a b c >>B 、c a b >>C 、b a c >>D 、b c a >> 2.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学文】设0.220.20.2log 2,log 3,2,0.2a b c d ====，则这四个数的大小关系是 （ ）A.a b c d <<<B.d c a b <<<C.b a c d <<<D.b a d c <<< 题型八 基本初等函数的定义域,值域,取值范围问题例8 【吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班摸底测试文】设函数21,,2()1log ,2x a x f x x x ⎧-+<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩的最小值为1-，则实数a 的取值范围是（ ） 变式训练1.【江西省2014届高三新课程适应性考试文科数学】已知函数32,0()2,04x a x f x x x x ⎧≤<=⎨-+≤≤⎩的值域是[8,1]-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞- B ．[2,0)- C ．[2,1]-- D ．{2}-2.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知函数2, 0,()2, 0x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是______．【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】已知函数x a x f 2log )(-=的图象经过点A (1,1)，则不等式1)(>x f 的解集为______.3.【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】函数x x f 6log 21)(-=的定义域为____.4.【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（文）】函数)1(1)(21-=x og x f 的定义域为 。