？相交线和平行线 典型例题及强化训练课标要求①了解对顶角，知道对项角相等。
②了解垂线、垂线段等概念，了解垂线段最短的性质，体会点到直线距离的意义。
③知道过一点有且仅有一条直线垂直干已知直线，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线。
④知道两直线平行同位角相等，进一步探索平行线的性质⑤知道过直线外一点有且仅有一条直线平行于已知直线，会用角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
⑥体会两条平行线之间距离的意义，会度量两条平行线之间的距离。
}典型例题1.判定与性质 例1 判断题：1)不相交的两条直线叫做平行线。
( ) 2)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。
( ) 3)两直线平行，同旁内角相等。
( ) 4)两条直线被第三条直线所截，同位角相等。
( ) 答案：(1)错，应为“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”。
|(2)错，应为“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。
(3)错，应为“两直线平行，同旁内角互补 ”。
(4)错，应为“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”。
例2 已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D=∠BED 。
分析：可以考虑把∠BED 变成两个角的和。
如图5，过E 点引一条直线EF ∥AB ，则有∠B=∠1，再设法证明∠D=∠2，需证EF ∥CD ，这可通过已知AB ∥CD 和EF ∥AB 得到。
证明：过点E 作EF ∥AB ，则∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）。
∵AB ∥CD （已知），%又∵EF ∥AB （已作），∴EF ∥CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠D=∠2（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠BED=∠B+∠D （等量代换）。
变式1已知：如图6，AB ∥CD ，求证：∠BED=360°-（∠B+∠D ）。
分析：此题与例1的区别在于E 点的位置及结论。
我们通常所说的∠BED 都是指小于平角的角，如果把∠BED 看成是大于平角的角，可以认为此题的结论与例1的结论是一致的。
因此，我们模仿例1作辅助线，不难解决此题。
证明：过点E 作EF ∥AB ，则∠B+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
…∵AB ∥CD （已知），又∵EF ∥AB （已作），∴EF ∥CD （平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠D+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
ABEDF∴∠B+∠1+∠D+∠2=180°+180°（等式的性质）。
又∵∠BED=∠1+∠2，∴∠B+∠D+∠BED=360°（等量代换）。
∴∠BED==360°-（∠B+∠D）（等式的性质）。
【变式2已知：如图7，AB∥CD，求证：∠BED=∠D-∠B。
分析：此题与例1的区别在于E点的位置不同，从而结论也不同。
模仿例1与变式1作辅助线的方法，可以解决此题。
证明：过点E作EF∥AB，则∠FEB=∠B（两直线平行，内错角相等）。
∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠FED=∠D（两直线平行，内错角相等）。
∵∠BED=∠FED-∠FEB，"∴∠BED=∠D-∠B（等量代换）。
变式3已知：如图8，AB∥CD，求证：∠BED=∠B-∠D。
分析：此题与变式2类似，只是∠B、∠D的大小发生了变化。
证明：过点E作EF∥AB，则∠1+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵AB∥CD（已知），又∵EF∥AB（已作），∴EF∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠FED+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴∠1+∠2+∠D=180°。
∴∠1+∠2+∠D-（∠1+∠B）=180°-180°（等式的性质）。
∴∠2=∠B-∠D（等式的性质）。
即∠BED=∠B-∠D。
例3 已知：如图9，AB∥CD，∠ABF=∠DCE。
求证：∠BFE=∠FEC。
证法一：过F点作FG∥AB ，则∠ABF=∠1（两直线平行，内错角相等）。
过E点作EH∥CD ，则∠DCE=∠4（两直线平行，内错角相等）。
∵FG∥AB（已作），AB∥CD（已知），—∴FG∥CD（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
又∵EH∥CD （已知），∴FG∥EH（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）。
∴∠1+∠2=∠3+∠4（等式的性质）即∠BFE=∠FEC。
证法二：如图10，延长BF、DC相交于G点。
∵AB∥CD（已知），&∴∠1=∠ABF（两直线平行，内错角相等）。
又∵∠ABF=∠DCE（已知），∴∠1=∠DCE（等量代换）。
∴BG∥EC（同位角相等，两直线平行）。
∴∠BFE=∠FEC （两直线平行，内错角相等）。
如果延长CE 、AB 相交于H 点（如图11），也可用同样的方法证明（过程略）。
证法三：（如图12）连结BC 。
∵AB ∥CD （已知），/∴∠ABC=∠BCD （两直线平行，内错角相等）。
又∵∠ABF=∠DCE （已知），∴∠ABC-∠ABF =∠BCD-∠DCE （等式的性质）。
即∠FBC=∠BCE 。
∴BF ∥EC （内错角相等，两直线平行）。
∴∠BFE=∠FEC （两直线平行，内错角相等）。
强化训练、一.填空1.完成下列推理过程 ①∵∠3= ∠4（已知）， __∥___（ ）②∵∠5= ∠DAB （已知），∴____∥______（ ）③∵∠CDA + =180°（ 已知 ）， ∴AD ∥BC （ ）（2. 如图,已知DE ∥BC,BD 是∠ABC 的平分线，∠EDC ＝109°， ∠ABC ＝50°则∠A 度，∠BDC ＝ 度。
3. 如图，AB ∥CD,BE,CE 分别平分∠ABC ，∠BCD, 则∠AEB ＋∠CED= 。
4、将点P(-3，y)向下平移3个单位，向左平移2个单位后得到点Q(x ，-1)，则xy=___________ 。
5、已知：如图，直线AB 和CD 相交于O ，OE 平分∠BOC ， 且∠AOC=68°，则∠BOE= 二.选择题>1.在海上，灯塔位于一艘船的北偏东40度方向，那么这艘船位于这个灯塔的（ ）A 南偏西50度方向；B 南偏西40度方向 ；C 北偏东50度方向 ；D 北偏东40度方向2.如图,AB ∥EF ∥DC ，EG ∥BD, 则图中与∠1相等的角共有( )个 A 6个 B .5个 C .4个 个3、同一平面内的四条直线若满足a ⊥b,b ⊥c,c ⊥d,则下列式子成立的是（ ）A 、 a ∥dB 、b ⊥dC 、a ⊥dD 、b ∥c4、如图,∠1和∠2互补,∠3=130°,那么∠4的度数是( )~ABCDEFGH1ABEDC543CD AC 、 BED A. 50° B. 60° ° °5.已知：AB ∥CD ，且∠ABC=20°，∠CFE=30°, 则∠BCF 的度数是 ( )A. 160° .150° C ° °6（2003南 通 市）判断题已知，如图，下列条件中不能判断直线l 1∥l 2的是（ ） （A ）∠1＝∠3 （B ）∠2＝∠3（C ）∠4＝∠5 （D ）∠2＋∠4＝180°7.（ 北京市海淀区2003年）. 如图，直线c 与直线a 、b 相交，且a 21∠=∠31∠=∠23∠=∠0 B. 1 C. 2 D. 3{8.（2004年浙江省富阳市）下列命题正确的是（ ）A 、两直线与第三条直线相交，同位角相等；B 、两线与第三线相交，内错角相等；C 、两直线平行，内错角相等；D 、两直线平行，同旁内角相等。
9.（2003年安徽省）如图，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，图中与∠CAB 互余的角有……（ ） 个 个 个 个<10.( 日照市2004年)如图，已知直线AB ∥CD ，当点E 直线AB 与CD 之间时，有∠BED ＝∠ABE ＋∠CDE 成立；而当点E 在直线AB 与CD 之外时，下列关系式成立的是 （ ） A ∠BED ＝∠ABE ＋∠CDE 或∠BED ＝∠ABE －∠CDE; B ∠BED ＝∠ABE －∠CDEC ∠BED ＝∠CDE －∠ABE 或∠BED ＝∠ABE －∠CDE; D ∠BED ＝∠CDE －∠ABE:三.解下列各题：1.如图，已知OA ⊥OC ，OB ⊥OD ，∠3=26°，求∠1、∠2的度数。
2、已知AD ∥BC ，∠A= ∠C ，求证：AB ∥CD 。
~3.如图,AB ∥CD,求∠BAE ＋∠AEF ＋∠EFC ＋∠FCD 的度数.4.已知,如图AC ⊥BC,HF ⊥AB,CD ⊥AB, ∠EDC 与∠CHF 互补, 求证：DE ⊥AC.A BE F第3题D CAB321DBC第1题第2题/5.如图，已知AB ∥ED ，∠ABC=135°,∠BCD=80°，求∠CDE 的度数。
6.已知：如图，AD ⊥BC 于D ，EG ⊥BC 于G ，AE =AF.求证：AD 平分∠BAC 。
四、如图A 、B 是两块麦地，P 是一个水库，A 、B 之间有一条水渠，现在要将水库中的水引到A 、B 两地浇灌小麦，你认为怎样修水渠省时省料经济合算请说出你的设计方案，并说明理由。
{相交线与平行线2. 1略；121°，84°；3. 90°；；5。
56° —题号1 2 3 4 5 6 7 [8 9 10 答案BBAA?DBDCBC三.1.解：∵OA ⊥OC ，OB ⊥OD∴∠1+∠2 =90°，∠3+∠2 =90°,∴∠1=∠3=26° ∴∠2=64°2证明：∵AD ∥BC ， ∴∠A+∠B=180° ∵∠A= ∠C ， ∴∠C+∠B=180° ∴AB ∥CD.2. 解：连结AC.∵AB ∥DC∴∠CAB+∠ACD=180°∵∠CAE+∠ACF+∠E+∠F =360° ∴∠CAB+∠ACD=180°∴∠BAE ＋∠AEF ＋∠EFC ＋∠FCD=540° 4. 证明：∵HF ⊥AB ，AB ⊥CD ∴CD ∥HF ，3 , 21F D EAB C：G EFD BAHABCDE第4题 第5题 第6题A BE FDE F D BCAH∴∠CHF+∠HCD=180°∵∠EDC与∠CHF互补,∴∠EDC = ∠HCD，∴ED∥CB∴∠AED=∠ACB∵∠ACB=90°∴∠AED=90°∴DE⊥AC.5.解：延长BC交 DE于F.由∠ABC=135°易得∠BFD=45°,又∠BCD=80°，得∠CDE=35°6.证明：∵AD⊥BC于D，EG⊥BC于G ∴AD∥EG，∴∠2=∠3, ∠1=∠E,∵AE =AF∴∠E = ∠3，∴∠1 = ∠2，∴AD平分∠BAC。